2.3函数的单调性和最值 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

2.3函数的单调性和最值北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
定义运算对，对，，，若，则有( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在上单调递增
C. 函数的最小值为
D.
已知函数，则错误的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 方程的解的个数为
C. 在上单调递增 D. 的最小值为
已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知，设函数的最大值为，最小值为，那么 ( )
A. B. C. D.
已知函数，函数，若，，不等式成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
设函数，则( )
A. 是偶函数，且在单调递增
B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增
D. 是奇函数，且在单调递减
若函数在区间上的最大值为，则实数( )
A. B. C. D. 或
函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知函数，则( )
A. 函数有两个不同的零点
B. 函数在上单调递增
C. 当时，若在上的最大值为，则
D. 当时，若在上的最大值为，则
已知函数，，则下列说法正确的是
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数的最小值为
D. 函数的最小值为
已知函数，则下列叙述正确的是( )
A. 当时，函数在区间上是增函数
B. 当时，函数在区间上是减函数
C. 若函数有最大值，则
D. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
函数，有下列结论正确命题的是 ( )
A. 的图象关于轴对称
B. 的最小值是
C. 在上是减函数，在上是增函数
D. 没有最大值
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
关于函数有下列命题：
函数的图象关于轴对称；
在区间上，函数是减函数；
函数的最小值为；
在区间上，函数是增函数．其中正确命题序号为
已知，，则的最大值为________
已知函数是上的增函数且，则的值为 ．
函数的值域为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知幂函数为偶函数一次函数满足，．
Ⅰ求和的解析式；
Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．
已知函数．
Ⅰ若，求在的最大值；
Ⅱ若函数在上是增函数，求实数的取值范围．
已知函数．
若定义域为，求的取值范围；
若，求的单调区间；
是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
设为奇函数，为常数．
求的值；
判断函数在上单调性，并说明理由；
若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
已知函数是函数的反函数．
求函数的单调递增区间；
设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围．
已知函数且在区间上的最大值为．
求的值
当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求出的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
依题意，，
故，，
即，函数的图象关于直线对称，故A正确
，
令，，
当时，，单调递增，此时单调递减，故在上单调递减
当时，，单调递增，此时单调递增，故在上单调递增，故B错误
根据单调性知在时取得最小值，故C错误
因为，根据单调性得，故D错误．

2.【答案】
【解析】解：因为函数，满足，所以函数是偶函数，所以A正确；
令即，解得：，函数有个零点：；；，
所以方程的解的个数为，所以不正确；
令，，时，
函数，都为递增函数，故在递增，故C正确；
由时，取得最小值，故的最小值是，故D正确．
故选：．
利用函数的奇偶性判断；函数的零点判断；复合函数的单调性判断；求解函数的最小值判断．
本题考查命题的真假的判断，考查函数的单调性以及的奇偶性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性的应用、函数的最值、不等式恒成立问题，属中档题．
将已知转化为在上的最大值小于在上的最大值来解决．
【解答】
解：函数，函数，
若，，使得不等式
在上的最大值小于在上的最大值．
由
，
所以；
由
，；
当时，，，符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
因为，
则；
此时，得出．
当时，在单调递增，在单调递减，
则，
此时，得出．
综上所述实数的取值范围为 ，
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用函数的单调性求最值问题的应用，属于中档题．
将函数化简，可得，再由在单调递增，即可求解．
【解答】
解：函数，
所以易知是单调递增函数，
，
又在上单调递增，
所以．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性的应用、函数的最值、不等式恒成立问题，属中档题．
将已知转化为在上的最大值小于在上的最大值来解决．
【解答】
解：函数，函数，
若，，使得不等式
在上的最大值小于在上的最大值．
由
，
所以；
由
，；
当时，，，符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
因为，
则；
此时，得出．
当时，在单调递增，在单调递减，
则，
此时，得出．
综上所述实数的取值范围为 ，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由，得．
又
，
为奇函数；
由
，
．
可得内层函数的图象如图，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又对数函数是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，在上单调递减．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题．
先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可．
【解答】
解：函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减函数，最大值为
当时，在上单调递增函数，最大值为，
即，显然不合题意；
当时，，，不符合题意舍去；
故实数．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数型复合函数的单调性问题，属基础题．
注意两个方面，一方面与对数函数复合的真数内函数的单调性，另一方面对数的真数必须大于，是解决此类问题的关键．
【解答】
解：由得：，
令，则，
时，为增函数，时，为减函数，
为增函数，故函数的单调递减区间是．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的零点、最值问题、指数函数的单调性的运用．属于知识的综合应用．
结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式，
所以函数有两个不同的零点，正确；
因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，
所以在上单调递增，不正确；
令，则．
当时，，故在上先减后增，
又，故最大值为，
解得负值舍去．
同理当时，，在上的最大值为，
解得负值舍去．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性以及最值，属中档题．
利用特值法判断不正确，根据复合函数的单调性判断B正确，对于选项根据单调性及定义域确定函数的最值，对于选项可转化为二次函数求出最值．
【解答】
解：函数，
当时，，当时，，
所以函数在上不单调递增，A错误．
函数，
因为函数和函数在上单调递减，
所以在上单调递减，B正确．
因为函数在上单调递增，
且当时，，所以的最小值为，C正确．
函数，
当时，函数取最小值，且最小值为，D正确．
故选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性和函数的最值，二次函数的性质，属于中档题．
对于，选项，运用复合函数的单调性即可判定，对于选项，得出函数有最小值，从而可求解；对于选项，可得在是减函数，分类讨论，两种情形，从而得解．
【解答】
解：对于，选项：当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；
对于选项：若有最大值，显然不成立，
则函数有最小值，
可得，解得，故C正确；
对于选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，
当时，显然成立，
当时，由二次函数的性质可得，解得，
所以的取值范围为，故D正确；
故选BCD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的性质，考查函数图象的特征，属于中档题．
根据函数的奇偶性可知A正确，根据基本不等式及函数单调性可判定项，从而得解．
【解答】
解：因为，
所以函数是偶函数，图象关于轴对称故A选项正确；
因为，当且仅当时取等号．
所以，故B选项错误；
因为当时，，函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数在上单调递减，在上单调递增故C选错误；
因为当时，没有最大值，故此时函数没有最大值，由偶函数的对称性知，在时，也没有最大值，故D选项正确．
故选AD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函的奇偶性和单调性，函数的最值，属于中档题．
根据可知函数为偶函数，图象关于轴对称，再由函数的单调性可判其他命题．
【解答】
解：函数，显然，
即函数为偶函数，图象关于轴对称，故正确；
当时，，
令，，
根据“对勾函数”的性质易知：
当时，单调递减，当时，单调递增，即在处函数取得最小值为．
由偶函数的图象关于轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复合函数的单调性，函数的最值求解，属于中档题．
易知，令，分析函数单调性，即可得其最值．
【解答】
解：，，
则
令，
则式，
由于函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，
当时，即或时，式取得最大值，
的最大值为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】因为函数是上的增函数，所以在区间上单调递增，所以又因为，所以，解得又因为，所以，所以，即，所以所以．
16.【答案】
【解析】 因为 ，所以在上单调递增，因为，当无限接近时，的值接近，所以的值域为
17.【答案】解：Ⅰ因为函数为幂函数，所以，
即，解得：或．
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意；
所以，．
因为为一次函数，所以，设，由，，
得：，解得：所以．
Ⅱ，
令，因为，所以，
而在上单调递增，
所以，当，即时，取得最小值．
当，即时，取得最大值．
所以，函数在区间上的最小值为，最大值为．

【解析】本题考查了幂函数及一次函数的概念，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题．
Ⅰ由幂函数的概念可知：，再结合偶函数的性质可得出的解析式再由为一次函数，用待定系数法，代点，列出方程组求解即可得到解析式
Ⅱ由Ⅰ得：，令，，利用换元法结合函数的单调性即可求出最值．
18.【答案】解：Ⅰ，
二次函数的对称轴，
所以函数在上是增函数，在上是减函数
故的最大值为
Ⅱ因为函数在上是增函数，
所以在上是增函数，
所以．
【解析】本题主要考查的是函数的性质，函数的增减性，复合函数的增减性，函数的最值的有关知识．
根据得到二次函数的对称轴，进而求出函数的增减性，从而求出最值；
根据函数在上是增函数，得到在上是增函数，从而解出此题．
19.【答案】解：因为的定义域为，
所以对任意恒成立，
显然时不合题意，
从而必有，
解得，
即的取值范围是．
因为，
所以，
因此，，
这时．
由得，即函数定义域为．
令．
则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
假设存在实数使的最小值为，
则应有最小值，
因此应有，解得．
故存在实数，使的最小值为．
【解析】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．
由题意可得，对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，由此求得的取值范围．
因为求得，这时由求得函数定义域为令，求得的单调区间，即可得到的单调区间．
假设存在实数使的最小值为，则应有最小值，根据，解得的值，从而得出结论．
20.【答案】解：为奇函数，
对定义域内的任意都成立，
，
，
解得或，
当时，无意义，所以舍去，
所以
由知，
任取，设，则：
，
，
，
，
，
在上是增函数
令，
在上是减函数，
由知是增函数，
，
对于区间上的每一个值，不等式恒成立，
即恒成立，．
的取值范围为．

【解析】本题考查函数的奇偶性及函数的单调性，同时考查对数函数的性质及不等式恒成立问题．
由奇函数的定义可求得值
根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断的单调性；
不等式恒成立，等价于恒成立，构造函数，转化为求函数在上的最值问题即可解决．
21.【答案】解：依题意可知，
在上单递增，则，
若求函数的单调递增区间，即求的单调递增区间，
所以
得，即，
故的单调递增区间为．
因为在上单调递减，
所以，．
由，得，
则，
即对任意恒成立．
因为，所以函数在上单调递增，
则，
由，得，所以的取值范围为
【解析】本题考查复合函数的单调性以及不等式恒成立问题，正弦函数的性质，对数的运算，属于中档题．
根据题意可得，根据对数函数的性质以及复合函数的单调性即可求解
由在上单调递减，结合题意可得，结合对数运算以及函数的单调性即可求解．
22.【答案】解：函数，且函数在区间上的最大值为，
当时，函数在区间上单调递增，所以，解得
当时，函数在区间上单调递减，所以，解得．
所以或．
由可知当函数在定义域内是增函数时，，即函数
则，
由，得，
所以函数的定义域为
因为，所以是偶函数．
当时，，
又因为在区间上是减函数，
所以，
所以在上的值域为．
又是偶函数，所以在上的值域也为，
所以的值域为．

【解析】本题考查对数型函数性质的综合应用，属于中档题．
当时，，解出当时，，解出．
由已知，求出函数的定义域为，又可证得是偶函数，只需讨论当时函数的值域即可．
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