人教A版2019选择性必修第二册4.2.2 等差数列的前n项和公式 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册4.2.2 等差数列的前n项和公式 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 14:25:37 | ||
图片预览
文档简介
第四章：数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
【题型归纳】
题型一：等差数列前n项和的有关计算
1．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值.
2．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中：
（1）已知，求；
（2）已知，求n.
3．（2021·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前项和：
（1），，；
（2），，．
题型二：等差数列片段和的性质
4．（2021·全国·高二单元测试）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
5．（2021·河南·高二月考）记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ）
A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列
C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列
题型三：等差数列前n项和与n的比值问题
7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
8．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
9．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为
A． B． C． D．
题型四：两个等差数列前n项和的比值问题
10．（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．（2021·全国·高二课时练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）
13．（2021·北京市一零一实验学校高二期末）设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
15．（2021·福建·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
16．（2021·浙江杭州·高二期末）已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
18．（2021·浙江衢州·高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
题型七：等差数列的简单应用
19．（2021·山西·太原市第五十六中学校高二月考（文））如图，某报告厅的座位是这样的:第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位.
（1）求第六排的座位数；
（2）根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议
20．（2021·全国·高二单元测试）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？
21．（2021·全国·高二课时练习）新能源汽车环保 节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).
【双基达标】
一、单选题
22．（2021·陕西·千阳县中学高二月考）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
23．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）设为等差数列的前项和，.若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
24．（2021·河南·高二月考（理））设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·河南·高二期中（文））已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·河南商丘·高二期中（理））《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军由旬到达地方城市.下列说法正确的是（ ）
A．前四天共行由旬
B．最后三天共行由旬
C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬
D．第三天行了由旬
27．（2021·全国·高二课时练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①②
C．①③ D．①④
28．（2021·河南·高二期中（理））设正项数列的前项和为，当时，，，成等差数列，给出下列说法：①当时，；②的取值范围是；③；④存在，使得.其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·河南省实验中学高二期中（文））已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·河南南阳·高二期中）已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
31．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
【高分突破】
一：单选题
33．（2021·江苏·高二单元测试）设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
34．（2021·全国·高二课时练习）一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（ ）
A．39 B．45 C．48 D．51
35．（2021·全国·高二单元测试）已知非常数数列满足，为数列的前n项和.若，，则（ ）
A．2022 B． C． D．2021
36．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}和{bn}中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项的和为（ ）
A．10000 B．8000
C．9000 D．11000
37．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考）设等差数列的前项和为，且满足，，则中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
38．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ）
A．174 B．672 C．1494 D．5904
39．（2021·河南·高二月考）记等差数列与的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2021·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前项和，，，则取最小值时，的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
41．（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，公差，且，，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4039 B．4038 C．4037 D．4036
二、多选题
42．（2021·江苏·高二专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－ B．an＝
C．数列为等差数列 D．－5050
43．（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
A． B．数列是递减数列
C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项
44．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是数列中绝对值最小的项
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
45．（2021·辽宁大连·高二期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．数列是递增数列 D．数列是递减数列
46．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列{an}是公差为2的等差数列
B．满足Sn＜100的n的最大值是9
C．Sn除以4的余数只能为0或1
D．2Sn＝nan
47．（2021·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
三、填空题
48．（2021·河南·高二月考（文））若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
49．（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足，，n≥2，n∈N*，那么a=____．
50．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知等差数列的通项公式为．令，则的最小值为_______．
51．（2021·江苏·苏州中学高二期中）在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______
52．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））观察下面的数阵，则第16行从左边起第2个数是______．
四、解答题
53．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等差数列满足，.
（1）求公差；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，求使得最小的的值．
54．（2021·全国·高二课时练习）（1）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求数列的前3m项的和S3m；
（2）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，求的值.
55．（2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
56．（2021·河南焦作·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.
【答案详解】
1．
（1）an＝2n－9；
（2）Sn＝ (n－4)2－16；－16.
（1）
设数列{an}的公差为d，由题意得a1＝－7，3a1＋3d＝－15.
所以d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
（2）
由（1）得n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
2．
（1）S10＝210
（2）n＝20
（1）
由已知条件得，解得，
；
（2）
，
，.
3．
（1）
（2）
（1）
.
（2）
.
4．B
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
5．C
【详解】
因为是等差数列的前项，
由等差数列前项和的性质可知：
，，成等差数列，
所以，
即，解得：，
故选：C.
6．D
【详解】
由题意，数列为等差数列，为前项和，
根据等差数列的性质，可得而，和构成等差数列，所以，所以A，B正确；
当首项与公差均为0时，是等差数列，所以C正确；
当首项为1与公差1时，此时，此时不构成等差数列，所以D错误.
故选：D.
7．C
设等差数列的前项和为，则，
所以是等差数列．因为，
所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以
故选：C
8．D
【详解】
设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.
，
，
解得.
则.
故选：D.
9．D
【详解】
由题意知数列为等差数列，
∴．
∴，
∴数列的前11项和为．
选D．
10．B
【详解】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
11．A
【详解】
∵，
∴，
故选：A
12．C
【详解】
因为，则．
故选：C．
13．A
【详解】
因为等差数列的前项和，
所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，
所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，
结合二次函数的图象和性质可知；；；.
故选：A
14．B
【详解】
∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，
∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．
故选：B.
15．B
【详解】
设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，
于是得，由得，，
因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，
所以使取最大值的自然数n是5.
故选：B
16．B
【详解】
解：数列的前项和为，若，，
可得：，，，所以不正确；
可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，
，所以正确；
，所以不正确；
，所以不正确；
故选：B．
17．B
【详解】
设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.
18．C
【详解】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
19．（1）19；（2）95.
【详解】
（1）根据题意：每排座位数构成等差数列，且，.
所以，即第六排的座位数为.
（2）因为每排座位数都为奇数，
所以得到第一排做人，第二排做人，第三排做人，…….
即每排人数构成等差数列，且，，.
所以，即最多可安排95人同时参加会议.
20．至少运送7趟，最少行驶14700米.
【详解】
因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，，所以至少运送7趟，
第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为首项，为公差的等差数列，
最少行驶米
21．（1）3（2）8
【详解】
（1）每台充电桩第年总利润为
所以每台充电桩第3年开始获利
（2）每台充电桩前年的年平均利润
当且仅当时取等号
所以每台充电桩前8年的年平均利润最大
22．C
【详解】
设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
23．D
【详解】
由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
24．C
【详解】
由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝
故选：C．
D
解：因为数列的前项和，，
两式作差得到，又当时，，符合上式，
所以，，
所以，
所以.
故选：D.
26．D
【详解】
由题意，不妨设每天行军的路程为数列，则
又以后每天均比前一天多行相同的路程，故构成一个等差数列，不妨设公差为
七天一共行军由旬，即
故，解得
，A错误；
，B错误；
由于，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬，C错误；
，D正确
故选：D
27．B
【详解】
∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.
又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确.
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确.
{Sn}中最大项为S6，④不正确.
故正确的是①②.
故选：B
28．C
解：因为数列的各项都是正数，所以，所以①正确；
由，，成等差数列，可得，，则，，，；，，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列；
是首项为，公差为的等差数列.所以，
由，得解得，所以的取值范围是，所以②正确；
，所以③正确；
因为，所以
，，所以④错误.
故正确的命题的个数为3个，
故选：C.
29．B
【详解】
由等差数列的求和公式可得，，
因此，.
故选：B.
30．A
【详解】
，故，即.
，解得.
故选：A.
31．D
解：设（常数），
，即．
．
故选：．
32．A
【详解】
当时，；
当时，符合上式，
所以，
所以．
故选：A.
33．D
【详解】
解：由题意可得
即①
②
且等差数列满足
①②两式相加得
代入求和公式可得
解得
故选：D.
34．D
【详解】
设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为，依题意可知，，…，成等差数列，且公差为2，，
则，解得.
故最下面三价的塔数之和为.
故选：D
35．B
∵，
∴，
化简得，
∴，∴数列为等差数列.
又，，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
36．A
由已知得{an+bn}为等差数列，故其前100项的和为S100=.
故选：A
37．B
【详解】
，得，
，所以，即
所以，数列的公差，，
综上可知，是数列正项中的最小值，是中的最大值，
所以是中的最大项.
故选：B
38．B
【详解】
在数列中，，当时，，
于是得数列是常数列，则，即，
因，，则，
因此，，，显然数列是等差数列，
于是得，
所以数列前36项和为672.
故选：B
39．C
【详解】
因为，
，可得，
所以，
故选：C.
40．A
解：，，公差．
，
，
，
，
，即
取最小值时，．
故选：．
41．B
由题意，得数列是递减数列，由，且，可得，，且，，
∴，，
∴使数列的前项和成立的最大自然数是4038．
故选：B
42．BCD
【详解】
Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1(常数)，
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，
故an＝故B正确，A错误；
所以，
故D正确．
故选：BCD
43．ACD
解：，，又，，A对；
由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，B错；
，又，C对；
，时，，时，，，，时，，
当，时，、且递减、为正数且递减，最小．D对．
故选：ACD．
44．CD
【详解】
对于A：因为为等差数列，且，
所以，即，
所以，即是数列中绝对值最小的项.
故选项A错误；
对于B：因为为等差数列，
所以，，，为等差数列，
设，由得：，
故，，，为等差数列
解得，
所以.
故选项B错误；
对于C：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
则
.
故选项C正确；
对于D：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
故选项D正确；
故选：CD.
45．AB
【详解】
由题意并结合等差数列前n项和的特征,可设:,其中k≠0
对于A： ，故A正确；
对于B：,故B正确；
对于C：当k<0时, ，所以不是递增数列,故C错误；
对于D：当k>0时，，所以不是递减数列,故D错误.
故选：AB
46．ABC
【分析】
令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断
【详解】
由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故
令，则
则
即
故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；
，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；
当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；
，D错误.
故选：ABC
47．BD
【详解】
由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，
则，解得，
∴.
∵，∴，
∴数列是等比数列，B选项正确；
∵，∴，A选项错误；
，∴，C选项错误；
，，
∴，D选项正确.
故选：BD.
48．
【详解】
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
显然当n＝1时，不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an＝
故答案为：
49．3
【详解】
在中，因为a1=a，所以分别令n=2，n=3
得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因为，所以a2=12-2a，a3=3+2a．
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．
经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=，满足Sn2=3n2an+ Sn-12．所以a=3．
故答案为：.
50．5
【详解】
由等差数列的通项公式为．
根据等差数列的性质可得，
当时取等号，此时的最小值为5．
故答案为：5
51．4022
【详解】
由等差数列的性质可得
又，所以异号，
又，所以等差数列必为递减数列，，
所以，
使成立的最大自然数n为4022.
故答案为：4022.
52．227
【详解】
由题得每一行数字个数分别为，，，…，，
它们成等差数列，则前15行总共有个数，
因此第16行从左边起第2个数为227．
故答案为:227
53．
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
，解得，
所以．
（3）
由二次函数的性质得当时，使得最小.
54．（1）；（2）.
【详解】
（1）在等差数列的性质，可得成等差数列，
即成等差数列，所以，解得.
（2）由等差数列的前项和的性质，且，
可得.
55．
（1），
（2）
（1）
由，得，.
又，，
两式相减，得，.
，.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..
由，得，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列.
.；
（2）
，.
两式相减，得
.
56．
（1）
（2）9
（1）
不妨设等差数列的公差为，
故，，
解得，，
从而，
即的通项公式为.
（2）
由题意可知，，
所以，
故
，
因为当时，；当时，，
所以，
由可知，，
即，解得，
即的值为9.
试卷第1页，共3页
4.2.2 等差数列的前n项和公式
【题型归纳】
题型一：等差数列前n项和的有关计算
1．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值.
2．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中：
（1）已知，求；
（2）已知，求n.
3．（2021·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前项和：
（1），，；
（2），，．
题型二：等差数列片段和的性质
4．（2021·全国·高二单元测试）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
5．（2021·河南·高二月考）记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ）
A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列
C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列
题型三：等差数列前n项和与n的比值问题
7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
8．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
9．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为
A． B． C． D．
题型四：两个等差数列前n项和的比值问题
10．（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．（2021·全国·高二课时练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）
13．（2021·北京市一零一实验学校高二期末）设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
15．（2021·福建·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
16．（2021·浙江杭州·高二期末）已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
18．（2021·浙江衢州·高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
题型七：等差数列的简单应用
19．（2021·山西·太原市第五十六中学校高二月考（文））如图，某报告厅的座位是这样的:第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位.
（1）求第六排的座位数；
（2）根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议
20．（2021·全国·高二单元测试）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？
21．（2021·全国·高二课时练习）新能源汽车环保 节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).
【双基达标】
一、单选题
22．（2021·陕西·千阳县中学高二月考）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
23．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）设为等差数列的前项和，.若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
24．（2021·河南·高二月考（理））设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·河南·高二期中（文））已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·河南商丘·高二期中（理））《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军由旬到达地方城市.下列说法正确的是（ ）
A．前四天共行由旬
B．最后三天共行由旬
C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬
D．第三天行了由旬
27．（2021·全国·高二课时练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①②
C．①③ D．①④
28．（2021·河南·高二期中（理））设正项数列的前项和为，当时，，，成等差数列，给出下列说法：①当时，；②的取值范围是；③；④存在，使得.其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·河南省实验中学高二期中（文））已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·河南南阳·高二期中）已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
31．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
【高分突破】
一：单选题
33．（2021·江苏·高二单元测试）设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
34．（2021·全国·高二课时练习）一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（ ）
A．39 B．45 C．48 D．51
35．（2021·全国·高二单元测试）已知非常数数列满足，为数列的前n项和.若，，则（ ）
A．2022 B． C． D．2021
36．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}和{bn}中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项的和为（ ）
A．10000 B．8000
C．9000 D．11000
37．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考）设等差数列的前项和为，且满足，，则中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
38．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ）
A．174 B．672 C．1494 D．5904
39．（2021·河南·高二月考）记等差数列与的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2021·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前项和，，，则取最小值时，的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
41．（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，公差，且，，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4039 B．4038 C．4037 D．4036
二、多选题
42．（2021·江苏·高二专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－ B．an＝
C．数列为等差数列 D．－5050
43．（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
A． B．数列是递减数列
C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项
44．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是数列中绝对值最小的项
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
45．（2021·辽宁大连·高二期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．数列是递增数列 D．数列是递减数列
46．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列{an}是公差为2的等差数列
B．满足Sn＜100的n的最大值是9
C．Sn除以4的余数只能为0或1
D．2Sn＝nan
47．（2021·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
三、填空题
48．（2021·河南·高二月考（文））若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
49．（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足，，n≥2，n∈N*，那么a=____．
50．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知等差数列的通项公式为．令，则的最小值为_______．
51．（2021·江苏·苏州中学高二期中）在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______
52．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））观察下面的数阵，则第16行从左边起第2个数是______．
四、解答题
53．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等差数列满足，.
（1）求公差；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，求使得最小的的值．
54．（2021·全国·高二课时练习）（1）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求数列的前3m项的和S3m；
（2）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，求的值.
55．（2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
56．（2021·河南焦作·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.
【答案详解】
1．
（1）an＝2n－9；
（2）Sn＝ (n－4)2－16；－16.
（1）
设数列{an}的公差为d，由题意得a1＝－7，3a1＋3d＝－15.
所以d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
（2）
由（1）得n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
2．
（1）S10＝210
（2）n＝20
（1）
由已知条件得，解得，
；
（2）
，
，.
3．
（1）
（2）
（1）
.
（2）
.
4．B
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
5．C
【详解】
因为是等差数列的前项，
由等差数列前项和的性质可知：
，，成等差数列，
所以，
即，解得：，
故选：C.
6．D
【详解】
由题意，数列为等差数列，为前项和，
根据等差数列的性质，可得而，和构成等差数列，所以，所以A，B正确；
当首项与公差均为0时，是等差数列，所以C正确；
当首项为1与公差1时，此时，此时不构成等差数列，所以D错误.
故选：D.
7．C
设等差数列的前项和为，则，
所以是等差数列．因为，
所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以
故选：C
8．D
【详解】
设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.
，
，
解得.
则.
故选：D.
9．D
【详解】
由题意知数列为等差数列，
∴．
∴，
∴数列的前11项和为．
选D．
10．B
【详解】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
11．A
【详解】
∵，
∴，
故选：A
12．C
【详解】
因为，则．
故选：C．
13．A
【详解】
因为等差数列的前项和，
所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，
所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，
结合二次函数的图象和性质可知；；；.
故选：A
14．B
【详解】
∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，
∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．
故选：B.
15．B
【详解】
设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，
于是得，由得，，
因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，
所以使取最大值的自然数n是5.
故选：B
16．B
【详解】
解：数列的前项和为，若，，
可得：，，，所以不正确；
可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，
，所以正确；
，所以不正确；
，所以不正确；
故选：B．
17．B
【详解】
设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.
18．C
【详解】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
19．（1）19；（2）95.
【详解】
（1）根据题意：每排座位数构成等差数列，且，.
所以，即第六排的座位数为.
（2）因为每排座位数都为奇数，
所以得到第一排做人，第二排做人，第三排做人，…….
即每排人数构成等差数列，且，，.
所以，即最多可安排95人同时参加会议.
20．至少运送7趟，最少行驶14700米.
【详解】
因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，，所以至少运送7趟，
第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为首项，为公差的等差数列，
最少行驶米
21．（1）3（2）8
【详解】
（1）每台充电桩第年总利润为
所以每台充电桩第3年开始获利
（2）每台充电桩前年的年平均利润
当且仅当时取等号
所以每台充电桩前8年的年平均利润最大
22．C
【详解】
设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
23．D
【详解】
由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
24．C
【详解】
由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝
故选：C．
D
解：因为数列的前项和，，
两式作差得到，又当时，，符合上式，
所以，，
所以，
所以.
故选：D.
26．D
【详解】
由题意，不妨设每天行军的路程为数列，则
又以后每天均比前一天多行相同的路程，故构成一个等差数列，不妨设公差为
七天一共行军由旬，即
故，解得
，A错误；
，B错误；
由于，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬，C错误；
，D正确
故选：D
27．B
【详解】
∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.
又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确.
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确.
{Sn}中最大项为S6，④不正确.
故正确的是①②.
故选：B
28．C
解：因为数列的各项都是正数，所以，所以①正确；
由，，成等差数列，可得，，则，，，；，，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列；
是首项为，公差为的等差数列.所以，
由，得解得，所以的取值范围是，所以②正确；
，所以③正确；
因为，所以
，，所以④错误.
故正确的命题的个数为3个，
故选：C.
29．B
【详解】
由等差数列的求和公式可得，，
因此，.
故选：B.
30．A
【详解】
，故，即.
，解得.
故选：A.
31．D
解：设（常数），
，即．
．
故选：．
32．A
【详解】
当时，；
当时，符合上式，
所以，
所以．
故选：A.
33．D
【详解】
解：由题意可得
即①
②
且等差数列满足
①②两式相加得
代入求和公式可得
解得
故选：D.
34．D
【详解】
设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为，依题意可知，，…，成等差数列，且公差为2，，
则，解得.
故最下面三价的塔数之和为.
故选：D
35．B
∵，
∴，
化简得，
∴，∴数列为等差数列.
又，，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
36．A
由已知得{an+bn}为等差数列，故其前100项的和为S100=.
故选：A
37．B
【详解】
，得，
，所以，即
所以，数列的公差，，
综上可知，是数列正项中的最小值，是中的最大值，
所以是中的最大项.
故选：B
38．B
【详解】
在数列中，，当时，，
于是得数列是常数列，则，即，
因，，则，
因此，，，显然数列是等差数列，
于是得，
所以数列前36项和为672.
故选：B
39．C
【详解】
因为，
，可得，
所以，
故选：C.
40．A
解：，，公差．
，
，
，
，
，即
取最小值时，．
故选：．
41．B
由题意，得数列是递减数列，由，且，可得，，且，，
∴，，
∴使数列的前项和成立的最大自然数是4038．
故选：B
42．BCD
【详解】
Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1(常数)，
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，
故an＝故B正确，A错误；
所以，
故D正确．
故选：BCD
43．ACD
解：，，又，，A对；
由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，B错；
，又，C对；
，时，，时，，，，时，，
当，时，、且递减、为正数且递减，最小．D对．
故选：ACD．
44．CD
【详解】
对于A：因为为等差数列，且，
所以，即，
所以，即是数列中绝对值最小的项.
故选项A错误；
对于B：因为为等差数列，
所以，，，为等差数列，
设，由得：，
故，，，为等差数列
解得，
所以.
故选项B错误；
对于C：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
则
.
故选项C正确；
对于D：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
故选项D正确；
故选：CD.
45．AB
【详解】
由题意并结合等差数列前n项和的特征,可设:,其中k≠0
对于A： ，故A正确；
对于B：,故B正确；
对于C：当k<0时, ，所以不是递增数列,故C错误；
对于D：当k>0时，，所以不是递减数列,故D错误.
故选：AB
46．ABC
【分析】
令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断
【详解】
由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故
令，则
则
即
故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；
，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；
当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；
，D错误.
故选：ABC
47．BD
【详解】
由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，
则，解得，
∴.
∵，∴，
∴数列是等比数列，B选项正确；
∵，∴，A选项错误；
，∴，C选项错误；
，，
∴，D选项正确.
故选：BD.
48．
【详解】
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
显然当n＝1时，不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an＝
故答案为：
49．3
【详解】
在中，因为a1=a，所以分别令n=2，n=3
得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因为，所以a2=12-2a，a3=3+2a．
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．
经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=，满足Sn2=3n2an+ Sn-12．所以a=3．
故答案为：.
50．5
【详解】
由等差数列的通项公式为．
根据等差数列的性质可得，
当时取等号，此时的最小值为5．
故答案为：5
51．4022
【详解】
由等差数列的性质可得
又，所以异号，
又，所以等差数列必为递减数列，，
所以，
使成立的最大自然数n为4022.
故答案为：4022.
52．227
【详解】
由题得每一行数字个数分别为，，，…，，
它们成等差数列，则前15行总共有个数，
因此第16行从左边起第2个数为227．
故答案为:227
53．
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
，解得，
所以．
（3）
由二次函数的性质得当时，使得最小.
54．（1）；（2）.
【详解】
（1）在等差数列的性质，可得成等差数列，
即成等差数列，所以，解得.
（2）由等差数列的前项和的性质，且，
可得.
55．
（1），
（2）
（1）
由，得，.
又，，
两式相减，得，.
，.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..
由，得，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列.
.；
（2）
，.
两式相减，得
.
56．
（1）
（2）9
（1）
不妨设等差数列的公差为，
故，，
解得，，
从而，
即的通项公式为.
（2）
由题意可知，，
所以，
故
，
因为当时，；当时，，
所以，
由可知，，
即，解得，
即的值为9.
试卷第1页，共3页