人教A版2019选择性必修第二册4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 14:24:35 | ||
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文档简介
第四章：数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
【题型归纳】
题型一：等比数列前n项和公式的基本运算
1．（2021·江苏南通·高二期末）已知等比数列的前6项和为，公比为，则（ ）
A． B． C． D．24
2．（2021·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高二课时练习）设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：等比数列的判断和性质的应用
4．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（ ）
A．32 B．64
C．72 D．216
5．（2021·广西·田东中学高二期末（理））已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
6．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：等比数列奇偶项和的性质
7．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
8．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
题型四：等比数列中an与Sn的关系
10．（2021·全国·高二课时练习）记数列的前n项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））已知数列的前项和，那么数列（ ）
A．是等差数列但不是等比数列
B．或者是等差数列，或者是等比数列
C．是等比数列但不是等差数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
12．（2020·江苏·高二专题练习）设数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：等比数列的简单应用
13．（2021·甘肃·西北师大附中高二期中（理））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（ ）
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
14．（2021·全国·高二课时练习）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市中小学按照教学计划，开展在线课程教学和答疑．某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日即4月5日开始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
15．（2021·北京朝阳·高二期末）光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
【双基达标】
一、单选题
16．（2021·河南·高二期中（文））为等比数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
17．（2021·河南商丘·高二期中（理））在正项等比数列中，，，的前项和为，前项积为，则满足的最大正整数的值为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·江西·九江市第三中学高二期中（理））若是等比数列，已知对任意，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A．2n－1 B．
C． D．
20．（2021·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列满足，若，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·河南洛阳·高二期中（文））已知等比数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
22．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，，（ ）
A．32 B．16 C．35 D．162
23．（2021·全国·高二课时练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则的值为( )
A．-2 B．2 C．-3 D．3
24．（2021·全国·高二课时练习）某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
25．（2021·江苏·高二单元测试）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+ +an2＝（ ）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
27．（2021·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·全国·高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
29．（2021·全国·高二单元测试）在正项数列中，首项，且是直线上的点，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
31．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
32．（2021·全国·高二课时练习）若正项等比数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2021·广西·崇左高中高二月考）已知是公比不为1的等比数列，为其前项和，满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2021·全国·高二课时练习）如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）
A． 2 B． C． D．
二、多选题
35．（2021·江苏苏州·高二期中）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·全国·高二课时练习）是数列的前项的和，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．
C．中能找到三项，，使得
D．的前项的和
37．（2021·江苏·高二单元测试）已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
38．（2021·全国·高二单元测试）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
39．（2021·全国·高二课时练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（ ）
A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”
B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差
C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”
D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足
40．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
三、填空题
41．（2021·全国·高二课时练习）数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
42．（2021·全国·高二课时练习）设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________.
43．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的公比为，则的值是________.
44．（2021·江西·景德镇一中高二期中）在数列及中，，，，．设，则数列的前2021项和为__________．
45．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝______.
四、解答题
46．（2021·河南商丘·高二期中（文））已知正项数列满足，，设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项积为，若恒成立，求实数的取值范围．
47．（2021·河南商丘·高二期中（文））设公差不为的等差数列的前项和为，已知，且是，的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
48．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，若为等比数列.
（1）求实数A及的通项公式；
（2）设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.
49．（2021·河南洛阳·高二期中（理））已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，.
（1）求证为等差数列；
（2）求证：.
50．（2021·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））已知数列的前项和为，，数列满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求证：．
【答案详解】
1．B
解：根据题意，等比数列的前6项和为，公比为，
则有，解可得，
则；
故选：B．
2．B
【详解】
设正项等比数列的公比为，则，
所以，.
故选：B.
3．B
解：由题意，正项等比数列中，
因为，，
所以，解得．
因为，所以．
故选：B
4．B
【详解】
由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比为2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．
故选：B．
5．B
【详解】
由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．
故选:B.
6．B
【详解】
设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得
为等比数列
又
故选：．
7．D
【详解】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
8．B
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
9．D
解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，
∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，
解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．
故选D．
10．A
【详解】
依题意，
当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；
当时，由得，
两式相减，得，即，所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，.
故选：A.
11．C
解：数列的前项和，
当时，，
当时，，上式也成立．
可得，
数列是首项为，公比为的等比数列，但不是等差数列．
故选：C．
12．A
在中，令，得，所以．
由得，两式相减得，
即，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：A．
13．C
【详解】
由题意，记每天走的路程为是公比为的等比数列，
又由，解得，
所以，则
故前两天所走的路程为：
故选：C
14．B
【详解】
设每月的偿还金额都是元，
则，
即，
解得．
故选：B
15．C
【详解】
由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列，
则F4对应单位时间内的进光量为，F1.4对应单位时间内的进光量为，
从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的倍.
故选：C.
16．C
【详解】
设公比为，则解得或，故或．
故选：C.
17．B
【详解】
设正项等比数列的公比为，则，即，
，则，，
所以，，
，
因为，即，即，即，
解得，因为，则，
因此，满足条件的正整数的最大值为.
故选：B.
18．D
【详解】
因为对任意，①，
当时，，
当时，②，
①-②得，满足，
则，即是首项为1，公比为4的等比数列，
所以.
故选：D.
19．B
【详解】
由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，
所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
故选：B
20．A
【详解】
根据题意，由，
得，
化简得，
因，所以，即.
故选：A.
21．C
【详解】
当时，，
当时，
从而，
因为是等比数列
所以公比，且，即，即
所以，当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为4
故选：C
22．A
【详解】
解：由等比数列前项和的性质知，当数列依次每项和不为0时，则依次每项和仍成等比数列，所以，，，，成等比数列，且公比为．又，，所以，所以．
故选：A
23．D
【详解】
设等比数列的公比为．
当时，与矛盾，不合乎题意；
当时，，则，
又，即，解得．
故选：D.
24．D
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
25．A
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
26．D
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+ +an2＝
故选：D
27．C
【详解】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
28．B
解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.
故选：B.
29．B
【详解】
在正项数列中，，且是直线上的点，
可得，所以，
可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则的前项和.
故选：B
30．A
由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，
其中，且，
所以乌龟爬行的总距离为.
故选：A.
31．B
【详解】
由题意，，则，可得q3＝，
∴q＝，a1＝16，
∴S5＝.
故选：B
32．D
【详解】
由题意，，得.令的公比为，由，得，得，∴，∴，令，则，∴，
故选：D.
33．B
【详解】
设等比数列的公比为q(q≠1)，又，即，
而，则，解得，则，，，，
，A不正确；
，B正确；
，C不正确；
，D不正确.
故选：B
34．D
【详解】
根据三角形中位线的性质可知：
这五个正三角形的边长形成等比数列：前项分别为：2，1，，，，
所以这五个正三角形的面积之和为
，
故选：D．
35．BD
【详解】
解：设等比数列的公比为，且
因为，即
化简得：
解得：或（舍去）
对A，因为，所以，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，因为，即，化简得：，又
解得，当，时，，故C错误；
对D，由C知，，故D正确.
故选：BD.
36．BD
【详解】
当时，；
当时，由可得，
两式相减得，所以，且，
则数列从第二项开始成以3为公比的等比数列，
则，
所以则，所以A选项错误，B选项正确．
由题意可知，数列为单调递增数列，
设，若在数列中能找到三项，，，使得，
则且，，，
若，则，这与数列单调递增矛盾，
若，则，，
由，可得，
由于能被3整除，不能被3整除，故C选项错误；
因为所以；
当时，
，
故选项D正确．
故选：BD
37．AB
【详解】
由于是等比数列，，所以，，
当时，，符合题意；
当时，，即，
等价于或，
对于，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以，
对于可得：.
综上所述，的取值范围是；
因为，所以，
所以，
因为，且，所以，当或时，，即，故A选项正确.
当或时，，即，故B选项正确，D选项错误.
当时，，即，故C选项错误；
故选：AB.
38．BD
【详解】
A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A不正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：BD.
39．BC
【详解】
若数列是公差为d的等差数列，则，
当时，若，则，是的一次函数，不存在符合题意的，A错误；
数列是“和有界数列”，当时，是的二次函数，不存在符合题意的，当，时，存在符合题意的，B正确；
若数列是公比为的等比数列，则，
因满足，则，即，，则存在符合题意的实数，即数列是“和有界数列”，C正确；
若等比数列是“和有界数列”，当时，若为偶数，则，若为奇数，则，即，从而存在符合题意的实数，D错误.
故选：BC
40．AD
【详解】
因为，所以，
所以，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以，可得，故选项A正确，选项B不正确；
因为单调递增，所以单调递减，即为递减数列，
故选项C不正确；
的前项和
．故选项D正确；
故选：AD．
41．2n－1(n∈N*)
【详解】
an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N*).
又时，符合an＝2n－1
故答案为：2n－1(n∈N*).
42．
【详解】
由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，
得210(S30－S20)＝S20－S10.
∴，
∵数列{an}是等比数列
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
43．
【分析】
由等比数列的通项公式与性质求解即可
【详解】
∵等比数列{an}的公比为，
则.
故答案为：
44．4042.
【详解】
由，，
两式相加可得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
两式相乘可得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故数列的前2021项和为，
故答案为：4042
45．32
【详解】
当q＝1时，显然不符合题意；
当q≠1时，，解得，
∴a8＝×27＝32.
故答案为：32
46．
（1）
（2）
（1）
由已知可得，
所以，即，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）
由（1）可知，
所以，．
所以．
即，即，
因为关于单调递增，而且无限接近于2，
所以实数的取值范围是．
47．
（1）
（2）
（1）
设的公差为（）．由题可知解得所以的通项公式为．
（2）
由（1）可知，
所以…①
…②
①－②得
，
所以．
48．
（1）A＝－2，.
（2）
（1）
根据题意，数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，
则a1＝S1＝22＋A＝4＋A，
a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，
a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，
又由为等比数列，则a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，
解可得A＝－2，
则a1＝4－2＝2，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，
（2）
设，则设，
则，
故，①
则有，②
①－②可得：，
变形可得：，
故.
49．
（1）
证明：由题意有，
两式相减得，即，
所以，
因为数列为正项数列，所以，
所以，
又因为，即，解得，且，
所以也满足上式，
所以，
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列；
（2）
证明：由（1）有，又，
所以，，
两式相除有，又，，
所以是以为首项，公比为4的等比数列，
是以为首项，公比为4的等比数列，
所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
令，
则，
，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，从而得证原不等式成立.
50．
（1）
解：由，得，
所以
又由，得，满足，所以，
而，所以，
所以；
（2）
证明：因为，
所以.
试卷第1页，共3页
4.3.2 等比数列的前n项和公式
【题型归纳】
题型一：等比数列前n项和公式的基本运算
1．（2021·江苏南通·高二期末）已知等比数列的前6项和为，公比为，则（ ）
A． B． C． D．24
2．（2021·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高二课时练习）设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：等比数列的判断和性质的应用
4．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（ ）
A．32 B．64
C．72 D．216
5．（2021·广西·田东中学高二期末（理））已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
6．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：等比数列奇偶项和的性质
7．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
8．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
题型四：等比数列中an与Sn的关系
10．（2021·全国·高二课时练习）记数列的前n项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））已知数列的前项和，那么数列（ ）
A．是等差数列但不是等比数列
B．或者是等差数列，或者是等比数列
C．是等比数列但不是等差数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
12．（2020·江苏·高二专题练习）设数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：等比数列的简单应用
13．（2021·甘肃·西北师大附中高二期中（理））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（ ）
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
14．（2021·全国·高二课时练习）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市中小学按照教学计划，开展在线课程教学和答疑．某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日即4月5日开始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
15．（2021·北京朝阳·高二期末）光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
【双基达标】
一、单选题
16．（2021·河南·高二期中（文））为等比数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
17．（2021·河南商丘·高二期中（理））在正项等比数列中，，，的前项和为，前项积为，则满足的最大正整数的值为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·江西·九江市第三中学高二期中（理））若是等比数列，已知对任意，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A．2n－1 B．
C． D．
20．（2021·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列满足，若，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·河南洛阳·高二期中（文））已知等比数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
22．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，，（ ）
A．32 B．16 C．35 D．162
23．（2021·全国·高二课时练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则的值为( )
A．-2 B．2 C．-3 D．3
24．（2021·全国·高二课时练习）某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
25．（2021·江苏·高二单元测试）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+ +an2＝（ ）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
27．（2021·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·全国·高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
29．（2021·全国·高二单元测试）在正项数列中，首项，且是直线上的点，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
31．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
32．（2021·全国·高二课时练习）若正项等比数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2021·广西·崇左高中高二月考）已知是公比不为1的等比数列，为其前项和，满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2021·全国·高二课时练习）如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）
A． 2 B． C． D．
二、多选题
35．（2021·江苏苏州·高二期中）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·全国·高二课时练习）是数列的前项的和，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．
C．中能找到三项，，使得
D．的前项的和
37．（2021·江苏·高二单元测试）已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
38．（2021·全国·高二单元测试）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
39．（2021·全国·高二课时练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（ ）
A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”
B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差
C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”
D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足
40．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
三、填空题
41．（2021·全国·高二课时练习）数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
42．（2021·全国·高二课时练习）设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________.
43．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的公比为，则的值是________.
44．（2021·江西·景德镇一中高二期中）在数列及中，，，，．设，则数列的前2021项和为__________．
45．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝______.
四、解答题
46．（2021·河南商丘·高二期中（文））已知正项数列满足，，设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项积为，若恒成立，求实数的取值范围．
47．（2021·河南商丘·高二期中（文））设公差不为的等差数列的前项和为，已知，且是，的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
48．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，若为等比数列.
（1）求实数A及的通项公式；
（2）设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.
49．（2021·河南洛阳·高二期中（理））已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，.
（1）求证为等差数列；
（2）求证：.
50．（2021·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））已知数列的前项和为，，数列满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求证：．
【答案详解】
1．B
解：根据题意，等比数列的前6项和为，公比为，
则有，解可得，
则；
故选：B．
2．B
【详解】
设正项等比数列的公比为，则，
所以，.
故选：B.
3．B
解：由题意，正项等比数列中，
因为，，
所以，解得．
因为，所以．
故选：B
4．B
【详解】
由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比为2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．
故选：B．
5．B
【详解】
由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．
故选:B.
6．B
【详解】
设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得
为等比数列
又
故选：．
7．D
【详解】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
8．B
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
9．D
解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，
∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，
解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．
故选D．
10．A
【详解】
依题意，
当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；
当时，由得，
两式相减，得，即，所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，.
故选：A.
11．C
解：数列的前项和，
当时，，
当时，，上式也成立．
可得，
数列是首项为，公比为的等比数列，但不是等差数列．
故选：C．
12．A
在中，令，得，所以．
由得，两式相减得，
即，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：A．
13．C
【详解】
由题意，记每天走的路程为是公比为的等比数列，
又由，解得，
所以，则
故前两天所走的路程为：
故选：C
14．B
【详解】
设每月的偿还金额都是元，
则，
即，
解得．
故选：B
15．C
【详解】
由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列，
则F4对应单位时间内的进光量为，F1.4对应单位时间内的进光量为，
从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的倍.
故选：C.
16．C
【详解】
设公比为，则解得或，故或．
故选：C.
17．B
【详解】
设正项等比数列的公比为，则，即，
，则，，
所以，，
，
因为，即，即，即，
解得，因为，则，
因此，满足条件的正整数的最大值为.
故选：B.
18．D
【详解】
因为对任意，①，
当时，，
当时，②，
①-②得，满足，
则，即是首项为1，公比为4的等比数列，
所以.
故选：D.
19．B
【详解】
由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，
所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
故选：B
20．A
【详解】
根据题意，由，
得，
化简得，
因，所以，即.
故选：A.
21．C
【详解】
当时，，
当时，
从而，
因为是等比数列
所以公比，且，即，即
所以，当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为4
故选：C
22．A
【详解】
解：由等比数列前项和的性质知，当数列依次每项和不为0时，则依次每项和仍成等比数列，所以，，，，成等比数列，且公比为．又，，所以，所以．
故选：A
23．D
【详解】
设等比数列的公比为．
当时，与矛盾，不合乎题意；
当时，，则，
又，即，解得．
故选：D.
24．D
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
25．A
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
26．D
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+ +an2＝
故选：D
27．C
【详解】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
28．B
解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.
故选：B.
29．B
【详解】
在正项数列中，，且是直线上的点，
可得，所以，
可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则的前项和.
故选：B
30．A
由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，
其中，且，
所以乌龟爬行的总距离为.
故选：A.
31．B
【详解】
由题意，，则，可得q3＝，
∴q＝，a1＝16，
∴S5＝.
故选：B
32．D
【详解】
由题意，，得.令的公比为，由，得，得，∴，∴，令，则，∴，
故选：D.
33．B
【详解】
设等比数列的公比为q(q≠1)，又，即，
而，则，解得，则，，，，
，A不正确；
，B正确；
，C不正确；
，D不正确.
故选：B
34．D
【详解】
根据三角形中位线的性质可知：
这五个正三角形的边长形成等比数列：前项分别为：2，1，，，，
所以这五个正三角形的面积之和为
，
故选：D．
35．BD
【详解】
解：设等比数列的公比为，且
因为，即
化简得：
解得：或（舍去）
对A，因为，所以，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，因为，即，化简得：，又
解得，当，时，，故C错误；
对D，由C知，，故D正确.
故选：BD.
36．BD
【详解】
当时，；
当时，由可得，
两式相减得，所以，且，
则数列从第二项开始成以3为公比的等比数列，
则，
所以则，所以A选项错误，B选项正确．
由题意可知，数列为单调递增数列，
设，若在数列中能找到三项，，，使得，
则且，，，
若，则，这与数列单调递增矛盾，
若，则，，
由，可得，
由于能被3整除，不能被3整除，故C选项错误；
因为所以；
当时，
，
故选项D正确．
故选：BD
37．AB
【详解】
由于是等比数列，，所以，，
当时，，符合题意；
当时，，即，
等价于或，
对于，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以，
对于可得：.
综上所述，的取值范围是；
因为，所以，
所以，
因为，且，所以，当或时，，即，故A选项正确.
当或时，，即，故B选项正确，D选项错误.
当时，，即，故C选项错误；
故选：AB.
38．BD
【详解】
A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A不正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：BD.
39．BC
【详解】
若数列是公差为d的等差数列，则，
当时，若，则，是的一次函数，不存在符合题意的，A错误；
数列是“和有界数列”，当时，是的二次函数，不存在符合题意的，当，时，存在符合题意的，B正确；
若数列是公比为的等比数列，则，
因满足，则，即，，则存在符合题意的实数，即数列是“和有界数列”，C正确；
若等比数列是“和有界数列”，当时，若为偶数，则，若为奇数，则，即，从而存在符合题意的实数，D错误.
故选：BC
40．AD
【详解】
因为，所以，
所以，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以，可得，故选项A正确，选项B不正确；
因为单调递增，所以单调递减，即为递减数列，
故选项C不正确；
的前项和
．故选项D正确；
故选：AD．
41．2n－1(n∈N*)
【详解】
an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N*).
又时，符合an＝2n－1
故答案为：2n－1(n∈N*).
42．
【详解】
由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，
得210(S30－S20)＝S20－S10.
∴，
∵数列{an}是等比数列
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
43．
【分析】
由等比数列的通项公式与性质求解即可
【详解】
∵等比数列{an}的公比为，
则.
故答案为：
44．4042.
【详解】
由，，
两式相加可得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
两式相乘可得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故数列的前2021项和为，
故答案为：4042
45．32
【详解】
当q＝1时，显然不符合题意；
当q≠1时，，解得，
∴a8＝×27＝32.
故答案为：32
46．
（1）
（2）
（1）
由已知可得，
所以，即，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）
由（1）可知，
所以，．
所以．
即，即，
因为关于单调递增，而且无限接近于2，
所以实数的取值范围是．
47．
（1）
（2）
（1）
设的公差为（）．由题可知解得所以的通项公式为．
（2）
由（1）可知，
所以…①
…②
①－②得
，
所以．
48．
（1）A＝－2，.
（2）
（1）
根据题意，数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，
则a1＝S1＝22＋A＝4＋A，
a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，
a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，
又由为等比数列，则a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，
解可得A＝－2，
则a1＝4－2＝2，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，
（2）
设，则设，
则，
故，①
则有，②
①－②可得：，
变形可得：，
故.
49．
（1）
证明：由题意有，
两式相减得，即，
所以，
因为数列为正项数列，所以，
所以，
又因为，即，解得，且，
所以也满足上式，
所以，
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列；
（2）
证明：由（1）有，又，
所以，，
两式相除有，又，，
所以是以为首项，公比为4的等比数列，
是以为首项，公比为4的等比数列，
所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
令，
则，
，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，从而得证原不等式成立.
50．
（1）
解：由，得，
所以
又由，得，满足，所以，
而，所以，
所以；
（2）
证明：因为，
所以.
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