人教A版2019选择性必修第二册5.3.1 函数的单调性 学案（Word版含答案）

第五章：一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
【考点梳理】
知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
知识点1　利用导数判断函数的单调性或求单调区间
1．(5分)已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为(　　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
D．f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增
C　解析：因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选C．
2．(5分)函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．
D．(1，＋∞)
C　解析：∵y′＝8x－(x≠0)，令y′>0，即8x3－1>0，∴x>.
∴原函数的单调递增区间是.
3．(5分)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
B　解析：该函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－≤0，得04．(5分)若在区间[a，b]内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
A　解析：由f′(x)>0，得f(x)在(a，b)上是增函数．
∴当x∈(a，b)时，f(x)>f(a)≥0.
知识点2　函数图象与其导函数图象之间的关系
5．(5分)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
A　解析：对于A，随着x的递增y＝f′(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零，反映在函数y＝f(x)的图象上，即得y＝f(x)的单调性变化情况为增、减、增、减，区间端点也大致吻合，故A正确．
6．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是(　　)
A　解析：由f′(x)的符号易判断选A．
7．(5分)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
D　解析：从f′(x)的图象可以看出，在大致区间内是单调递增的，在内是单调递减的，所以原函数f(x)的图象应在内越来越陡，在内越来越平缓，只有D选项吻合．
知识点3　由函数的单调性求参数的范围
8．(5分)函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)
A．a＝
B．a＝1
C．a＝2
D．a≤0
D　解析：∵y′＝3ax2－1，
又函数在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴y′≤0恒成立，∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1，满足题意．故a≤0.
9．(5分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是(　　)
A．a>0，b2＋3ac≥0
B．a>0，b2－3ac≤0
C．a<0，b2＋3ac≥0
D．a<0，b2－3ac≤0
D　解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．
∵函数在(－∞，＋∞)上为递减的，
∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．
∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0，
即b2－3ac≤0.
10．(5分)若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．(－∞，2]
A　解析：根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞).
11.(5分)函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a的取值范围是________．
(0，＋∞)　解析：∵f′(x)＝3x2－a，由条件知f′(x)＝0需有两个不等实根，∴a>0.
12.(5分)如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上(　　)
A．没有单调性 B．无法确定单调性
C．是增函数 D．是减函数
C　解析：∵y′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
又x>0，f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0.
∴函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．
13．(5分)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)·(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
B　解析：令k≤0得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(－∞，2]．
14．(5分)已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)C．f(3)A　解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝＋，
且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
又∵215．(5分)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是(　　)
C　解析：当0∵xf′(x)<0，∴f′(x)<0，
∴y＝f(x)在(0,1)上为减函数；
当x>1时，
∵xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，只有C项吻合.
16.(5分)若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
－75　解析：∵f′(x)＝3x2＋a，且f′(x)<0的解为－5∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
17.(10分)已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值范围．
解：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，
则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，
解得－1≤b≤2，
由题意知y′≥0不恒成立，
故b<－1或b>2，
所以b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
18.(10分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．
解：由已知得a>在(1，＋∞)内恒成立，
设g(x)＝，则g′(x)＝－<0(x>1)．
∴g(x)在(1，＋∞)内递减，∴g(x)∵g(1)＝1，∴<1在(1，＋∞)内恒成立．
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞).
19.(10分)讨论函数f(x)＝loga(3x2＋5x－2)(a>0，且a≠1)的单调性．
解：∵函数f(x)＝loga(3x2＋5x－2)的定义域为(－∞，－2)∪，
又f′(x)＝·(6x＋5)＝，
∴①若a>1，则当x>时，logae>0,6x＋5>0，
(3x－1)(x＋2)>0，
∴f′(x)>0，函数f(x)在上是增函数；
当x<－2时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－2)上是减函数．
②若0时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在上是减函数；
当x<－2时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(－∞，－2)上是增函数．