人教A版2019选择性必修第二册5.2 导数的运算 学案（Word版含答案）

第五章：一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
【考点梳理】
考点一　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
考点二：导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
考点三：复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
重难点规律归纳：
　一：求复合函数的导数的步骤
二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
知识点1　利用导数的加法与减法法则求导
1．(5分)已知f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝(　　)
A．3x2－3x
B．3x2－3xln 3＋
C．3x2＋3xln 3
D．3x2－3xln 3
D　解析：∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3xln 3.
2．(5分)已知f(x)＝sinx－cosx，则f′＝(　　)
A．0 B．
C． D．1
C　解析：∵f′(x)＝cosx＋sinx，
∴f′＝cos＋sin＝＋＝.
3．(5分)曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为.
4．(5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
C　解析：由y＝2sinx＋cosx可得y′＝2cosx－sinx，当x＝π时，y′＝－2，即切线的斜率为－2，所以切线方程为2x＋y－2π＋1＝0.
5．(5分)函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)
A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A　解析：y′＝′＋′＝ex－e－x＝(ex－e－x)．
知识点2　利用导数的乘法与除法法则求导
6．(5分)下列运算正确的是(　　)
A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′
B．(sinx＋2x2)′＝(sinx)′＋2′(x2)′
C．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx
D．′＝
A　解析：根据导数的四则运算法则易知A正确．
7．(5分)函数y＝的导数是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　解析：y′＝
＝
＝.
8．(5分)函数y＝(a>0)的导数为0，那么x等于(　　)
A．a B．±a
C．－a D．a2
B　解析：y′＝＝.由x2－a2＝0得x＝±a.
9.(5分)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
3　解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3, 所以a＝3.
10.(5分)若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
C　解析：由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，
若f′(x)＝>0，则x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2.
11．(5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
D　解析：令f(x)＝aex＋xln x，
则f′(x)＝aex＋ln x＋1，f′(1)＝ae＋1＝2，得a＝＝e－1.f(1)＝ae＝2＋b, 可得b＝－1.
12．(5分)曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 (　　)
A． B．π2
C．2π2 D．(2＋π)2
A　解析：曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为.
13.(5分)曲线f(x)＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
2－1　解析：f′(x)＝，则f′(1)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
14.(5分)已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
1　解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
15.(5分)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
1　解析：∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sinx.
∴f＝1.
16.(5分)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
　解析：∵点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，
∴切线与曲线在点(1，a)处相切．
又∵f′(x)＝y′＝2ax－，
∴f′(1)＝2a－1.
∴切线的斜率为2a－1.又切线平行于x轴，
∴2a－1＝0，∴a＝.
17.(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝3－x3；
(2)y＝sinx－2x2；
(3)y＝cosx·ln x；
(4)y＝.
解：(1)y＝3－x3，
则y′＝(3)′－(x3)′＝－3x2.
(2)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.
(3)y′＝(cosx·ln x)′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋.
(4)y′＝′＝＝＝.
18.(10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)得
4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有a＋2＝2c，①
a＋b＋1＝4d.②
由f′(x)＝g′(x)得2x＋a＝2x＋c，
于是a＝c.③
由①与③有a＝c＝2.
此时f(x)＝x2＋2x＋b，
由f(5)＝30得25＋10＋b＝30，④
于是b＝－5，再由②得d＝－.
从而g(x)＝x2＋2x－，
故g(4)＝16＋8－＝.