人教A版2019选择性必修第二册5.1 导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

第五章：一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
【题型归纳】
题型一：函数的平均变化率
1．（2021·全国·高二课时练习）函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是（ ）
A．2＋Δx B．2－Δx C．2 D．(Δx)2＋2
2．（2021·江苏·高二专题练习）若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系与的取值有关
3．（2021·江苏·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：瞬时变化率理解
4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，则用平均变化率估计在处的瞬时变化率为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．（2021·全国·高二课时练习）已知物体做自由落体的运动方程为，且无限趋近于0时，无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（ ）．
A．物体在0~1s这一段时间内的速度
B．物体在这一段时间内的速度
C．物体在1s这一时刻的速度
D．物体从1s到这一段时间内的平均速度
6．（2021·全国·高二课时练习）一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型三：导数（导函数）的理解
7．（2021·江苏·高二专题练习）设在处可导，则（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2021·江苏·高二专题练习）函数在处的导数可表示为，即（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
题型四：导数定义中的极限的简单计算
10．（2021·江苏·高二课时练习）若，则（ ）
A．－4 B．4
C．－1 D．1
11．（2021·重庆市万州清泉中学高二月考）已知函数在处的导数为1，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
12．（2021·陕西阎良·高二期末（理））设函数的导函数为，若，则等于（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
题型五：利用导数几何意义求切线方程
13．（2021·江西·黎川县第一中学高二期末（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高二单元测试）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·全国·高二单元测试）若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24 B．32 C．64 D．86
题型六：已知切线（斜率）求参数
16．（2021·全国·高二课时练习）若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
17．（2021·全国·高二课时练习）已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·全国·高二专题练习）若曲线（）在处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C． D．2
题型七：求切点坐标
19．（2021·广东·东莞市光明中学高二月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
20．（2021·广西·玉林市育才中学高二开学考试（理））曲线在P0处的切线垂直于直线，则P0的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
21．（2020·江苏如皋·高二月考）已知函数在处的切线方程为，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型八：过某点的曲线的切线
22．（2020·全国·高二课时练习）已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
23．（2021·全国·高二单元测试）曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020·江苏省平潮高级中学高二月考）已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
25．（2021·广西河池·高二月考（理））在导数定义中“当时，”，（ ）
A．恒取正值 B．恒取正值或恒去取负值
C．有时可取 D．可取正值可取负值，但不能取零
26．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
27．（2021·全国·高二课时练习）以正弦曲线上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·江苏·高二专题练习）设函数在附近有定义，且有，其中a，b为常数，则（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·江苏·高二专题练习）函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（ ）．
A． B．
C． D．
30．（2021·全国·高二单元测试）已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　　）
A．f'（xA）＞f'（xB）
B．f'（xA）＝f'（xB）
C．f'（xA）＜f'（xB）
D．f'（xA）与f'（xB）大小不能确定
31．（2021·全国·高二单元测试）设函数，则曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣1
32．（2021·全国·高二单元测试）若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
33．（2021·全国·高二单元测试）已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前n项和为，则的值为( )
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
34．（2021·江苏·高二课时练习）曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
35．（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（ ）
A．物体5 s内共走过42 m
B．物体每5 s运动42 m
C．物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s
D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m
36．（2021·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
37．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)可导，且满足，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
38．（2021·重庆·高二月考）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
39．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫作函数值的增量
B．叫作函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
40．（2021·全国·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2021·江苏·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
42．（2021·江苏·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
43．（2021·全国·高二专题练习）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A． B．
C． D．
44．（2021·广东·佛山市南海区罗村高级中学高二月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
三、填空题
45．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）曲线在点处的切线方程为________________.
46．（2021·全国·高二课时练习）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时原油温度（单位：℃）为，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.
47．（2021·江苏·高二专题练习）若函数在处的导数是8，则________．
48．（2021·全国·高二课时练习）下面说法正确的是______（填序号）.
①若不存在，则曲线在点处没有切线；
②若曲线在点处有切线，则必存在；
③若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在；
④若曲线在点处没有切线，则有可能存在.
四、解答题
49．（2021·江苏·高二课时练习）一物体的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数为.求：
（1）物体在内的平均速度；
（2）物体的初速度；
（3）物体在时的瞬时速度.
50．（2021·广西河池·高二月考（理））已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数过点处的切线方程.
51．（2021·全国·高二课时练习）在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标．
（1）在点P处曲线E的切线平行于直线；
（2）在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°．
【答案详解】
1．C
【分析】
根据函数解析式直接计算即可.
【详解】
Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－2＝2Δx.
所以
故选：C
2．A
【分析】
直接代入函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.
【详解】
，．
由题意知，所以，
故选：A．
3．A
【分析】
结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】
因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
4．C
【分析】
由平均变化率的定义可得，从而可得答案.
【详解】
函数在上的平均变化率为
，
取，得，
故估计在处的瞬时变化率为3.
故选：C.
5．C
【分析】
结合导数定义式知，应表示的是在1这一时刻的瞬时速度.
【详解】
由平均速度的概念，表示的是这一段时间内的平均速度，其极限值即，表示这一时刻的瞬时速度．
故选：C
6．C
【分析】
写出平均变化率求其极限即可求解.
【详解】
由题意，
＝(Δt＋6)＝6.
故选：C
7．C
【分析】
根据导数的定义即可求解.
【详解】
解：∵在处可导，
∴，
故选：C.
8．C
【分析】
结合导数定义直接选择即可.
【详解】
是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确．
故选：C
9．D
【分析】
根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：D
10．C
【分析】
利用导数的定义直接求解
【详解】
因为，所以．
故选：C
11．B
【分析】
由已知结合导数的定义即可直接求解.
【详解】
因为函数在处的导数为1，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．
12．D
【分析】
根据题意，由极限的运算性质和导数的定义可得，即可得到答案.
【详解】
根据题意，
，
又由，
则.
故选：D.
13．C
【分析】
求出函数的导函数即可求出，再根据点斜式求出切线方程；
【详解】
解：∵的导数为，
∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．
故选：C．
14．A
【分析】
求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.
【详解】
依题意，，
由导函数为偶函数，得，
故，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
15．C
【分析】
根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.
【详解】
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为.
令，得；令，得.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
∴.
故选：C
16．A
【分析】
先用导数的定义解出函数在x=0处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案.
【详解】
由题意可知k＝，
又(0，b)在切线上，解得：b＝1.
故选：A.
17．D
【分析】
先对函数求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.
【详解】
由求导得：，
而函数的图像在点处的切线方程为，，
因点在直线上，即，于是得，
因此有：，解得，
所以.
故选：D
18．A
【分析】
求出函数导数，根据题意可得曲线在处的导数值为2，即可求出.
【详解】
由可得，
又曲线在处的切线与直线平行，且直线的斜率为2，
则，解得.
故选：A.
19．C
【分析】
根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案.
【详解】
解：由题意可知：函数的导函数为
过P点的切线与直线平行
，解得
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即.
所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）
故选:C
20．C
【分析】
求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】
曲线在P0处的切线垂直于直线，
所以切线的斜率为4，
依题意，令，解得，
，
故点的坐标为和，
故选：C
21．A
【分析】
求得，利用导数的几何意义，求得，得到，再求得切点代入函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，则，
可得，即切线的斜率，
所以，解得，所以，
当时，，即切点
代入函数，可得，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
22．C
【分析】
设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.
【详解】
设切点为，则，切线斜率为
所以切线方程为，因为过点 则
解得或，所以切线方程为或
故选：C
23．D
【分析】
先求导得，再令解得，再求出切点坐标，之后再利用切线方程的公式求解即可.
【详解】
解：求导得，根据题意得，解得（舍去）或，可得切点的坐标为，所以该切线的方程为，整理得.故选：D.
【点睛】
本题考查已知切线斜率，求切线方程问题，考查导数的几何意义，是基础题.
24．B
【分析】
设切点坐标为，利用导数求出切线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，进而可求得直线的斜率.
【详解】
设切点坐标为，，，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用切线过点求切线的斜率，考查计算能力，属于基础题.
25．D
【分析】
根据题意，由导数的定义分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，当时，，
的值可取正值和负数，但不能取0；
故选：D．
26．D
【分析】
由导数的定义及导数的几何意义即可求解.
【详解】
解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
27．A
【分析】
先对函数求导，再利用余弦函数的性质可求得切线的斜率的范围，然后结合正切函数的图象与性质，即可求得直线的倾斜角的范围．
【详解】
设，直线的倾斜角为，.
∵，
∴，则在点处的切线斜率为，
∵，
∴，即，
∵，
∴倾斜角的范围是.
故选：A.
28．C
【分析】
利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再判断当时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求函数在该点处的导数.
【详解】
因为，所以，则，即.
故选：C.
29．D
【分析】
根据定义求解即可.
【详解】
解：由变化率的关系，.故选：D．
30．A
【分析】
根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，由导数的几何意义分析可得答案．
【详解】
根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，
则有f'（xA）＞f'（xB）；
故选：A
31．D
【分析】
由导数的几何意义得：曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，即y＝x﹣1，得解．
【详解】
解：因为，所以f′（x）＝lnx+1，所以f′（1）＝1，
即曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，即y＝x﹣1，
故选：D．
32．D
【分析】
根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可.
【详解】
设点的横坐标为，
因为，
所以．
因为切线的倾斜角为150°，
所以切线的斜率为，即，
所以．
故选：D
33．A
【分析】
首先利用导数的定义求出导函数在一点处的导数，然后结合导函数的几何意义求出参数，进而求出，从而可得到通项公式，然后利用裂项相消法求即可.
【详解】
因为，
所以．
因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，
所以，解得，
所以，，
所以．
故选:A．
34．C
【分析】
结合导数的概念求出，进而可以求出结果.
【详解】
上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
＝
＝ ＝<1，即k<1.
故选：C.
35．D
【分析】
根据瞬时速度的定义即可得出选项.
【详解】
由导数的物理意义知，
s′（5）＝42(m/s)表示物体在t＝5 s时的瞬时速度．
故选：D.
36．B
【分析】
根据平均速度的几何意义对进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
设直线的斜率分别为，
则，
，
，
由题中图象知，
即.
故选:B
37．B
【分析】
根据导数的定义即可得到答案.
【详解】
由题意，，所以.
故选：B.
38．D
【分析】
先由两曲线经过点P，求得a，再由在点P处有公切线构造关于b、c的方程，从而求得b、c，最后代入中利用均值定理求得答案.
【详解】
由题意即
设，，
因为，，
所以，，
又因为两曲线在点P处有公切线，所以，所以，
所以(当且仅当时等号成立)
故选：D
39．ABD
【分析】
由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.
【详解】
A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；
B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；
由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.
故选：ABD
40．AB
【分析】
根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.
【详解】
由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.
故选：AB
41．CD
【分析】
由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【详解】
在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．
瞬时速度为切线斜率，故B错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，故C正确．同理D正确．
故选：CD
42．AC
【分析】
由的意义判断各个选项即可.
【详解】
，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；
当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.
故选：AC.
43．AD
【分析】
利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．
【详解】
解：因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C错误；
因为，故选项D正确．
故选：AD．
44．AC
【分析】
由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．
【详解】
在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A正确；
在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B错误；
在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C正确；
在和两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小于后者，药物浓度的平均变化率不相同，D错．
故选：AC．
45．
【分析】
首先求出切点为，再利用导数的几何意义求切线即可.
【详解】
，切点为，
，，
所以切线方程为：，即.
故答案为：
46．0
【分析】
根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值.
【详解】
由题意可知温度的瞬间变化率为，因此当时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为.
故答案为：0.
47．1
【分析】
结合即可求解.
【详解】
根据导数的定义知，
，
解得．
故答案为：1
48．③
【分析】
根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.
【详解】
对于①中，由不存在时，曲线在点处不一定没有切线，
例如：函数，可得，在处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为，所以①不正确；
对于②中，曲线在点处有切线，则不一定存在，
例如：函数在处的切线方程为，但不存在，所以②不正确；
对于③中，若不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线在点处的切线斜率不存在，所以③正确；
对于④中，由存在，则曲线在点有切线为真命题，
可得其逆否命题“曲线在点处没有切线，则不存在”为真命题，所以④错误.
故选：③
49．
（1）
（2）－18m/s；
（3）－12m/s.
【分析】
（1）求出时间和位移的改变量即可求出平均速度；
（2）求出物体在时的瞬时速度即可；
（3）先求出物体在附近的平均变化率，即可求出瞬时速度.
（1）
在内，时间的改变量为，位移的改变量为
，∴物体在内的平均速度为.
（2）
物体的初速度即物体在时的瞬时速度.
∵函数在附近的平均变化率为
.
∴当趋于0时，趋于，
∴函数在时的瞬时变化率为，即物体的初速度为m/s.
（3）
∵物体在附近的平均变化率为，
当趋近于0时，趋近于－12，
∴函数在处的瞬时变化率为－12，即物体在时的瞬时速度为－12m/s.
50．
（1）
（2）或
【分析】
（1）求导，求出切线斜率即可
（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程
（1）
由已知，
则，
故切线方程为，即
（2）
设切点为，
则
切线方程为，
代入点可得，解得或
又，
故切线方程为或
即切线方程为或
51．
（1）
（2）
【分析】
（1）先通过瞬时变化率求出导函数，再根据切线斜率即可求出切点；
（2）先根据倾斜角求出斜率，再根据斜率即可求出切点.
（1）
．
设为所求的点．
因为切线与直线平行，所以，
解得，所以，
即．
（2）
因为切线的倾斜角是135°，
所以其斜率为，即，解得．
所以，即．
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