数学人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式 同步练习（Word版含部分解析）

《第二节　基本不等式》同步练习
一、基础巩固
知识点1　对基本不等式的理解
1.已知a>0,用基本不等式求9a+的最小值时,有9a+≥2,则取得最小值时a的值为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.3
2.给出条件①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使ab+≥2成立的条件有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(多选)下列推导过程,正确的是(　　)
A.因为a,b为正实数,所以≥2=2
B.因为a>3,所以+a≥2=4
C.因为a<0,所以+a≥2=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以=-[(-)+(-)]≤-2=-2,当且仅当x=-y时,等号成立
知识点2　利用基本不等式比较大小
4.已知p=a+(a>2),q=-b2-2b+3(b∈R),则p,q的大小关系为(　　)
A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p5. (多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA.aC.6. 已知a>b>c,则与的大小关系是　　　　　.
知识点3　利用基本不等式求最值
7. 若x>0,y>0,则2x+y+的最小值是(　　)
A.3 B.4 C.4 D.2
8.已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值为(　　)
A.6 B.8 C.16 D.20
9.若x>2,则y=有(　　)
A.最大值6 B.最大值8
C.最小值6 D.最小值8
10.已知正数x,y满足x+=6,则xy的最大值为(　　)
A.6 B.2 C.3 D.27
11. (多选)下列结论中正确的是(　　)
A.当x>0时,≥2 B.当x>3时,x+的最小值是2
C.当x<时,2x-1+的最小值是4 D.设x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值是9
12. 已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
13. (1)设0(2)已知a>0,b>0,若a+b=2,求的最小值.
知识点4　利用基本不等式证明不等式
14.(1)若a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd;
(2)已知x>0,y>0,求证:x2+y2+≥4;
(3)已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:≥9.
知识点5　基本不等式的实际应用
15.某电商自营店,其主打商品每年需要6 000件,每年进n次货,每次购买x件,每次购买商品需手续费300元,已购进未卖出的商品要付库存费,可认为年平均库存量为,每件商品库存费是每年10元,则要使总费用(手续费+库存费)最低,则每年进货次数为　　　　.
16.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关.已知建造宿舍的费用p(万元)和宿舍到工厂的距离x(km)的关系式为p=(0≤x≤15).若距离为10 km,测算宿舍建造费用为20万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需10万元,路面铺设成本为每千米4万元.设y为建造宿舍与修路费用之和.
(1)求y的表达式.
(2)宿舍建在离工厂多远处,可使总费用y最小 求出最小值.
二、能力提升
17.设a>0,不等式x+≥6对x>0恒成立,则a的最小值是(　　)
A.1 B.4 C.9 D.16
18.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a+b=14,c=6,则此三角形面积的最大值为(　　)
A.6 B.6 C.12 D.12
19.(多选)已知x,y都为正数,且2x+y=1,则(　　)
A.2xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为
C.x(x+y)的最大值为
D.的最小值为3+2
20. 已知正实数a,b满足a+2b=1,则(1+)(2+)的最小值为　　　　.
21.一批物资随17列火车从A市以v km/h匀速直达B市.已知两地铁路线长400 km,为了安全,两列火车之间的距离不得小于()2 km,那么这批物资全部运到B市,最快需要　　　　h(不计火车的车身长),此时v的值为　　　　.
22.已知x,y,z都是正数.
(1)求证:≥0;
(2)若≥(m2-2m-2)()恒成立,求实数m的取值范围.
23.为了加强“疫情防控”建设,某校决定在学校门口借助一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面面积为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园应急室.此应急室的后背靠墙,无需建造费用.公司甲给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体的报价为每平方米300元,屋顶、地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(1≤x≤5),公司甲的总报价为y元.
(1)试求y与x的关系式.
(2)现有公司乙也参与此应急室的建造竞标,其给出的总报价为(520x+20 000)元,若采用最低价中标规则,则哪家公司能竞标成功 请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.C　当且仅当9a=,即a=时,等号成立,即取得最小值.
2.C　由基本不等式可知,要使ab+≥2成立,则ab>0,所以a,b同号,所以①③④均可以.
3.AD
4.A　因为a>2,所以p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立,即p≥4.又q=-b2-2b+3=-(b+1)2+4≤4,所以p≥q.
5.AD　设甲、乙两地之间的距离为s.因为a0,所以v>a,所以a6.≤
7.A
8.C
9.C　因为x>2,所以x-2>0,所以y==x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时等号成立,故y=有最小值6.
10.D
11.AD
12. 解：(1)xy=2x+8y≥2=8,当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时等号成立,
所以≥8,所以xy≥64,
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y=xy,得=1,
所以x+y=(x+y)()=10+≥10+2=18,当且仅当,即x=12,y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.
13. 解：(1)因为00,
所以y=·≤·,
当且仅当2x=4-2x,即x=1时等号成立.
所以y=的最大值为.
(2)因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0.又a+b=2,所以a+1+b+1=4,
所以()[(a+1)+(b+1)]=[5+]≥[5+2]=,
当且仅当即时取等号,所以的最小值为.
14. 解：(1)由基本不等式可知,ab+cd≥2,当且仅当ab=cd时,等号成立;
ac+bd≥2,当且仅当ac=bd时,等号成立,
所以(ab+cd)(ac+bd)≥2·2=4abcd,即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,
当且仅当a=d,b=c时,等号成立.
(2)因为x>0,y>0,
所以x2+y2+≥2xy+≥4,当且仅当x=y,xy=1,即x=y=1时取等号,
所以x2+y2+≥4.
15.10
16. 解：(1)由题意可知,20=,解得k=900,所以p=(0≤x≤15),
所以y=+10+4x(0≤x≤15).
(2)因为y=+10+4x=+(4x+5)+5≥2+5=65,当且仅当4x+5=,即x=时取等号,所以宿舍建在离工厂 km处,可使总费用y最小,为65万元.
二、能力提升
17.C　因为a>0,x>0,所以x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时取等号,所以2≥6,即a≥9,所以a的最小值是9.
18.B
19.ABD
20.18
21.8　100
22. 解：(1)要证≥0,
即证x2-xy+y2-yz+z2-xz≥0,
即证x2+y2+z2≥xy+yz+xz.
因为x,y,z都是正数,
所以x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,x2+z2≥2xz,
当且仅当x=y=z时,以上三式等号均成立,
所以x2+y2+y2+z2+x2+z2≥2xy+2yz+2xz,
整理得x2+y2+z2≥xy+yz+xz,当且仅当x=y=z时,等号成立.
所以原不等式得证.
(2)因为≥(m2-2m-2)()恒成立,
所以m2-2m-2≤·恒成立.
又-1≥2-1=1,当且仅当x=y时等号成立,
所以m2-2m-2≤1,即m2-2m-3≤0,
解得-1≤m≤3,
故实数m的取值范围为-1≤m≤3.
23. 解：(1)由题意,得y=3(300×2x+400×)+14 400=1 800(x+)+14 400(1≤x≤5).
即y与x的关系式为y=1 800(x+)+14 400(1≤x≤5).
(2)对于公司甲:
y≥1 800×2+14 400=28 800,
当且仅当x=,即x=4时取等号,
所以当左、右两面墙的长度均为4 m时,公司甲的报价最低,为28 800元.
对于公司乙:
当1≤x≤5时,20 520≤520x+20 000≤22 600,
即公司乙的最高报价为22 600元.
因为22 600<28 800,
所以无论x取何值,公司甲的报价都比公司乙高,故公司乙能竞标成功.