桥东中学2021～2022学年下学期期末考试高二数学试卷
一、单项选择题
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
B．
C． D．
6．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是( )
A． B． C． D．
8．已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中的
B．成绩不低于80分的职工约80人
C．200名职工的平均成绩是80分
D．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬
10．已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线不垂直 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为3 D．点到平面的距离是点到平面的距离的
13．当时，的最小值为______．
14．甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%，两地同时降雨的概率为30%，则在乙地降雨的条件下，甲地也降雨的概率为_________.
15．已知，且，则
16．设函数，已知在区间内为减函数，则的取值范围为___________.
解答题
17．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%.记为“零件为第台机床加工”.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的一个零件是次品，计算它是第3台机床加工的概率.
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求a的最小值.
20．如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．
(1)设为中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．已知函数为偶函数．
(1)求a的值，并证明在上单调递增；
(2)求满足的x的取值范围．
22．已知函数，，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．高二数学下学期期末考试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D A C B D
题号 7 8 9 10 11 12
答案 A D AB BC AC ABD
13）5 14）37.5%(或0.375） 15） 16）
17）(1)解：令“任取一个零件为次品”，由题意，且，，两两互斥，
由全概率公式得：
.
(2)；
所以取到一个零件是次品是第3台机床加工的概率为.
18、【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.所以，，.
19、解（1）：中，，由正弦定理知，，
∵，∴，
∴，∴.
∵，∴，又∵，∴.
(2)由（1）得，又，解得，
中，由余弦定理得，
当且仅当时取等号，所以a的最小值为.
20、(1)证明：取中点，连接、，则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．
分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面法向量为，则，，
即，令，得到平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21、(1)解：由题意函数为偶函数，∴，即
∴对任意恒成立，解得．∴
任取，则
由，可得，∴，即，
∴在上单调递增．
（2）由偶函数的对称性可得在上单调递减，
∴，
∴，解得，
∴满足的x的取值范围是．
22、(1)，①当时，，在上单调递减．
②当时，令，得，
当时，单调递增；当时，，单调递减．
(2)当时，恒成立，即在时恒成立，
令，则，令，则，
易知在上单调减函数，
∴，∴在上单调递减，∴．
①当，即，，
∴在上单调递减，此时，符合题意；
②当，即时，，时，，
∴使得，
则时，，单调递增，
∴，不符合题意．
综上所述，．
