人教A版2019选择性必修第二册4.3.1 等比数列的概念 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册4.3.1 等比数列的概念 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 14:32:39 | ||
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文档简介
第四章：数列
4.3.1 等比数列的概念
【题型归纳】
题型一：等比数列中的基本运算
1．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（ ）
A．log371 B．
C．50 D．55
2．（2021·河南·高二期中（文））若数列是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·高二期中（理））已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：等比中项的应用
4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
5．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A． B． C． D．
题型三：等比数列的证明
7．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
（1）证明：{an－1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
8．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
9．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））已知是数列的前项和，且
（Ⅰ）求的值，若，试证明数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式.
题型四：等比数列的性质及其应用
10．（2021·河南洛阳·高二期中（文））等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．5 C．4 D．
11．（2021·江西·九江一中高二月考（理））已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．8
12．（2021·河南郑州·高二月考（理））已知数列满足，（为非零常数），，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）
13．（2021·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2021·全国·高二课时练习）已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【双基达标】
一、单选题
16．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）在各项均为正数的等比数列中，若，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．2 D．4
17．（2021·广东广州·高二期末）已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
18．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝（ ）
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
19．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·江苏·高二专题练习）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
24．（2021·全国·高二单元测试）设为递减的等比数列，，，则（ ）
A．35 B． C．55 D．
25．（2021·全国·高二单元测试）已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·全国·高二课时练习）数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值（ ）
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一 D．不一定存在
27．（2021·全国·高二课时练习）设各项为正数的等比数列中，公比，且，则( )
A． B． C． D．
28．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二月考（理））在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
29．（2021·甘肃省会宁县第一中学高二期中（理））已知函数，若等比数列满足，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2 D．
30．（2021·甘肃·天水市第一中学高二月考）等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
31．（2021·全国·高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是，其中为第块骨牌的体积（或质量），为第1块骨牌的体积（或质量），为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有，两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但值相同，记，分别是，两副骨牌第块的体积，已知，，，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
32．（2021·江苏·高二专题练习）对于无穷数列，下列命题不正确的是（ ）
A．若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数数列
B．若等差数列满足：，则数列是常数数列
C．若等比数列满足：，则数列是常数数列
D．若各项为正数的等比数列满足：则数列是常数数列
33．（2021·江西·新余四中高二月考（文））在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
34．（2021·江苏·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列中，，其前项和为，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
36．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
37．（2021·全国·高二课时练习）(多选题)设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的有( )
A． B． C． D．是数列中的最大值
38．（2021·福建·宁德市第九中学高二月考）若数列满足则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．数列的通项公式 D．数列的通项公式
39．（2021·全国·高二单元测试）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
三、填空题
40．（2021·全国·高二专题练习）在数列{an}中，a1=3，且点Pn（an，an+1）（n∈N*）在直线4x-y+1=0上，则数列{an}的通项公式为________.
41．（2021·河南平顶山·高二期中）等比数列的公比，则等于___________.
42．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列{an}中，若，，则________.
43．（2021·全国·高二课时练习）将数列中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
，
，，，
，，，
……
记数阵中的第1列数，，，…构成的数列为，为数列的前n项和，若，则______．
44．（2021·河南焦作·高二期中（理））艾萨克·牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值，，，…，这样得到的数列称为“牛顿数列”.例如，对于方程，已知牛顿数列满足，且，设，若，则___________.
四、解答题
45．（2021·全国·高二课时练习）已知，在一容器内装有浓度为的溶液1 kg，注入浓度为的溶液kg，搅匀后倒出混合液kg.如此反复进行下去.
（1）写出第1次混合后溶液的浓度；
（2）设第n次混合后溶液的浓度为，试用an表示an＋1；
（3）写出{an}的通项公式.
46．（2021·全国·高二课时练习）设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
（1）试用an表示an＋1；
（2）求证：是等比数列；
（3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
47．（2021·河南郑州·高二期中（文））设数列，，，满足：前三项成等比数列且和为，后三项成公差不为零的等差数列且和为.
（1）用表示出；
（2）若满足条件的数列，，，的个数大于，求的取值范围.
48．（2021·全国·高二专题练习）数列满足，且（且）．
（1）求、，并证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
49．（2021·江苏·高二单元测试）已知数列的前项和为，满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案详解】
1．D
解：设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，
故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，
所以数列{bn}的前10项和为.
故选：D.
2．C
【详解】
设数列的公比为，则.所以，所以.故选：C.
3．B
【详解】
设数列的公比为，因为，所以，
即，解得，
所以.
故选：B.
4．C
解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，
化为，．
所以，
则．
故选：C．
5．A
【详解】
解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，
又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确
故选：A.
6．A
由题意可知，得，解得或，
因为，故，
所以.
故选：A.
7．
（1）
证明 ∵Sn＝n－5an－85，
∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，
整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝ (an－1)，
又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，
∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.
（2）
由（1）可知an－1＝－15×，
∴an＝1－15×.
8．
【详解】
（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
9．
【详解】
（Ⅰ）因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，．
10．B
解：因为，，所以，所以
故选：B
11．A
【详解】
在等比数列中，，则，
依题意，，而的各项均为正数，于是得，
所以.
故选：A
12．A
【详解】
解：由数列为等比数列，得，
所以，
又数列的首项，所以.
故选：A.
13．D
【详解】
因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
14．A
【详解】
为等比数列，，，
，，，，．
故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，
故选：．
15．C
【详解】
若，，当时，，故A错误；
若，则，，当时，，故B错误；
若，则成立，故C正确；
若，，当时，，故D错误；
故选：C.
16．D
【详解】
设等比数列的公比为，，
由，，成等差数列，可得，
即为，
可得，解得舍去），
则．
故选：D
17．D
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
18．B
由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以，，故，所以a10＝，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，
故选：B.
19．D
【详解】
∵，，
∴，又，
∴.
故选：D.
20．C
【详解】
因为，所以两边取倒数得
，则，所以数列为等比数列，
则，所以，
故.
故选：C.
21．A
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
22．B
【详解】
由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的，
设第n个三角形的面积为，则数列是首项，公比的等比数列，
∴，
∴第2022个三角形的面积为．
故选：B．
23．C
【详解】
因数列是正数组成的等比数列，则，
所以.
故选：C
24．B
【详解】
∵为递减的等比数列，，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
故选B.
25．A
【详解】
设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选：A.
26．B
【详解】
依题意，bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2＝3n－7＋(3n－2)logk＝n－7－2logk.
∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3.
故选：B
27．C
【详解】
因为是等比数列，，公比，
所以，化简得，，
故.
故选：C.
28．C
【详解】
因为是各项不为零的等差数列，
所以，
由可得，
因为，所以，
所以，
因为数列是等比数列，所以，
所以，
故选：C.
29．A
【详解】
，
，
是等比数列，，
则.
故选：A
30．C
【详解】
是等比数列，则，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．
故选：C．
31．D
【详解】
由题可知，和组成的数列都是以为公比的等比数列.
由题意可列出如下的方程：
①，
②，
③，
由①可得④，
由②可得⑤，
由③可得⑥，
由④⑤⑥得，，
所以，即.
因为，和都是整数，
所以符合条件的解只有，这一组.
综上所述，，
故选：D.
32．C
【详解】
对于A，设等差数列公差为d，则时，，
而数列是等比数列，则，且，于是得，即是常数数列，A正确；
对于B，设等差数列公差为d，有，若，而是无穷数列，则当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，
若，则当n趋近于无穷大时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大，即，都趋近于正无穷大，
因，则，即是常数数列，B正确；
对于C，等比数列，令，对于任意的正整数n，，满足，不是常数数列，C不正确；
对于D，设各项为正数的等比数列公比为q，则，
当时，数列是递增数列，当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，必存在正整数，有时，，
当时，数列是递减数列，当n趋近于无穷大时，趋近于0，必存在正整数，有时，，
即且时，对于无穷正项等比数列必存在一个正整数，当n取大于这个正整数时不可能成立，
于是得无穷正项等比数列满足：，其公比，即数列是常数数列，D正确.
故选：C
33．C
【详解】
∵在等比数列中，，是方程的根，
∴，
∴，
，
∴，
∴
故选：C．
34．B
【详解】
解：设的公比为．
成等差数列，．即，
化简得，解得或．
由已知，，．
故选：B．
35．BCD
【详解】
因为，所以，，
，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，
故数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，，
，
所以，.
所以，BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD.
36．AB
【详解】
设等比数列的公比为，则，可得，
，所以，，
令，解得，
故当最大时，或.
故选：AB.
37．BCD
【详解】
选项A：若，由，则，，
则，，则与已知条件矛盾，
所以不符合，故A错误；
选项B：由于，，，所以，，
故，则，则，故B正确；
选项C：因为，故C正确；
选项D：因为前2020项都大于1，从第2021项开始起都小于1，
所以的值是中最大的，故D正确．
故选：BCD.
38．AC
【详解】
在数列中，当时，，即，而，即，则是首项为1，公差为1的等差数列，
因此，，，
所以A正确，B不正确，C正确，D不正确.
故选：AC
39．ABD
【详解】
∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
40．
因为点Pn（an，an+1）（n∈N*）在直线4x-y+1=0上，
所以4an-an+1+1=0，
即an+1=4an+1，得an+1+，
所以是首项为，公比为4的等比数列，
所以，
故.
故答案为：
41．
【详解】
因为等比数列的公比，
所以，
故答案为：.
42．1024
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
，①
，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴
故答案为：
43．1024
【详解】
当时，，，
，（且）．
，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，．
设，，，，，…的下标，，，，，…构成数列，
则，，，，…，，
叠加得，，
由，得（负值已舍去），．
故答案为：1024.
44．6
【详解】
因为，且，
所以；，
故，
即，
从而数列是以公比为2的等比数列，
故，即，
由，解得.
故答案为：6.
45．
（1）
；
（2）
，
即；
（3）
由（2）知，
即，
所以是一个公比为的等比数列，首项为，
所以，
所以
46．
解：由韦达定理得：，，
由得，
故．
（2）
证明：因为，
所以，
故数列是公比为的等比数列；
（3）
解：当时，数列的首项，
故，
所以．
47．（1）；（2）.
解：（1）由题意，设等比数列，，的公比为q，等差数列，，的公差为d（），
则，，又，所以，所以，
所以，即；
（2）由（1）得数列，，，分别为：， ，
因为满足条件的数列，，，的个数大于，且，所以且，
所以m的取值范围为.
48．（1），，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用递推公式可求得、的值，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式．
【详解】
（1）因为，且（且），
则，，
由已知可得，
，则对任意的，，
所以当时，，故数列是等比数列；
（2）由（1）可知，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，因此，.
49．
（1）
①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列；
（2）
由（1）得，
；
（3）
令，则
当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
试卷第1页，共3页
4.3.1 等比数列的概念
【题型归纳】
题型一：等比数列中的基本运算
1．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（ ）
A．log371 B．
C．50 D．55
2．（2021·河南·高二期中（文））若数列是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·高二期中（理））已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：等比中项的应用
4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
5．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A． B． C． D．
题型三：等比数列的证明
7．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
（1）证明：{an－1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
8．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
9．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））已知是数列的前项和，且
（Ⅰ）求的值，若，试证明数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式.
题型四：等比数列的性质及其应用
10．（2021·河南洛阳·高二期中（文））等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．5 C．4 D．
11．（2021·江西·九江一中高二月考（理））已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．8
12．（2021·河南郑州·高二月考（理））已知数列满足，（为非零常数），，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）
13．（2021·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2021·全国·高二课时练习）已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【双基达标】
一、单选题
16．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）在各项均为正数的等比数列中，若，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．2 D．4
17．（2021·广东广州·高二期末）已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
18．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝（ ）
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
19．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·江苏·高二专题练习）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
24．（2021·全国·高二单元测试）设为递减的等比数列，，，则（ ）
A．35 B． C．55 D．
25．（2021·全国·高二单元测试）已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·全国·高二课时练习）数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值（ ）
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一 D．不一定存在
27．（2021·全国·高二课时练习）设各项为正数的等比数列中，公比，且，则( )
A． B． C． D．
28．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二月考（理））在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
29．（2021·甘肃省会宁县第一中学高二期中（理））已知函数，若等比数列满足，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2 D．
30．（2021·甘肃·天水市第一中学高二月考）等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
31．（2021·全国·高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是，其中为第块骨牌的体积（或质量），为第1块骨牌的体积（或质量），为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有，两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但值相同，记，分别是，两副骨牌第块的体积，已知，，，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
32．（2021·江苏·高二专题练习）对于无穷数列，下列命题不正确的是（ ）
A．若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数数列
B．若等差数列满足：，则数列是常数数列
C．若等比数列满足：，则数列是常数数列
D．若各项为正数的等比数列满足：则数列是常数数列
33．（2021·江西·新余四中高二月考（文））在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
34．（2021·江苏·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列中，，其前项和为，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
36．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
37．（2021·全国·高二课时练习）(多选题)设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的有( )
A． B． C． D．是数列中的最大值
38．（2021·福建·宁德市第九中学高二月考）若数列满足则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．数列的通项公式 D．数列的通项公式
39．（2021·全国·高二单元测试）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
三、填空题
40．（2021·全国·高二专题练习）在数列{an}中，a1=3，且点Pn（an，an+1）（n∈N*）在直线4x-y+1=0上，则数列{an}的通项公式为________.
41．（2021·河南平顶山·高二期中）等比数列的公比，则等于___________.
42．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列{an}中，若，，则________.
43．（2021·全国·高二课时练习）将数列中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
，
，，，
，，，
……
记数阵中的第1列数，，，…构成的数列为，为数列的前n项和，若，则______．
44．（2021·河南焦作·高二期中（理））艾萨克·牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值，，，…，这样得到的数列称为“牛顿数列”.例如，对于方程，已知牛顿数列满足，且，设，若，则___________.
四、解答题
45．（2021·全国·高二课时练习）已知，在一容器内装有浓度为的溶液1 kg，注入浓度为的溶液kg，搅匀后倒出混合液kg.如此反复进行下去.
（1）写出第1次混合后溶液的浓度；
（2）设第n次混合后溶液的浓度为，试用an表示an＋1；
（3）写出{an}的通项公式.
46．（2021·全国·高二课时练习）设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
（1）试用an表示an＋1；
（2）求证：是等比数列；
（3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
47．（2021·河南郑州·高二期中（文））设数列，，，满足：前三项成等比数列且和为，后三项成公差不为零的等差数列且和为.
（1）用表示出；
（2）若满足条件的数列，，，的个数大于，求的取值范围.
48．（2021·全国·高二专题练习）数列满足，且（且）．
（1）求、，并证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
49．（2021·江苏·高二单元测试）已知数列的前项和为，满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案详解】
1．D
解：设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，
故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，
所以数列{bn}的前10项和为.
故选：D.
2．C
【详解】
设数列的公比为，则.所以，所以.故选：C.
3．B
【详解】
设数列的公比为，因为，所以，
即，解得，
所以.
故选：B.
4．C
解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，
化为，．
所以，
则．
故选：C．
5．A
【详解】
解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，
又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确
故选：A.
6．A
由题意可知，得，解得或，
因为，故，
所以.
故选：A.
7．
（1）
证明 ∵Sn＝n－5an－85，
∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，
整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝ (an－1)，
又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，
∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.
（2）
由（1）可知an－1＝－15×，
∴an＝1－15×.
8．
【详解】
（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
9．
【详解】
（Ⅰ）因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，．
10．B
解：因为，，所以，所以
故选：B
11．A
【详解】
在等比数列中，，则，
依题意，，而的各项均为正数，于是得，
所以.
故选：A
12．A
【详解】
解：由数列为等比数列，得，
所以，
又数列的首项，所以.
故选：A.
13．D
【详解】
因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
14．A
【详解】
为等比数列，，，
，，，，．
故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，
故选：．
15．C
【详解】
若，，当时，，故A错误；
若，则，，当时，，故B错误；
若，则成立，故C正确；
若，，当时，，故D错误；
故选：C.
16．D
【详解】
设等比数列的公比为，，
由，，成等差数列，可得，
即为，
可得，解得舍去），
则．
故选：D
17．D
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
18．B
由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以，，故，所以a10＝，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，
故选：B.
19．D
【详解】
∵，，
∴，又，
∴.
故选：D.
20．C
【详解】
因为，所以两边取倒数得
，则，所以数列为等比数列，
则，所以，
故.
故选：C.
21．A
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
22．B
【详解】
由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的，
设第n个三角形的面积为，则数列是首项，公比的等比数列，
∴，
∴第2022个三角形的面积为．
故选：B．
23．C
【详解】
因数列是正数组成的等比数列，则，
所以.
故选：C
24．B
【详解】
∵为递减的等比数列，，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
故选B.
25．A
【详解】
设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选：A.
26．B
【详解】
依题意，bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2＝3n－7＋(3n－2)logk＝n－7－2logk.
∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3.
故选：B
27．C
【详解】
因为是等比数列，，公比，
所以，化简得，，
故.
故选：C.
28．C
【详解】
因为是各项不为零的等差数列，
所以，
由可得，
因为，所以，
所以，
因为数列是等比数列，所以，
所以，
故选：C.
29．A
【详解】
，
，
是等比数列，，
则.
故选：A
30．C
【详解】
是等比数列，则，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．
故选：C．
31．D
【详解】
由题可知，和组成的数列都是以为公比的等比数列.
由题意可列出如下的方程：
①，
②，
③，
由①可得④，
由②可得⑤，
由③可得⑥，
由④⑤⑥得，，
所以，即.
因为，和都是整数，
所以符合条件的解只有，这一组.
综上所述，，
故选：D.
32．C
【详解】
对于A，设等差数列公差为d，则时，，
而数列是等比数列，则，且，于是得，即是常数数列，A正确；
对于B，设等差数列公差为d，有，若，而是无穷数列，则当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，
若，则当n趋近于无穷大时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大，即，都趋近于正无穷大，
因，则，即是常数数列，B正确；
对于C，等比数列，令，对于任意的正整数n，，满足，不是常数数列，C不正确；
对于D，设各项为正数的等比数列公比为q，则，
当时，数列是递增数列，当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，必存在正整数，有时，，
当时，数列是递减数列，当n趋近于无穷大时，趋近于0，必存在正整数，有时，，
即且时，对于无穷正项等比数列必存在一个正整数，当n取大于这个正整数时不可能成立，
于是得无穷正项等比数列满足：，其公比，即数列是常数数列，D正确.
故选：C
33．C
【详解】
∵在等比数列中，，是方程的根，
∴，
∴，
，
∴，
∴
故选：C．
34．B
【详解】
解：设的公比为．
成等差数列，．即，
化简得，解得或．
由已知，，．
故选：B．
35．BCD
【详解】
因为，所以，，
，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，
故数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，，
，
所以，.
所以，BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD.
36．AB
【详解】
设等比数列的公比为，则，可得，
，所以，，
令，解得，
故当最大时，或.
故选：AB.
37．BCD
【详解】
选项A：若，由，则，，
则，，则与已知条件矛盾，
所以不符合，故A错误；
选项B：由于，，，所以，，
故，则，则，故B正确；
选项C：因为，故C正确；
选项D：因为前2020项都大于1，从第2021项开始起都小于1，
所以的值是中最大的，故D正确．
故选：BCD.
38．AC
【详解】
在数列中，当时，，即，而，即，则是首项为1，公差为1的等差数列，
因此，，，
所以A正确，B不正确，C正确，D不正确.
故选：AC
39．ABD
【详解】
∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
40．
因为点Pn（an，an+1）（n∈N*）在直线4x-y+1=0上，
所以4an-an+1+1=0，
即an+1=4an+1，得an+1+，
所以是首项为，公比为4的等比数列，
所以，
故.
故答案为：
41．
【详解】
因为等比数列的公比，
所以，
故答案为：.
42．1024
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
，①
，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴
故答案为：
43．1024
【详解】
当时，，，
，（且）．
，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，．
设，，，，，…的下标，，，，，…构成数列，
则，，，，…，，
叠加得，，
由，得（负值已舍去），．
故答案为：1024.
44．6
【详解】
因为，且，
所以；，
故，
即，
从而数列是以公比为2的等比数列，
故，即，
由，解得.
故答案为：6.
45．
（1）
；
（2）
，
即；
（3）
由（2）知，
即，
所以是一个公比为的等比数列，首项为，
所以，
所以
46．
解：由韦达定理得：，，
由得，
故．
（2）
证明：因为，
所以，
故数列是公比为的等比数列；
（3）
解：当时，数列的首项，
故，
所以．
47．（1）；（2）.
解：（1）由题意，设等比数列，，的公比为q，等差数列，，的公差为d（），
则，，又，所以，所以，
所以，即；
（2）由（1）得数列，，，分别为：， ，
因为满足条件的数列，，，的个数大于，且，所以且，
所以m的取值范围为.
48．（1），，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用递推公式可求得、的值，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式．
【详解】
（1）因为，且（且），
则，，
由已知可得，
，则对任意的，，
所以当时，，故数列是等比数列；
（2）由（1）可知，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，因此，.
49．
（1）
①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列；
（2）
由（1）得，
；
（3）
令，则
当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
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