7.2古典概型 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

7.2古典概型北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成为了研究每周累计户外暴露时间单位：与近视发病率的关系，对某中学高一年级名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：
每周累计户外暴露时间 不少于
近视人数
不近视人数
在每周累计户外暴露时间不少于的名学生中，随机抽取名，其中恰有一名学生不近视的概率为( )
A. B. C. D.
在九章算术商功中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面要求棱不在面上，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是则，，的值分别是．( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
从，，，，这个数中任选两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数构成一个对数值，则所得对数值不大于的概率为( )
A. B. C. D.
袋中有红、黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取次，记事件表示“次抽到的球全是红球”，事件表示“次抽到的球颜色全相同”，事件表示“次抽到的球颜色不全相同”，则( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件不对立
C. D.
一个盒子里装有相同大小的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球为，则下列算式中等于的是( )
A. B. C. D.
先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，两次点数互不影响，设三条线段的长分别为，和，求这三条线段能围成等腰三角形含等边三角形的概率为( )
A. B. C. D.
饕餮纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为( )
A. B. C. D.
一个盒中装有大小相同的个黑球，个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知个零件中恰有个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件“第一次抽到的零件为次品”，事件“第二次抽到的零件为次品”，事件“抽到的两个零件中有次品”，事件“抽到的两个零件都是正品”，则
A.
B.
C.
D.
已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
下列说法中正确的有( )
A. 做次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验，结果有次出现正面，所以出现正面的概率是
B. 盒子中装有大小和形状相同的个红球，个黑球，个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同
C. 从，，，，，，中任取一个数，取得的数小于和不小于的可能性不相同
D. 设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取件，次品的件数可能不是件
利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”，为“是合格品”，为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
一盒中装有分别标记着，，，的个小球，每次从盒中取出一个球，设每个小球被取出的可能性相同若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，则恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率是 ．
已知四个函数：，，，，从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．
已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为________．
若事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围是________．
为奖励给班级争光的两位同学甲和乙，老师决定把，，，四本图书奖励甲、乙同学各两本，则和不奖励给同一个同学的概率为________．
执行如下的程序：
若输入的的值为和输入的的值为时，输出的值相同，则的取值范围为________注：
算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字，若分别在个、十、百、千位档中各随机拨上一颗下珠或拨下一颗上珠，记事件所表示的数能被整除，事件所表示的数能被整除，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
某学校组织校园安全知识竞赛在初赛中有两轮答题，第一轮从类的个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得分，否则得分；第二轮从类的个问题中任选两题作答，每答对题得分，答错得分若两轮总积分不低于分则晋级复赛．
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为在类的个问题中，小明只能答对个问题；在类的个问题中，小明每个问题答对的概率都为他们回答任一问题正确与否互不影响．
求小明在第一轮得分的概率；
以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了道，乙同学猜对了道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值．
袋中有个大小相同颜色不全相同的小球，分别为红球、黄球、蓝球，从中任意取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是，试求：
从中任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率各是多少？
若从其中的红球和黄球中有放回的任取两个球，得到的两个球颜色相同的概率是多少？
对某校高一年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
合计
求出表中，及图中的值
若该校高一年级的学生有人，试估计该校高一年级的学生参加社区服务的次数在区间内的人数
在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于的学生中任选人，请列举出所有样本点，并求至多人参加社区服务的次数在区间内的概率．
某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于元的商品就有资格参加一次抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的个球，分别编号为，，，，，，，，，，购物者在箱中摸两个球，球的编号之和为视为中奖，其余情况不中奖．
求抽奖活动中奖的概率
某顾客准备分别购买两件原价为元、元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总付款额的分布列．
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为，，现采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动．
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作．
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了古典概型的实际应用，属于中档题．
根据题干信息筛选出符合条件的学生，列出所有基本事件以及符合条件的基本事件，利用概率公式求出概率．
【解答】
解：记每周累计户外暴露时间不少于的名学生中，近视的为，不近视的为，，．
设“随机抽取名，其中恰有一名学生不近视”为事件，
则名学生中，随机抽取名，其样本空间，，，，，，共有个样本点，
则，，，所以，
从而，
故随机抽取名，其中恰有一名学生不近视的概率为．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查古典概型，空间线线，线面，面面位置关系，属于中档题．
利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可．
【解答】
解：如图所示，连接长方体的四个顶点，，，，可得鳖臑．
从鳖臑的六条棱中任取两条，有种取法，
其中互相垂直的取法有种：
，，，，，
所以．
从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面要求棱不在面上，有种取法，
它们互相垂直的取法有种：平面，平面，
所以．
从鳖臑的四个面中任取两个面，有种取法，
它们互相垂直的取法有种：
平面平面，平面平面，平面平面，
所以 ．
故选：．

3.【答案】
【解析】解析】只能作为真数，从其余各数中任取一个数作为底数，其值都为，即，，，，共个样本点，从，，，这个数中任选两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数的样本点为，，，，，，，，，，，，共个，所以样本点的总数为个满足题设条件的样本点为，，，，，，，，，，共个，所以所求事件的概率，故选A．
4.【答案】
【解析】对于，因为次抽到的球全是红球为次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件与事件不互斥，故A错误
对于，事件与事件不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件与事件互为对立事件，故B错误对于，因为，所以，故C正确对于，因为事件与事件互斥，，所以，所以，故D错误故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得和，即可判断式子表示的意义．
本题是一个古典概型问题，可以用组合数表示出所有事件数．
【解答】
解：由题意可知：，
，
表示选个白球或者一个白球都没有取得即，
故答案选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查古典概型、列举法等基础知识，属于中档题．
先后次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为，，利用列举法求出有种，满足条件，，的值分别作为三条线段的长，利用列举法求出三条线段能围成等腰三角形共有种，由此能求出三条线段能围成等腰三角形的概率．
【解答】
解：先后次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为，，则有种，分别为：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
满足条件，，的值分别作为三条线段的长，
三条线段能围成等腰三角形共有种，分别为：
，，，，，，，
，，，，，，，
所以三条线段能围成等腰三角形的概率．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了数学文化与古典概型，考查数据处理能力，属于中档题．
写出满足条件的所有线路，找出符合题意的线路，利用古典概型公式得出结果．
【解答】
解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有右，右，右，右，右，下，右，下，右，下，右，右，
右，下，下，下，右，下，下，下，右，下，下，下共种不同的跳法线路，
符合题意的只有下，下，右这种，所以三次跳动后，
恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了古典概型的概率．解题时要注意取到的球是否放回．本题属于中档题．
依题意，取球次数为次，即前次有两次取得黑球，一次取得白球，第四次取得白球．因为先取黑球，再取白球时取球概率不变，但是先取白球再取黑球时取球概率发生改变，故前三次取球应分哪一次取得白球进行讨论．
【解答】解：由题意可知，共有三种取法：白黑黑白，黑白黑白，黑黑白白，
其中，
，
，
所以，
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的计算，互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
分别求出、、、以及，依次判断即可．
【解答】
解：由题可得，
，
则，故A正确；
，
显然，故B错误；
，
由题可知，，，
则，故 C正确；
，
则，故D错误．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，属于中档题．
根据互斥事件的概率计算公式以及相互独立事件的概念，结合概率的基本性质，即可逐项判断出结果．
【解答】
解：因为，．
选项A：如果，那么，，故A错误；
选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，，故B正确；
选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么，
，故C错误；
选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，
那么，，故D正确．
故选BD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题的真假判定，涉及到了概率、频率的基础知识，属于中档题．
选项A，对某次实验，只能说成频率；选项，由三种颜色球个数不相同可判断；选项，由小于与不小于的数字不相同可判断；选项，由随机事件可能发生也可能不发生即可判断．
【解答】
解：对于，做次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有次出现正面，只能说这次试验出现正面的频率是，故A错误；
对于，盒子中三种颜色的球的个数不相同，那么每种颜色的球被摸到的可能性不相同，故B错误；
对于，从，，，，，，中任取一个数，取得的数小于和不小于的个数不相同，故取得的数小于和不小于的可能性不相同，故正确；
对于，设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取件，次品的件数可能是件也可能不是件，故正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型的概率，以及互斥事件的概率，难度一般．
根据事件的关系及运算求解，，，为互斥事件，故C项正确，由
可得，可得答案．
【解答】
解：由已知可得，，为互斥事件，故C项正确，
又因为从件中抽取产品符合古典概型的条件，则，
可得，
即，两项正确，
很明显故D项错误．
故选ABC．

13.【答案】
【解析】解：由题意知，每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，共有种取法，设事件表示“恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球”，事件表示“恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球”，事件表示“恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球”，则事件，互斥，且若最大数字为，则前两次取球标号只能是，，可能的取法为或共种，则若最大数字为，则前两次取球标号可能是，，中的两个，所有的样本点有，，，，，，共有个，则，
，
即“恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球”的概率为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查幂函数的性质，属于中档题．
从四个函数中任选个，基本事件总数，再利用列举法求出事件：“所选个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件的概率．
【解答】
解：给出四个函数：，，，，
从四个函数中任选个，基本事件总数，
事件：“所选个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：
，，共个，
事件：“所选个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为．
故答案为：．

15.【答案】；
；

．
【解析】
【分析】
本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【解答】
解：设扇形的半径为，
则，
解得．
扇形的弧长．
故答案为．
【分析】
本题考查概率的性质与互斥事件的概率加法公式，是基础题．
由概率的性质和互斥事件的性质，能求出实数的取值范围．
【解答】
解：事件与事件互斥，，
，
，解得，
实数的取值范围是．
故答案为．
【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率公式的运用．
先利用列举法列举出所有的基本事件，得出，两本书不奖励给同一同学的事件数，利用古典概型的概率计算公式得到概率．
【解答】
解：将，，，四本图书奖励甲、乙同学各两本，
共有，，，，，，种方法，
和不奖励给同一个同学的有，，，，种方法，
所以，和不奖励给同一个同学的概率为．
故答案为．
【分析】
本题主要考查了条件语句，考查了函数图象的应用，是中档题．
执行程序输出的是分段函数的函数值，画出分段函数的图象，由图象可得的范围．
【解答】
解：由题意，
要使的值相同，则，，
由图可知，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了概率的基本性质，属于中档题．
先求得，，，再利用计算可得．
【解答】
解：因为分别在个、十、百、千位档中各随机拨上一颗下珠或拨下一颗上珠，共可以组成个不同的数，其中能被整除的数为事件，有，即，则，
能被整除的数为事件，有，即，则．
既能被整除又能被整除的数为事件，有，即，则，
故．
故答案为：．

17.【答案】解：对类的个问题进行编号：，，，，，第一轮从类的个问题中任选两题作答，
则有，，，，，，，，，共种，
设小明只能答对个问题的编号为：，，，，
则小明在第一轮得分，有，，，，，共种，
则小明在第一轮得分的概率为：
由知，小明在第一轮得分的概率为，
则小明在第一轮得分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于分，
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
，
，
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
，
当第一轮得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
，
小芳晋级复赛的概率为：
，
小明晋级复赛的概率为：
，
，
小明更容易晋级复赛．
【解析】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，属于中档题．
对类的个问题进行编号：，，，，，设小明只能答对个问题的编号为：，，，，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得分的概率
依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分或第一轮得分，第二轮答对两题得分四种情况分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论．
18.【答案】解：设任选一道灯谜，甲猜对”，任选一道灯谜，乙猜对”，任选一道灯谜，丙猜对”，，，彼此相互独立，
则由古典概型概率计算公式可知，，
所以．
记“甲、乙两个同学恰有一个人猜对”，
则，
答：任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为；
记“甲、乙、丙三个人至少有一个人猜对”，
则，
解得．
【解析】本题考查互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概率计算．
首先根据古典概型概率公式分别求出三位同学答对的概率，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求解；
利用对立事件以及相互独立事件的概率公式得到关于的方程即可求解．
19.【答案】解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件为，，，
由于，，为互斥事件，
根据已知得，解得
从中任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率分别是．
由知红球、黄球个数分别为，，用，，表示红球，用，表示黄球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，所以，
每个样本点出现的可能性相同，因此这个试验是古典概型，设“取出两球颜色相同”，，
所以，
所以．
【解析】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．
从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件为，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率
红球、黄球、个数分别为，，利用古典概型概率公式即可求解．
20.【答案】由服务次数在内的频数是，频率是，知，所以因为频数之和为，所以，解得，故因为是对应分组的频率与组距的商，所以．
因为该校高一年级的学生有人，服务次数在内的频率是，所以估计该校高一年级的学生参加社区服务的次数在内的人数为．
所取样本中，参加社区服务的次数不少于的学生共有人，设在区间内的人为，，，在区间内的人为，，任选人，所有的样本点为，，，，，，，，，，共个样本点，而两人都在内的有，，，共个样本点，所以至多人参加社区服务次数在区间内的概率为 ．

【解析】略
21.【答案】解：用，表示两个球的编号，则样本点可以用表示，
样本空间，，
设事件“顾客能中奖”，，
所以．
设总付款额为，则的所有取值为：，，，，
设事件“购头元商品时中奖”，事件“购头元商品时中奖”，与相互独立，则
，
，
，
，
所以总付款额的分布列为：

【解析】本题主要考查的是古典概型及离散型随机变量及其分布列的求解，以及概率的求解，难度适中。
先求总事件所有可能情况，再求中奖事件可能情况，即可求出结论。
先求的所有取值情况，再分别求出概率列分布列即可。
22.【答案】解：由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为：：，
由于采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学，
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取人，人，人．
从抽取的名同学中随机抽取名同学的所有可能结果为：
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，共个．
设抽取的名学生中，来自甲年级的人分别是，，，
来自乙年级的人分别是，，来自丙年级的人分别是，，
为事件“抽取的名同学来自同一年级”，
则事件包含的所有可能结果有：
，，，，，共个，
事件发生的概率．
【解析】本题考查分层随机抽样、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，属于中档题．
利用分层随机抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取人，人，人．
从抽取的名同学中抽取名同学，利用列举法能求出所有可能结果．
设抽取的名学生中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，为事件“抽取的名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件发生的概率．
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