人教A版2019选择性必修第二册4.4 数学归纳法 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册4.4 数学归纳法 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 15:09:15 | ||
图片预览
文档简介
第四章：数列
4.4 数学归纳法
【题型归纳】
题型一：数学归纳法证明恒等式
1．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明．
2．（2020·全国·高二课时练习）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论.
题型二：数学归纳法证明整除问题
3．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高二月考（理））用数学归纳法证明：能被整除．
4．（2021·河南·高二月考（理））用两种方法证明：能被49整除．
题型三：数学归纳法证明数列问题
5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
6．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an.
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
题型四：数学归纳法证明不等式
7．（2021·全国·高二单元测试）求证：，n∈N*．
8．（2021·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明.
【双基达标】
一、单选题
9．（2021·全国·高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
10．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
11．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
12．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（ ）
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
13．（2021·陕西·咸阳百灵学校高二期中（理））用数学归纳法证明：
14．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设当时成立，再推出当时成立
B．假设当时成立，再推出当时成立
C．假设当时成立，再推出当时成立
D．假设当时成立，再推出当时成立
15．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ）
A．a1＋(k－1)d B．
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
16．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·江苏·高二专题练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立
【高分突破】
一：单选题
19．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（ ）
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
20．（2020·全国·高二课时练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立
A． B． C． D．
21．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ）
A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
22．（2021·江苏·高二专题练习）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ）
A．不能用数学归纳法判断此命题的真假
B．此命题一定为真命题
C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题
D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题
23．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加的代数式是
24．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（ ）
A．增加一项 B．增加两项、
C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项
25．（2021·安徽省肥东县第二中学高二月考（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2021·全国·高二课时练习）对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
二、多选题
27．（2021·全国·高二课时练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
28．（2021·江苏·高二专题练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（ ）
A．若对成立，则对所有正整数都成立
B．若对成立，则对所有正偶数都成立
C．若对成立，则对所有正奇数都成立
D．若对成立，则对所有自然数都成立
29．（2021·全国·高二课时练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
30．（2021·全国·高二单元测试）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，命题不成立
B．当时，命题可能成立
C．当时，命题不成立
D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
三、填空题
31．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．
32．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
33．（2021·全国·高二课时练习）已知f(n)＝1＋＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.
34．（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明 (n∈N*)的过程如下：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.
35．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.
四、解答题
36．（2020·安徽省明光中学高二月考（理））已知数列满足，.
（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当时，.
37．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.
（1）求、；
（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.
38．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，其中且.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
39．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，，且.
（1）求、、；
（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
40．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
【答案详解】
1．
【详解】
证明：（1）当时，
左边，右边，
左边=右边，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即，
则当时，
，
即当时，等式成立，
由（1）（2）可知，对一切等式成立.
2．存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立，证明见解析.
【详解】
假设存在常数a，b，c，使等式对于一切正整数n成立，
令n=1，2，3得
整理得解得
令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.
于是对于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立.
用数学归纳法证明等式对于一切都成立，过程如下：
当n=1时，已得等式成立.
假设)时，等式成立，
即Sk=(3k2+11k+10)，
则n=k+1时，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2
=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
=[k(3k+5)+12(k+2)]
=[3(k+1)2+11(k+1)+10]，
当n=k+1时，等式也成立.
根据可以断定，对于一切等式都成立.
所以存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立.
3．
【详解】
当时，，又，能被整除；
假设当时，能被整除，即，
那么当时，能被整除；
综上所述：能被整除.
4．
【详解】
证明：方法一：
因为为整数，
所以能被49整除．
方法二：（1）当时，，能被49整除．
（2）假设当，能被49整除，
那么，当，．
因为能被49整除，也能被49整除，
所以能被49整除，即当时命题成立，
由（1）（2）知，能被49整除．
5．，证明见解析
【分析】
利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】
由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
6．
（1）a2=，a3＝，a4＝
（2）an＝，证明见解析
【分析】
（1）用赋值法即可求解；
（2）结合（1）的答案猜想出an，再数学归纳法的步骤证明即可.
（1）
∵a1＝，前n项和Sn＝an，
∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝.
令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
（2）
猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明.
①当n＝1时，结论成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝·ak＝，Sk＋1＝·ak＋1，即Sk＋ak＋1＝·ak＋1，
∴＋ak＋1＝·ak＋1，
∴·ak＋1＝，
∴ak＋1＝，
∴当n＝k＋1时结论成立.
由①②可知，对一切n∈N*都有an＝成立.
7．证明见解析
【分析】
由已知结合数学归纳法即可求解
【详解】
证明：（1）当n＝1时，因为＜1，所以原不等式成立．
（2）假设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立，即有，
当n＝k＋1时，
＜．
因此，欲证当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明成立，即证，
从而转化为证，
也就是证．
又＝k2＋k＋1－＝＞0，从而．
于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由（1）（2）可知，当n是一切正整数时，原不等式都成立．
8．证明见解析
【分析】
根据数学归纳法的步骤即可证明．
【详解】
（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；
（2）假设当时，原不等式成立，即，
当时，
∵
∴．即，
所以，当时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
9．D
【分析】
写出与时左边的式子，对比即可求解
【详解】
由题意知：时，左边为，
当时，左边为，
增加项为：共项.
故选：D
10．C
【分析】
依题意根据数学归纳法证明判断即可；
【详解】
解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，
归纳假设应写成：假设时命题成立．
故选：C．
11．C
【分析】
将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】
n＝k时，左边为＋＋…＋，①
n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②
比较①②可知C正确.
故选：C
12．C
【分析】
将n＝1代入即得.
【详解】
由知，当时，等式的左边是.
故选：C.
13．答案见解析
【分析】
根据数学归纳法的步骤即可证出．
【详解】
①当时，左边＝，右边，左边＝右边；
②假设当时，等式成立，即，
那么，当时，
，即等式也成立，
综上，对一切，等式恒成立．
14．B
【分析】
根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.
【详解】
第二步假设当时成立，再推出当时成立.
故选：B.
15．C
【分析】
只需把公式中的n换成k即可．
【详解】
假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
故选: C
16．B
【分析】
根据题意表示出和，然后代入计算即可.
【详解】
由题意，，，所以
.
故选：B.
17．B
【分析】
根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.
【详解】
因为，故数学归纳法应验证的情况，即.
故选：B.
18．D
【分析】
根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】
选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
19．C
【分析】
根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.
【详解】
因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，
f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，
则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
故选：C.
20．B
【分析】
根据数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】
若已假设（为偶数）时命题为真，
因为只能取偶数，所以还需要证明成立．
故选：B．
21．D
【分析】
根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.
【详解】
因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，
即当（为正整数）时，能被整除，再证时，能被整除.
故选：D.
22．B
【分析】
直接用数学归纳法证明即可．
【详解】
①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；
②假设时，等式成立，
即，则当时，
，
即当时，等式成立．综上，对任意，
等式恒成立，
故选：B．
23．D
【分析】
根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.
【详解】
第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；
因为，
所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；
所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.
故选:D.
24．D
【分析】
理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.
【详解】
由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，
那么时，有：，
∴，
综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项
故选：D
25．C
【详解】
当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
26．D
【分析】
根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【详解】
在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
27．AD
【详解】
对于A：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
若成立，则成立，故A正确；
对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；
对于C：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
故若成立，则成立，所以C错误；
对于D：根据题意，若成立，则成立，
即成立，结合，
所以当时，均有成立，故D正确.
故选：AD
28．BC
【详解】
由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.
故选：BC
29．AD
【分析】
直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
【详解】
由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
30．AD
【详解】
如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；
如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；
当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.
故选：AD
31．
【分析】
首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.
【详解】
假设时成立，即成立，
当时，
，
故只需证明“”成立即可．
故答案为：.
32．Sn＝
【详解】
S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
故答案为：Sn＝
33．2k
【分析】
由f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出f(2k)和f(2k＋1)进行比较可得答案
【详解】
观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.
故答案为：2k
34．未用归纳假设
【分析】
根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.
【详解】
本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.
故答案为：未用归纳假设
35．
【分析】
当时可确定表达式左侧增加的项和右侧的形式，进而得到结果.
【详解】
当时，
表达式左侧为：，
表达式右侧为：，
则当时，表达式为.
故答案为：.
36．（1），，，（2）证明见解析
【分析】
（1）由，，，2，，可求得，继而可求得，，由此猜想的一个通项公式：（2）证明，利用数学归纳法证明：易证①当时，不等式成立；②假设当时结论成立，即，去推证时，结论也成立即可.
【详解】
（1）由，得；
由，得；
由，得；
由此猜想的一个通项公式：.
（2）先证明：
下面用数学归纳法证明
当时，，成立．
假设当时成立．即，
那么当时，
即当时也成立．
所以．
再证明当时，，
①当时，，不等式成立，
②假设当时结论成立，即，
当时，
，
而，
所以
即时，结论也成立．
由①和②可知，当时，.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力，属于中档题．
37．（1），；（2）,证明见解析.
【分析】
（1）依据递推关系可求、.
（2）根据（1）可猜测，按照数学归纳法的基本步骤证明即可.
【详解】
（1），；
（2）猜想数列通项公式，证明如下：
当时，，，所以成立；
假设时成立，即 ，
当时， ，
∴时，成立，
综上，由①②得： .
38．（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【分析】
（1）由，且，分别令，即可求得的值；
（2）由，，，猜想：，利用数学归纳法，即可证明.
【详解】
（1）由题意，数列满足，且，
可得， 即，
又由，可得，可得.
（2）由，，，
猜想：，
证明：当时，由（1）可知等式成立；
假设时，猜想成立，即，
当时，由题设可得，
所以，
，
又由，所以，
所以，
即当时，命题也成立，
综上可得，命题对任意都成立.
39．（1），，；（2），证明见解析.
【分析】
（1）由，分别令，，求解：
（2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可.
【详解】
（1），
当时，，解得，即有；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为.
下面运用数学归纳法证明.
①当时，由（1）可得成立；
②假设，成立，
当时，，
即有，
则，
当时，上式显然成立；
当时，，即，
则当时，结论也成立.
由①②可得对一切，成立.
40．（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；
（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.
【详解】
（1）由，是，的等差中项，
可得，即，即，解得或，
又因为，所以，
又由，所以，
因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，所以.
（2）先用数学归纳法证明当，，
①当时，，左式>右式，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，
可得，不等式也成立.
由①②得证当，，
所以.
试卷第1页，共3页
4.4 数学归纳法
【题型归纳】
题型一：数学归纳法证明恒等式
1．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明．
2．（2020·全国·高二课时练习）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论.
题型二：数学归纳法证明整除问题
3．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高二月考（理））用数学归纳法证明：能被整除．
4．（2021·河南·高二月考（理））用两种方法证明：能被49整除．
题型三：数学归纳法证明数列问题
5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
6．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an.
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
题型四：数学归纳法证明不等式
7．（2021·全国·高二单元测试）求证：，n∈N*．
8．（2021·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明.
【双基达标】
一、单选题
9．（2021·全国·高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
10．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
11．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
12．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（ ）
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
13．（2021·陕西·咸阳百灵学校高二期中（理））用数学归纳法证明：
14．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设当时成立，再推出当时成立
B．假设当时成立，再推出当时成立
C．假设当时成立，再推出当时成立
D．假设当时成立，再推出当时成立
15．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ）
A．a1＋(k－1)d B．
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
16．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·江苏·高二专题练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立
【高分突破】
一：单选题
19．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（ ）
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
20．（2020·全国·高二课时练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立
A． B． C． D．
21．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ）
A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
22．（2021·江苏·高二专题练习）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ）
A．不能用数学归纳法判断此命题的真假
B．此命题一定为真命题
C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题
D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题
23．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加的代数式是
24．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（ ）
A．增加一项 B．增加两项、
C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项
25．（2021·安徽省肥东县第二中学高二月考（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2021·全国·高二课时练习）对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
二、多选题
27．（2021·全国·高二课时练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
28．（2021·江苏·高二专题练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（ ）
A．若对成立，则对所有正整数都成立
B．若对成立，则对所有正偶数都成立
C．若对成立，则对所有正奇数都成立
D．若对成立，则对所有自然数都成立
29．（2021·全国·高二课时练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
30．（2021·全国·高二单元测试）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，命题不成立
B．当时，命题可能成立
C．当时，命题不成立
D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
三、填空题
31．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．
32．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
33．（2021·全国·高二课时练习）已知f(n)＝1＋＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.
34．（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明 (n∈N*)的过程如下：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.
35．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.
四、解答题
36．（2020·安徽省明光中学高二月考（理））已知数列满足，.
（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当时，.
37．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.
（1）求、；
（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.
38．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，其中且.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
39．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，，且.
（1）求、、；
（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
40．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
【答案详解】
1．
【详解】
证明：（1）当时，
左边，右边，
左边=右边，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即，
则当时，
，
即当时，等式成立，
由（1）（2）可知，对一切等式成立.
2．存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立，证明见解析.
【详解】
假设存在常数a，b，c，使等式对于一切正整数n成立，
令n=1，2，3得
整理得解得
令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.
于是对于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立.
用数学归纳法证明等式对于一切都成立，过程如下：
当n=1时，已得等式成立.
假设)时，等式成立，
即Sk=(3k2+11k+10)，
则n=k+1时，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2
=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
=[k(3k+5)+12(k+2)]
=[3(k+1)2+11(k+1)+10]，
当n=k+1时，等式也成立.
根据可以断定，对于一切等式都成立.
所以存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立.
3．
【详解】
当时，，又，能被整除；
假设当时，能被整除，即，
那么当时，能被整除；
综上所述：能被整除.
4．
【详解】
证明：方法一：
因为为整数，
所以能被49整除．
方法二：（1）当时，，能被49整除．
（2）假设当，能被49整除，
那么，当，．
因为能被49整除，也能被49整除，
所以能被49整除，即当时命题成立，
由（1）（2）知，能被49整除．
5．，证明见解析
【分析】
利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】
由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
6．
（1）a2=，a3＝，a4＝
（2）an＝，证明见解析
【分析】
（1）用赋值法即可求解；
（2）结合（1）的答案猜想出an，再数学归纳法的步骤证明即可.
（1）
∵a1＝，前n项和Sn＝an，
∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝.
令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
（2）
猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明.
①当n＝1时，结论成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝·ak＝，Sk＋1＝·ak＋1，即Sk＋ak＋1＝·ak＋1，
∴＋ak＋1＝·ak＋1，
∴·ak＋1＝，
∴ak＋1＝，
∴当n＝k＋1时结论成立.
由①②可知，对一切n∈N*都有an＝成立.
7．证明见解析
【分析】
由已知结合数学归纳法即可求解
【详解】
证明：（1）当n＝1时，因为＜1，所以原不等式成立．
（2）假设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立，即有，
当n＝k＋1时，
＜．
因此，欲证当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明成立，即证，
从而转化为证，
也就是证．
又＝k2＋k＋1－＝＞0，从而．
于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由（1）（2）可知，当n是一切正整数时，原不等式都成立．
8．证明见解析
【分析】
根据数学归纳法的步骤即可证明．
【详解】
（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；
（2）假设当时，原不等式成立，即，
当时，
∵
∴．即，
所以，当时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
9．D
【分析】
写出与时左边的式子，对比即可求解
【详解】
由题意知：时，左边为，
当时，左边为，
增加项为：共项.
故选：D
10．C
【分析】
依题意根据数学归纳法证明判断即可；
【详解】
解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，
归纳假设应写成：假设时命题成立．
故选：C．
11．C
【分析】
将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】
n＝k时，左边为＋＋…＋，①
n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②
比较①②可知C正确.
故选：C
12．C
【分析】
将n＝1代入即得.
【详解】
由知，当时，等式的左边是.
故选：C.
13．答案见解析
【分析】
根据数学归纳法的步骤即可证出．
【详解】
①当时，左边＝，右边，左边＝右边；
②假设当时，等式成立，即，
那么，当时，
，即等式也成立，
综上，对一切，等式恒成立．
14．B
【分析】
根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.
【详解】
第二步假设当时成立，再推出当时成立.
故选：B.
15．C
【分析】
只需把公式中的n换成k即可．
【详解】
假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
故选: C
16．B
【分析】
根据题意表示出和，然后代入计算即可.
【详解】
由题意，，，所以
.
故选：B.
17．B
【分析】
根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.
【详解】
因为，故数学归纳法应验证的情况，即.
故选：B.
18．D
【分析】
根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】
选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
19．C
【分析】
根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.
【详解】
因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，
f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，
则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
故选：C.
20．B
【分析】
根据数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】
若已假设（为偶数）时命题为真，
因为只能取偶数，所以还需要证明成立．
故选：B．
21．D
【分析】
根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.
【详解】
因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，
即当（为正整数）时，能被整除，再证时，能被整除.
故选：D.
22．B
【分析】
直接用数学归纳法证明即可．
【详解】
①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；
②假设时，等式成立，
即，则当时，
，
即当时，等式成立．综上，对任意，
等式恒成立，
故选：B．
23．D
【分析】
根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.
【详解】
第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；
因为，
所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；
所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.
故选:D.
24．D
【分析】
理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.
【详解】
由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，
那么时，有：，
∴，
综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项
故选：D
25．C
【详解】
当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
26．D
【分析】
根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【详解】
在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
27．AD
【详解】
对于A：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
若成立，则成立，故A正确；
对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；
对于C：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
故若成立，则成立，所以C错误；
对于D：根据题意，若成立，则成立，
即成立，结合，
所以当时，均有成立，故D正确.
故选：AD
28．BC
【详解】
由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.
故选：BC
29．AD
【分析】
直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
【详解】
由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
30．AD
【详解】
如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；
如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；
当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.
故选：AD
31．
【分析】
首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.
【详解】
假设时成立，即成立，
当时，
，
故只需证明“”成立即可．
故答案为：.
32．Sn＝
【详解】
S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
故答案为：Sn＝
33．2k
【分析】
由f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出f(2k)和f(2k＋1)进行比较可得答案
【详解】
观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.
故答案为：2k
34．未用归纳假设
【分析】
根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.
【详解】
本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.
故答案为：未用归纳假设
35．
【分析】
当时可确定表达式左侧增加的项和右侧的形式，进而得到结果.
【详解】
当时，
表达式左侧为：，
表达式右侧为：，
则当时，表达式为.
故答案为：.
36．（1），，，（2）证明见解析
【分析】
（1）由，，，2，，可求得，继而可求得，，由此猜想的一个通项公式：（2）证明，利用数学归纳法证明：易证①当时，不等式成立；②假设当时结论成立，即，去推证时，结论也成立即可.
【详解】
（1）由，得；
由，得；
由，得；
由此猜想的一个通项公式：.
（2）先证明：
下面用数学归纳法证明
当时，，成立．
假设当时成立．即，
那么当时，
即当时也成立．
所以．
再证明当时，，
①当时，，不等式成立，
②假设当时结论成立，即，
当时，
，
而，
所以
即时，结论也成立．
由①和②可知，当时，.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力，属于中档题．
37．（1），；（2）,证明见解析.
【分析】
（1）依据递推关系可求、.
（2）根据（1）可猜测，按照数学归纳法的基本步骤证明即可.
【详解】
（1），；
（2）猜想数列通项公式，证明如下：
当时，，，所以成立；
假设时成立，即 ，
当时， ，
∴时，成立，
综上，由①②得： .
38．（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【分析】
（1）由，且，分别令，即可求得的值；
（2）由，，，猜想：，利用数学归纳法，即可证明.
【详解】
（1）由题意，数列满足，且，
可得， 即，
又由，可得，可得.
（2）由，，，
猜想：，
证明：当时，由（1）可知等式成立；
假设时，猜想成立，即，
当时，由题设可得，
所以，
，
又由，所以，
所以，
即当时，命题也成立，
综上可得，命题对任意都成立.
39．（1），，；（2），证明见解析.
【分析】
（1）由，分别令，，求解：
（2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可.
【详解】
（1），
当时，，解得，即有；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为.
下面运用数学归纳法证明.
①当时，由（1）可得成立；
②假设，成立，
当时，，
即有，
则，
当时，上式显然成立；
当时，，即，
则当时，结论也成立.
由①②可得对一切，成立.
40．（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；
（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.
【详解】
（1）由，是，的等差中项，
可得，即，即，解得或，
又因为，所以，
又由，所以，
因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，所以.
（2）先用数学归纳法证明当，，
①当时，，左式>右式，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，
可得，不等式也成立.
由①②得证当，，
所以.
试卷第1页，共3页