7.4事件的独立性 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

7.4事件的独立性北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为( )
A. B. C. D.
已知，是相互独立事件，若，，则( )
A. B. C. D.
一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有人解出的概率为( )
A. B. C. D.
电路从到上共连接了个开关，每个开关闭合的概率为若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从到连通的概率是( )
A. B. C. D.
在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采用局胜制在决胜局的比赛中，先得分的运动员为胜方，但打到平以后，先多得分者为胜方在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发个球若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，马龙先发球，则马龙以赢下决胜局的概率为( )
A. B. C. D.
某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表．假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟．
办理业务所需要的时间分
频率
则在某一天，第三位居民恰好等待分钟才开始办理业务的概率为( )
A. B. C. D.
抛掷一枚硬币三次，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的概率为( )
A. B. C. D.
一台机床有的时间加工零件，其余时间加工零件加工零件时，停机的概率为，加工零件时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”至今已有四千多年历史，围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是．( )
A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大
B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等
C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军
设，为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，是互斥事件，，，则
B. 若，是对立事件，则
C. 若，是独立事件，，，则
D. 若，，且，则，是独立事件
设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有、、、的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面为偶数，事件第二个四面体向下的一面为奇数，事件两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数记事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则 ( )
A. B. 与互斥
C. 与相互独立 D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的篇稿件被录用的概率为 ．
甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ．
甲、乙两位同学组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中恰猜对两个成语的概率为 ．
某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛，现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响．
在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？
若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率．
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
求甲连胜四场的概率；
求需要进行第五场比赛的概率；
求丙最终获胜的概率．
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：
累计负两场者被淘汰比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为．
求甲连胜四场的概率
求需要进行第五场比赛的概率
求丙最终获胜的概率．
甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
求乙回答个问题，至少有一个回答正确的概率；
两人各回答个问题，求甲恰好回答个正确且乙恰好回答个正确的概率；
假设某人连续次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答次被退出比赛的概率是多少？
为普及抗疫知识弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已知在第一轮比赛中，选手甲乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲乙胜出的概率分别为，甲乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
从甲乙两人中选取人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
若甲乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是若各家庭回答是否正确互不影响．
求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
求甲、乙、丙三个家庭中不少于个家庭回答正确这道题的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，互斥事件与对立事件，属于中档题．
根据题意得到，进而得到即可．
【解答】
解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则，
所以，
所以，
所以该同学一个社团都不进入的概率：
．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相互独立事件，属于中档题．
因为事件、相互独立，则事件、相互独立，进行求解即可．
【解答】
解：因为，是相互独立事件，
所以，和、均相互独立，
因为，，
所以，
所以，
解得．
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，注意先按互斥事件分类，再按相互独立事件的概率乘法公式进行计算，属于中档题．
根据题意，只有一人解出的试题的事件包含三个互斥的事件：解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，只有一人解出试题的事件包含三个互斥的事件：
解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，
而三人解出答案是相互独立的，
则只有一人解出试题，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
利用对立事件概率公式和相互独立事件事件概率公式能求出从到连通的概率．
【解答】
解：电路从到上共连接着个开关如图，每个开关闭合的概率为，则断路的概率为，
整个电路的连通与否取决于开关是否断路，
则从到连通的概率是：
．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
在比分为：后马龙先发球的情况下，马龙以：赢下此局分两种情况：四球胜方依次为马龙、樊振东、马龙、马龙；四球胜方依次为樊振东、马龙、马龙、马龙，由此能求出所求事件概率．
【解答】
解：记甲为马龙，乙为樊振东
在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局分两种情况：
后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为
后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，
所以，所求事件概率为
故选C

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
设事件表示“第三位居民恰好等待分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：第一个居民办理业务所需时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；第一个居民办理业务所需的时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为分钟，由此可求概率．
【解答】
解：设表示居民办理业务所需的时间，用频率估计概率，如下：
设表示事件“第三个居民恰好等待分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：
第一个居民办理业务所需时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；
第一个居民办理业务所需的时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；
第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为分钟．
所以．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
抛掷一枚硬币三次，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的情况有正正反，正反反，反正正，反反正，且抛掷一枚硬币一次，正面向上的概率为，利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】
解：抛掷一枚硬币三次，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的情况有正正反，正反反，反正正，反反正，
故其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的概率为：
．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
利用相互独立事件的概率公式求解即可．
【解答】
解：加工零件停机的概率是，
加工零件停机的概率是，
所以这台机床停机的概率是，
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
甲在比赛中以：获得冠军，即甲在前场中赢场，输场，并第场获胜，再结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【解答】
解：若采用三局两胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故A错误
若采用五局三胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故B正确
因为采用三局两胜制甲胜的概率为，采用五局三胜制甲胜的概率为，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误
若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为，所以D正确．
故本题选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与对立事件和相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：对于，若，是互斥事件，，，则，故A错误；
对于，若，是对立事件，则，故B正确；
对于，若，是独立事件，，，则，故C正确；
对于，若，，则，所以，则，是独立事件，故D正确，
故选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式、古典概型及其计算，互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
根据古典概型的概率公式、相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式即可判断；根据古典概型的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式即可判断；根据概率的性质即可判断；根据古典概型的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式即可判断．
【解答】
解：因为，，所以，故A正确；
因为事件表示第一个四面体向下的一面为偶数且第二个四面体向下的一面为奇数，
事件表示两个四面体向下的一面都为偶数，
事件表示两个四面体向下的一面都为奇数，
所以，故B正确；
因为事件是不可能事件，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的定义，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，
，
，
则有，A正确
对于，若发生，即第一次和第二次都是奇数，则两次点数之和为偶数，
反之若两次点数之和为奇数，则第一次和第二次的点数为一次奇数、一次偶数，
故A与互斥，B正确
对于，，故，即与相互独立，C正确
对于，因为事件、、不能同时发生，故，D错误
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件有一个发生的概率，独立事件同时发生的概率的求法，属于中档题．
投到该杂志的篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式计算即可．
【解答】
解：记表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
表示事件：稿件被录用．
则．
，，，
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
甲队最终获胜包含种情况，前两场甲均胜利，第一场甲胜，第二场甲负，第三场甲胜，第一场甲负，第二场甲胜，第三场甲胜，然后将各种情况的概率相加，即可得到甲队最终获胜的概率．
【解答】
解：甲队最终获胜包含种情况：
前两场甲均胜，概率为，
第一场甲胜，第二场甲负，第三场甲胜，概率为，
第一场甲负，第二场甲胜，第三场甲胜，概率为，
甲队最终获胜的概率是．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
设甲猜对为事件，猜不对为事件 ；乙猜对为事件，猜不对为事件，再利用独立事件的概率乘法公式即可求出结果．
【解答】
解：设甲猜对为事件，猜不对为事件 ，乙猜对为事件，猜不对为事件，
猜对个成语为事件 ，
；
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是互斥事件与对立事件，相互独立事件同时发生的概率等知识．
已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都没能进入的概率为，由此求解即可．
【解答】
解：由题知三个社团都能进入的概率为，
即，
又因为至少进入一个社团的概率为，
所以一个社团都没能进入的概率为，
即，
由可得．
故答案为．

17.【答案】解：设“甲在第一轮比赛中胜出”，
“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，
“乙在第二轮比赛中胜出”，
则“甲赢得比赛”，
．
“乙赢得比赛”，
．
因为，
所以派甲参赛获胜的概率更大．
由知，
设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；
．
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
．
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派甲参赛赢得比赛的可能性最大；
设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出至少有一人赢得比赛的概率．
18.【答案】甲连胜四场只能是前四场全胜，．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜场的概率为；
乙连胜场的概率为；
丙上场后连胜场的概率为；
所以需要进行第场比赛的概率为，
丙最终获胜有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
因此丙最终获胜的概率为．
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜场的概率为；乙连胜场的概率为；丙上场后连胜场的概率为，从而求出需要进行第五场比赛的概率．
丙最终获胜有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，从而求出丙最终获胜的概率．
19.【答案】解：甲连胜四场只能是前四场全胜，则．
设甲输掉一场比赛为事件，乙输掉一场比赛为事件，丙输掉一场比赛为事件，
四场比赛能结束为事件，
则
，
所以需要进行第五场比赛的概率为，
丙获胜的概率为：
．

【解析】本题考查概率的乘法公式和独立事件的概率公式，属于中档题．
独立事件的概率公式计算即可；
由独立事件和对立事件的概率公式，计算可得答案；
分类讨论求概率，由独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
20.【答案】解：记“乙回答个问题，至少有一个回答正确”为事件，
由题意，得，
答：乙回答个问题，至少有一个回答正确的概率．
记“甲答对第个问题”为事件，
则甲恰好回答个正确为事件，
，
则甲恰好回答个正确且乙恰好回答个正确的概率为．
答：两人各回答个问题，甲恰好回答个正确且乙恰好回答个正确的概率为．
记“甲答对第个问题”为事件，
则甲恰好回答次被退出比赛为事件，
则，
答：甲恰好回答次被退出比赛的概率是．
【解析】本题考查了相互独立性的乘法公式和对立事件，属于中档题．
由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案；
记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答个正确为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得出答案；
记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得出答案．
21.【答案】解：设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
，，，
，
同理
因为，
所以，派甲参赛获胜的概率更大．
由知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
，；
于是“两人中至少有一人赢得比赛”．
．

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
根据独立事件的概率分别计算甲、乙比赛胜出的概率比较即可得解；
考虑问题的对立面，计算两人都没有赢得比赛的概率，根据对立事件的概率之和为即可得解．
22.【答案】解：记“甲家庭答对这道题”、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事件，，，则，
且有即
所以，．
有个家庭回答对的概率为
，
有个家庭回答对的概率为 ，
所以不少于个家庭回答对这道题的概率为．

【解析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，是中档题．
记“甲家庭答对这道题”、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事件，，，由题意得可解出，．
先得出和，由对立事件概率可得结果．
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