人教A版（2019）必修第一册4.5 对数函数(数形结合与零点应用）训练（Word版含解析）

数学必修一 知能总结 对数函数相关解题
难度：6.0-6.5 解题方法：数形结合与零点应用
一、单选题
1．已知函数，，则图像交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（ ）
A．a的取值范围为 B．的取值范围为
C． D．的取值范围为
3．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列说法中正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
5．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知函数，则关于的不等式的解集为____________________ ．
7．已知p：， q：函数存在零点．若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围．
8．已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
三、解答题
9．计算：
(1)
(2).
10．已知函数.
(1)判定并证明的奇偶性和单调性；
(2)求不等式的解集；
(3)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】
不妨设，
作出和的图像，由图像知，，
则，
则，
即，即，即，
故选：C．
2．D
【详解】
当时，函数是减函数，函数值集合为，
当时，函数是增函数，函数值集合为，
当时，函数是减函数，函数值集合为，如图，
因方程有三个不相等的实数根，则，，A不正确；
，且满足，于是得，因此的取值范围为，B不正确；
，且有，因此，，即，解得，C不正确；
，所以的取值范围为，D正确.
故选：D
3．B
【详解】
令，，则，即，
分别作出函数和直线的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得，
当时，即方程有两个不相等的根，
当时，函数和直线有三个交点，
即方程有三个不相等的根，
综上可得的实根个数为，
即函数的零点个数是5.
故选：B.
4．CD
【详解】
选项A：因为，所以，A错误.
选项B：，当且仅当时等号成立，此时无解，B错误.
选项C：因为，
又因为
所以，C正确.
选项D：因为的值域为，所以的值域包括，所以或解得，D正确.
故选：CD.
5．CD
【详解】
关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与如下图所示，
由图形可知：，A错误；
关于对称，，B错误；
当时，令，解得：，，C正确；
，，，
，，
，，又，
，D正确.
故选：CD.
6．
【详解】
令，
，
有，所以是奇函数，
所以，
又因为和 均为增函数，
所以为增函数，
因为，
所以，
所以，
解得，
故答案为：.
7．
【详解】
对于命题p：，当命题p为真有：
即在上恒成立，由对勾函数的图像与性质有：
函数在上单调递减，所以当时，，
，所以.所以若p为真，则.
对于命题q：函数存在零点.设，则，
则函数化为，由题意知在上存在零点，
令，得，又，所以若q为真，则m<1.
若命题p，q一真一假，则或，解得，即.
故所求实数m的取值范围是.
故答案为：.
8．
【详解】
由为奇函数，可得其图像关于对称，
所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，
对任意的，恒成立
恒成立，
即在恒成立，
所以，
令，由，可得，
设，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
9．(1)；
(2).
【解析】(1)解：
.
(2)
解：
.
10．(1)为减函数，且为奇函数
(2)
(3)
【解析】(1)因为函数，由，可得，又，所以为奇函数.
设，则，因为，且与均大于0，故，故，即，故为减函数.
综上有为减函数，且为奇函数
(2)
由（1），又的值域为R，不等式，即为，则，即，
即为，因为，故，，
解得：，则原不等式的解集为；
(3)
函数，
若存在，
使得成立，
当，的值域为，
当时，在递减，可得的值域为，
由题意可得和的值域存在交集，
即有，即；
若，则在递增，可得的值域为，
由题意可得和的值域不存在交集，
综上可得a的范围是.