7.1随机现象与随机事件 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

7.1随机现象与随机事件北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式表示的对立事件，表示的对立事件： ，，，，，，其中正确的关系式的个数是( )
A. B. C. D.
设，为两事件，则表示( )
A. 必然事件 B. 不可能事件
C. 与恰有一个发生 D. 与不同时发生
设，是随机事件，下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
“点数为”，其中，，，，，；
“点数不大于”；“点数大于”；“点数大于”；
“点数为奇数”，“点数为偶数”．
则下列结论正确的有个．( )
与互斥； ，为对立事件；
； ；
，； ；
； ，为对立事件；
； ．
A. B. C. D.
如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么 ( )
A. 是必然事件 B. 是必然事件
C. 与一定互斥 D. 与不可能互斥
给出下列命题，其中正确命题的个数为( )
有一大批产品，已知次品率为，从中任取件，必有件次品
做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此出现正面的概率是
某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的．
A. B. C. D.
高一年级某班人，要选一名学生做代表，若每名学生当选是等可能的，“选出的代表是女生”的概率是“选出的代表是男生”的概率的，则这个班的女生人数为( )
A. B. C. D.
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机即等可能为你打开一个通道若是号通道，则需要小时走出迷宫；若是号、号通道，则分别需要小时、小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止则你走出迷宫的时间超过小时的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
以下结论中正确的有( )
A. 投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是点”和“出现的点数至多是点”是互斥事件
B. 投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C. 个阄中有一个是中签的阄，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D. 从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
设，是两个任意事件，下面关系正确的是
A. B. C. D.
已知，是随机事件，则下列结论正确的是( )
A. 若，是互斥事件，则
B. 若事件，相互独立，则
C. 若，是对立事件，则，是互斥事件
D. 事件，至少有一个发生的概率不小于，恰好有一个发生的概率
黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型
该血型的人所占比例
已知同种血型的人可以输血，型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是( )
A. 任找一个人，其血可以输给型血的人的概率是
B. 任找一个人，型血的人能为其输血的概率是
C. 任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为
D. 任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如果事件，对立，若记与分别是，的对立事件，那么下面结论错误的是 ．
是必然事件 是必然事件
与互斥 与一定不互斥
一批产品共有件，其中件是次品，件是合格品，从这批产品中任意抽件，记为“恰有件次品”，为“至少有件次品”，为“至少有件次品”，为“至多有件次品”现给出下列结论：；是必然事件；；其中正确的结论为__________写出序号即可
有下列说法：若是随机事件，则；若事件与是互斥事件，则与一定是对立事件；若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件；事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大．其中正确的是_______填序号
电路如图所示．用表示事件“电灯变亮”，用，，依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则 用，，间的运算关系式表示
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”．
写出试验的样本空间．
用样本点表示事件，，，．
事件与事件有什么关系事件和的交事件与事件有什么关系并说明理由．
本小题分
如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效设事件“甲元件正常”，“乙元件正常”．
写出表示两个元件工作状态的样本空间；
用集合的形式表示事件，以及它们的对立事件；
用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系．
本小题分
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：“出现点”，“出现点或点”，“出现的点数是奇数”，“出现的点数是偶数”．
说明以上个事件的关系；
求，，，，．
本小题分
做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数写出：
这个试验的样本空间
这个试验的结果的个数
指出事件，，，，，的含义．
本小题分
某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班名同学中有名男同学和名女同学参加摄影社，在这名同学中，名同学初中毕业于同一所学校，其余名同学初中毕业于其他所不同的学校现从这名同学中随机选取名同学代表社团参加校际交流每名同学被选到的可能性相同．
在该班随机选取名同学，求该同学参加摄影社的概率；
求从这名同学中选出的名同学代表恰有名女同学的概率；
求从这名同学中选出的名同学代表来自于不同的初中学校的概率．
本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量其身高，被测学生的身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为．
请求出第七组的频率并补全频率分布直方图
估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在及以上的人数
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机选取名男生，记他们的身高分别为，，事件，事件，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对立事件和互斥事件以及概率的运算性质，属于中档题．
根据事件的含义知， 表示甲乙两人均未击中靶；表示两人都击中靶；表示至少有人击中靶；表示两人中恰好只有人击中靶；再根据概率的性质分别判断即可．
【解答】
解： 表示甲乙两人均未击中靶，因此 ，故正确；
表示两人都击中靶，而表示至少有人击中靶，因此AB错误；
表示至少有人击中靶，因此B正确；
表示至少有人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此B错误；
表示两人中恰好只有人击中靶，因此正确；
与是对立事件，因此正确；
与不是互斥事件，，因此错误；
综上可得正确的是．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查事件的包含关系和运算，对立，互斥事件的定义，属于基础题．
分析事件和的意义，即可得出结果．
【解答】
解：表示事件，至少有个发生，表示事件，至少有一个不发生，
表示与恰有一个发生．
故本题选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查随机事件的和事件，积事件，对立事件与随机事件之间的关系，属于中档题．
可以借助集合与集合的交集，并集补集与集合的关系逐项进行刻化．
【解答】
解：，利用集合并集思想分析，两个事件的和事件可能等于其中的事件，也可能包含事件故选项A错误
，表示，的积事件，利用集合交集思想分析，不一定包含事件故选项B错误
，利用集合的交集和并集的思想可知，表示的等式成立故选项C正确
，利用补集的思想和交集的概念可知，表示的事件不发生的同时事件发生，故选项D错误．
所以选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，是中档题．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【解答】
解：表示：抛掷一颗质地均匀的骰子，点数为，
表示：抛掷一颗质地均匀的骰子，点数为，
显然当点数为时，不可能为；当点数为时，不可能为，
所以与互斥，是正确的；
与的判断相同，与是互斥的，但不是对立的，所以是错误的；
“点数大于”，所以，所以是正确的；
“点数大于”，所以，
又，所以是正确的；
“点数不大于”，所以，
又，所以是正确的，且，所以正确；
由可知，所以正确；
“点数为奇数”，所以，即正确；
“点数为偶数”，所以，由，
，所以，为对立事件，即正确；
因为，，所以，即正确；
由可知，即正确；
综合可得：只有错误，其它的均正确．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意必然事件、互斥事件、对立事件的定义和性质的合理运用．
【解答】
用图解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件，故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】本题考查随机事件概率的定义，考查互斥事件、对立事件的判断与概率计算，属于基础题．
由互斥事件、对立事件的定义以及概率计算公式对各选项逐一判断，即可得出答案．
【解答】解：次品率表示出现次品的可能性的大小，并不能说从中任取件，必有件次品，所以错误．
做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此出现正面的频率是，故错误．
事件发生的概率是一个理论数值，是一个确定的常数，它不随着试验次数的变化而变化，所以错误．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查随机事件的概率，属于基础题目．
设女生人数为，则“选出的代表是女生”的概率为，“选出的代表是男生”的概率为
，则有，求解即可．
【解答】解：根据题意，设班中的女生人数为，
则“选出的代表是女生”的概率为，
“选出的代表是男生”的概率为，
则有，
解得．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，属于中档题．
走出迷宫的时间超过小时这一事件，包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入号通道，回来后又进入号通道，二是进入号通道，回来后又进入号通道，三是进入号通道，回来后又进入号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
【解答】
解：设表示走出迷宫的时间超过小时这一事件，
本事件包括三种情况，且这三种情况是互斥的，
一是进入号通道，回来后又进入号通道的概率是
二是进入号通道，回来后又进入号通道的概率是
三是进入号通道，回来后又进入号通道的概率是
则．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件和对立事件，等可能事件的判定，有限样本空间，属于中档题．
根据互斥事件和对立事件的含义可判定选项A，，；基本事件的含义可判定
【解答】
解：中事件“至少出现点”和“至多出现点”不可能同时发生，所以是互斥事件，故 A正确；
中事件“结果为正面向上”的发生与“结果为反面向上”的发生不可能同时出现，所以是互斥事件，但所有结果只有两种，所以事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件，故B正确；
中事件甲中签和乙中签是不可能同时发生，但也可能是“甲、乙两人都不中签”发生，所以事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件，故C错误；
中设两男为，两女为，，则“”，“”，“”，“”，“”，“”为等可能事件，可以组成一个基本事件空间，显然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四种情况，“两个男医生”只包括“”一种情况，“两个女医生”也只包括“”一种情况，概率不相等，所以不能构成基本事件故D错误．
故选AB．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了事件之间的关系，辨清包含事件，相等事件，和事件，积事件，互斥事件等概念是解决本题的关键
只有当事件是事件的子事件时，、的和事件才等于事件，事件、的积事件一定包含于事件，即事件发生则事件发生，由此排除选项即可
【解答】
解：若，则，故排除，
，，
，故排除，
，，
，，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质等基础知识，属于中档题．
利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解即可．
【解答】
解：对于，若，是互斥事件，则，故A错误；
对于，若事件，为互斥事件，则，故B错误；
对于，对立事件一定是互斥事件，
若，是对立事件，则，是互斥事件，故C正确；
对于，事件，至少有一个发生包含，恰好有一个发生和，同时发生两种情况，
事件，至少有一个发生的概率不小于，恰好有一个发生的概率，故D正确．
故选CD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的计算与运用，互斥事件概率的求法，考查了实际分析和运用能力，属于中档题．
先求出任找一个人，其血型为、、、型血的事件的概率，然后结合选项分析即可求解．
【解答】
解：由题意，任找一个人，其血型为、、、型血的事件分别记为、、、，它们两两互斥，
由已知，有，，，，
因为，型血可以输给型血的人，
所以“可以输给型血的人”为事件，根据概率的加法公式，得，故A正确；
型血的人能为型、型的人输血，其概率为，B错误；
由型血只能接受型血的人输血知，C错误；
由任何人的血都可以够给型血的人，知D正确．
故选AD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查必然事件、对立事件、互斥事件的判断，理清互斥事件和对立事件的区别与联系是关键．
由题知，，即可判断．
【解答】
解：与对立，
，，
，都是必然事件，与必互斥，
故错．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查互斥事件、对立事件间的定义，事件间的相互关系，属于中档题．
根据互斥事件、对立事件间的定义，事件间的相互关系，判断各个命题是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：由于事件：：“恰有件次品”和事件：“至少有件次品”的和表示事件：“至少有件次品”，即事件，故有：成立．
由于事件：“至少有件次品”和事件：“至多有件次品”的和是必然事件，故是必然事件成立．
由于事件表示事件，而，不成立．
由于表示事件“至多有一件次品”，即事件，而，故不成立．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查随机事件的概率，考查互斥事件、对立事件的关系及概率的性质，关键是熟练掌握相关知识．
【解答】
解：若是随机事件，则，所以正确；
若事件与是互斥事件，则与不一定是对立事件，所以不正确；
若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以正确；
事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率大，如果、中有一个事件概率为则两者发生概率相等，所以错误．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查事件的交、并运算关系，是中档题．
分别表示事件的关系，然后即可用集合表示出来即可．
【解答】
解：表示事件“电灯变亮”，那么只有线路接通，线路要接通应该是“开关Ⅰ闭合”且“开关Ⅱ闭合”、“开关Ⅰ闭合”且“开关Ⅲ闭合”或“开关Ⅰ闭合”且“开关Ⅱ闭合”和“开关Ⅲ闭合”都闭合即“开关Ⅰ闭合”且“开关Ⅱ或Ⅲ闭合”．
故答案为．

17.【答案】【解】由题意可知个圆的颜色的所有情况为“个圆颜色一样”“有个圆颜色一样，另个异色”“三个圆都异色”，则试验的样本空间 红，红，红，黄，黄，黄，蓝，蓝，蓝，红，红，黄，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，黄，黄，黄，红，黄，黄，蓝，红，黄，蓝．
事件红，黄，蓝，事件红，红，黄，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，黄，黄，黄，红，黄，黄，蓝，红，黄，蓝，事件红，红，黄，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，黄，黄，黄，红，黄，黄，蓝，事件红，红，红，黄，黄，黄，蓝，蓝，蓝．
由可知，所以事件包含事件由，，，得事件和的交事件与事件互斥．

【解析】略
18.【答案】解：用分别表示甲、乙两个元件的状态，
则可以用表示这个并联电路的状态，
以表示元件正常，表示元件失效，
则样本空间为．
根据题意，可得，，
，．
，；
表示电路工作正常，表示电路工作不正常；
和互为对立事件．

【解析】本题主要考查了样本空间的概念，以及对立事件的实际运用，属于中档题．
用分别表示甲、乙两个元件的状态，从而得到样本空间．
根据可得，以及它们的对立事件．
表示出，，从而判断．
19.【答案】解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有个基本事件，记作其中，，，，
则，，，．
事件与事件互斥，但不对立，事件包含于事件，事件与互斥，但不对立；
事件与不是互斥事件，事件与也不是互斥事件；
事件与是互斥事件，也是对立事件．
，，
，
，
．

【解析】本题重点考查事件的关系和运算，属于中档题．
设其中，，，，则，，，．
利用互斥事件和对立事件的定义即可判断；
利用交事件和并事件进行运算即可．
20.【答案】解这个试验的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
这个试验的结果的个数为．
事件的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为．

【解析】略
21.【答案】解：依题意，该班名同学中共有名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取名同学，该同学参加摄影社的概率为．
设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，
则从名同学中选出的名同学代表共有种等可能的结果：
，
其中恰有名女同学的结果有种：
，
根据古典概率计算公式，
从名同学中选出的名同学代表恰有名女同学的概率为
这名同学中选出的名同学代表来自于不同的初中学校的概率．
【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于中档题．
首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求概率
设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，列出所有满足的情况，根据古典概型的计算方式求解
利用对立事件来求解概率，更简单．
22.【答案】第六组的频率为，
由频率分布直方图的性质，可得第七组的频率为补全频率分布直方图如图所示．
身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
所以可设该校的名男生的身高的中位数为，且，
由，
得，所以可估计该校的名男生的身高的中位数为．
由频率分布直方图得第六、七、八组的频率之和为，
所以身高在及以上的人数为．
第六组的人数为，分别设为，，，，第八组的人数为，分别设为，，则从第六组和第八组的所有男生中随机选取名男生的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种
因为当且仅当随机选取的名男生在同一组时，事件发生，所以事件包含的情况为，，，，，，，共种，故．
由于，所以事件是不可能事件，．
由于事件和事件是互斥事件，所以．

【解析】略
第2页，共2页
第1页，共1页