人教A版2019选择性必修第二册5.3.2函数的最大(小)值 同步练习（Word版含解析）

第五章：一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2.2　函数的最大(小)值
【题型归纳】
题型一：函数的最值与极值的关系
1．（2022·江苏·丰县宋楼中学高二期中）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零
2．（2022·浙江·台州市书生中学高二月考）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·重庆·高二期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点
D．在处切线的斜率小于零
题型二：不含参函数的最值问题
4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·高二期末（理））函数在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东天河·高二期末）函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：含参函数的最值问题
7．（2021·全国·高二课时练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·海南·北京师范大学万宁附属中学高二月考）若，对任意的都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高二课时练习）设函数.
（1）若，求函数的递减区间；
（2）当时，记函数，求函数在区间上的最小值．
题型四：由函数的最值求参数问题
10．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高二期末（理））设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
（2）若函数g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围
11．（2022·安徽·六安一中高二月考（理））已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在（其中e为自然对数的底数）上的最大值为1，求a的值．
12．（2022·福建·泉州五中高二期中）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）在区间最大值为5，求.
题型五：函数的单调性、极值和最值的综合问题
13．（2020·浙江杭州·高一期末）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）对于任意均有恒成立，求的取值范围.
14．（2021·江苏如皋·高二月考）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）函数，对任意，不等式成立，求实数m的取值范围.
15．（2022·江苏·无锡市青山高级中学高二期中）已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上的最大值是4，则m的值为( )
A．3 B．1 C．2 D．
17．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
19．（2022·全国·高二课时练习）函数在区间上的最大值与最小值分别是（ ）
A．1， B．4， C．4， D．，
20．（2021·江苏·高二课时练习）函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1) B．(0，1)
C．(－1，1) D．
21．（2022·辽宁阜新·高二期末）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．
C． D．
22．（2022·江苏·高二课时练习）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2022·云南·昆明市外国语学校高二月考（理））已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·浙江·临海市西湖双语实验学校高二月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022·广东·肇庆市高要区第二中学高二月考）在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）
A．R B．R C．R D．R
26．（2022·江西·新余市第一中学高二月考（文））已知关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
27．（2022·江西·新余市第一中学高二月考（文））已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2022·福建省宁德市教师进修学院高二期末）设，若在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2022·天津·紫云中学高二期中）已知（a是常数）在上有极大值是3，那么在上的最小值是（ ）
A．－5 B．－11 C．－29 D．－37
30．（2022·重庆巴蜀中学高二开学考试）已知函数，对定义域内任意x都有，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．（2022·江苏·丰县宋楼中学高二期中）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”.1周角等于6000密位，记作1周角，1直角．已知，，则其最大值用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·江苏·邳州宿羊山高级中学高二月考）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
33．（2022·河北省唐县第一中学高二期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值 B．函数有且只有个零点
C．在上单调递减 D．设，则
34．（2022·全国·高二课时练习）设函数，则（ ）
A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，且有最小值
C．若方程恰有一个实根，则 D．若方程恰有三个实根，则
35．（2022·全国·高二单元测试）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ）
-1 0 2 4 5
1 2 0 2 1
A．函数的极值点的个数为3
B．函数的单调递减区间为
C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4
D．当时，方程有4个不同的实根
36．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值-1
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
37．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域是D，有下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．对于，函数在D上是单调增函数
B．对于，函数存在最小值
C．存在，使得对于任意x∈D，都有＞0成立
D．存在，使得函数有两个零点
38．（2022·广东·龙门县龙门中学高二月考）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于点对称
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
39．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，则的最小值是______．
40．（2022·全国·高二课时练习）一面靠墙，三面用栏杆围成的一个矩形场地，如果栏杆长40m，要使围成的场地面积最大，则靠墙的边应该是______m．
41．（2022·江苏·高二课时练习）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．
42．（2022·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，对，当时，，则实数的取值范围是___________
43．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，对一切，恒成立，则的取值范围是________.
44．（2022·重庆·高二期中）已知函数，现给出如下命题：
①当时，；
②在区间上单调递增；
③在区间上有极大值；
④存在，使得对任意，都有.
其中真命题的序号是__________.
四、解答题
45．（2022·广西河池·高二月考（理））已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的值域.
46．（2022·广西河池·高二月考（理））已知函数在处的切线与在处的切线平行.
（1）求；
（2）设，问是否存在，使在上恒成立，若存在，求的个数；若不存在，说明理由.
47．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
（2）若方程恰有两个相异的实根，，试求实数a的取值范围，并证明．
48．（2022·江西·景德镇一中高二期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值.
49．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()．
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．
50．（2022·全国·高二课时练习）某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元（包含10万元和1000万元）的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于l万元，同时不超过投资收益的20%．
（1）写出满足的条件．
（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①；②．试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
51．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数．
（1）设为的导函数，求在上的最小值；
（2）令，证明：当时，在上．
【答案详解】
1．B
【分析】
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】
解：根据导函数图象可知当时，，在时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，故正确；
易知是函数的极小值点，故正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故不正确；
函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故正确.
故选：．
2．A
【分析】
由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用可验证出必要性不成立，由此得到结论.
【详解】
为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为
充分性成立
当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立
“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件
故选：
3．B
【分析】
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．
【详解】
根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；
∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.
故选：B
4．D
【分析】
求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值.
【详解】
，
由得或，故函数在上单调递增；
由得，故函数在上单调递减，
故函数的最大值为．
故．
又，，
故当时，函数取得最小值为-37．
故选：D.
5．B
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其在给定区间的最大值即可.
【详解】
，令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，故，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴在上单调递增，则在上的最大值为.
故选：.
6．B
【分析】
利用导数求出该函数的单调区间，从而求出其最小值．
【详解】
，
由，得或，由，得，
又，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故选：B．
7．C
【分析】
根据题意，当时，通过分离参数得，换元，令，则，则，构造函数并通过导数研究函数的单调性和最值，从而得出；同理当时，得出；当时，可知恒成立；综合三种情况即可求出实数的取值范围.
【详解】
解：由题可知，时，不等式恒成立，
当时，得，
令，则，，
令，，
则，显然在上，，
所以单调递减，，因此；
当时，得，
令，则，，
令，，
则，显然在上，，
所以单调递减，，因此；
由以上两种情况得：.
显然当时，得恒成立，
综上得：实数的取值范围为.
故选：C.
8．C
【分析】
求得的最大值，进而可得结果.
【详解】
由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，，依题意可得，解得.
故选：C.
9．（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为.
【分析】
（1）求导，令，解不等式即可求出结果；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求出函数的最值即可.
【详解】
（1）当时，，．
由，得.故函数的递减区间为．
（2）∵，∴.
∵，，∴当时，，在上为减函数．
因此，有最小值；
当时，在上，在上，∴在上为减函数，在上为增函数．故g(x)有最小值.
综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在上的最小值为.
10．（1）a＝1；（2）.
【分析】
（1）根据＝0，即可求出a的值，然后验证所求a的值满足x＝2是函数y＝f(x)的极值点；
（2）利用最大值求出的取值范围，然后再验证所求的取值范围满足在x＝0处取最大值即可.
【详解】
（1）＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，
所以＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以.
（2）由题意知， ，
因为当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)，所以，即，
故得.
反之，当时，对任意x∈[0，2]，
而g(0)＝0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
综上所述，a的取值范围为.
11．（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）e．
【分析】
（1）求导，令求解；
（2）根据在上的最大值为1，结合（1）分，，讨论求解.
【详解】
（1）由题设知的定义域为，
，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）（i）当时，在上单调递增．
所以得a无解．
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减．
所以得（舍去）．
（ⅲ）当时，在上单调递减．
所以得，符合题意．
综上：a的值为e．
12．（1）递增区间为，；递减区间为；（2）或.
【分析】
求出导函数.
（1）把代入导函数，，分别令和解出增区间和减区间；
（2）对m进行分类讨论：
（i）当时， 在递增，由，解出m；
（ii）当时， 在递减，由，解出m；
（iii）当时，在递减，在递增，分别令和解出m.
【详解】
.
（1）当时，.
令，解得：或，所以递增区间为，；
令，解得：，所以递减区间为.
（2）（i）当时，恒成立，所以在递增，，解得（舍去）；
（ii）当时，恒成立，在递减，，
所以.
（iii）当时，在递减，在递增，
所以在或取得最大值，
若，则，此时成立.
若，则（舍去）
综上：或.
13．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导，分，，分别讨论导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间；
（2）先由可得出，再将问题转化为当时，，令，则，设，由二次函数的性质可得.再记，求导，分析导函数的正负，得出原函数的最值，从而可求得所求的范围.
【详解】
（1），
时，，所以的单调增区间是；
时，令，解得（舍去），所以时，， 时，，
所以的单调减区间是，单调增区间是；
（2）由可得，
只需证明当时，恒成立，等价于，
令，则，设，对称轴，
故有.
记，，
所以在单调递增，且.故有，于是恒成立.
由此.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性和解决不等式恒成立的求参数的范围问题，关键在于构造合适的函数，分析其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性，从而利用函数的最值解决不等式恒成立的问题，属于较难题.
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）当时，求得，进而求得，结合导数的几何意义，即可求解.
（2）由，把不等式成立转化为成立在恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
（1）当时，函数，可得，
由，即切点坐标为，切线的斜率，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）函数，
由，可得，
又由任意，不等式成立得，任意，使得成立，
令，，转化为当时，使得.
则，，令，解得，
列表：
x -1 0 1
- 0 +
极小值
所以是函数在上的极小值，也是最小值；
又由，，且，故，
所以函数在上的最大值为，故，
所以，实数m的取值范围是.
【点睛】
利用函数的导数求解不等式的恒成立与有解问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.
15．（1）①；②减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； （2）.
【分析】
（1）求得函数的导数，①根据题意得到，即可求得的值；
②由①知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；
（2）设，根据存在，使得成立，得到成立，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，且，
①因为在点处的切线斜率为，可得，解得.
②由①得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，
综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）因为，由，即，
即，设
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
16．B
【分析】
利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解.
【详解】
，令，解得或，
当时，；当时，或，
故在和上单调递增，在上单调递减，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，，则，
所以在区间上的最大值为，解得．
故选：B．
17．A
【分析】
令，结合已知条件可知，数在区间上恰有一个最值点可转化为在区间上存在唯一的变号零点，然后利用零点存在的基本定理求解实数a的取值范围，然后通过a的取值范围检验在区间上最值点的唯一性即可.
【详解】
令，
若函数在区间上恰有一个最值点，则函数在区间上恰有一个极值点，
从而在区间上存在唯一一个变号零点，
故，即，解得，
此时在区间上恒成立，则在区间上单调递减，
即在区间上存在唯一一个零点，即在上恰有一个最值点．
从而实数a的取值范围是．
故选：A.
18．A
【分析】
求导，借助单调性研究最大值即可
【详解】
令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
故选：A
19．B
【分析】
求导得到函数单调区间，计算极值对比端点值大小得到答案.
【详解】
由题意得．令，即，解得或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
故函数在处取得极小值，又，，
所以函数的最大值与最小值分别为4和．
故选：B.
20．B
【分析】
对f(x)求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.
【详解】
由题意，＝3x2－3a＝3(x2－a),
当a≤0时，＞0，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.
当a＞0时，＝3(x－)( x＋),不妨只讨论时
当x＞，，f(x)为增函数，当0＜x＜时，, f(x)为减函数，
∴f(x)在x＝处取得最小值，
∴＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.
故选：B.
21．A
【分析】
结合导数求得在区间上的值域.结合二次函数的性质求得在上的值域，结合“任意、存在”列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
，
所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
22．D
【分析】
先利用导数求出函数在区间上的最大值为，再对的符号分类讨论函数在上的单调性，得出可解出实数的取值范围．
【详解】
当时，，则．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即．
当时，函数在上单调递增，由题意可知，，
得，解得，此时，；
当时，且当时，合乎题意；
当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是，
故选：D
23．A
【分析】
对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.
【详解】
，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
在、处取得极值.
，
，
∴函数在处取得最小值，
∵函数在上存在最小值，
∴，解得.
故选：A.
24．A
【分析】
由题设知恒成立，构造并利用导数研究单调性确定最大值，即可求的范围.
【详解】
由题设知：恒成立，令且，则，
∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；
∴，故.
故选：A
25．A
【分析】
由题意画出图形，利用勾股定理可得，得出圆柱的体积公式，换元后求导，利用导数求出体积的最大值时对应的高即可.
【详解】
设圆柱底面圆半径为，高为，如图，
则，
故，
则，
圆柱体积为，
设，则
所以，
故
当时，，当 时，，当 时， ，
所以当时，圆柱体积取得最大值，此时
故选：A
26．C
【分析】
将给定不等式分离参数，构造函数并借助导数探讨其最值即可得解.
【详解】
，，
令，，则，
于是得在上单调递增，，，则，
所以实数的取值范围为.
故选：C
27．B
【分析】
先求出函数的零点即可求得的值，再结合函数的图象及要求的零点个数求出m范围得解.
【详解】
令，，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，
时，，且时，恒成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
时，，在R上的图象如图，
当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0，
函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点，
当，即时，和各一个零点，共两个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，和各有一个零点，共两个零点，
当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有，
所以实数的取值范围是.
故选：B
28．C
【分析】
由题可求导函数，再结合极小值的概念可得.
【详解】
∵，
∴
由得，或，
∵在处取得极小值，
由极小值的定义可知.
故选：C.
29．D
【分析】
结合导数以及极大值求得，由此求得在区间上的最小值.
【详解】
，
所以在区间上递增；在区间上递减.
所以，，
，所以在区间上的最小值为.
故选：D
30．A
【分析】
运用分离变量法转化不等式恒成立问题，再运用导数求函数的最值进而求解参数的值.
【详解】
解：因为，对定义域内任意x都有，
则对恒成立，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，故．选项A正确，选项BCD错误.
故选:A.
31．D
【分析】
利用导数研究的单调性,计算出，的最大值，结合密位制可得结果.
【详解】
，
，，令，，
当，，为减函数，当，，为增函数，则
由题意可得，解得，
因此，其最大值用密位制表示为.
故选：D.
32．C
【分析】
由，得，令，
问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.
利用导数研究的单调性与极值，作出的图象，数形结合可得结果.
【详解】
令，显然，所以，
令（），则问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.
，令，解得，
当或时，，在，单调递增，
当时，，在单调递减，
在处取极小值，作出的简图，
由图可知，要使直线与曲线有三个交点，则，
故实数的取值范围是.
故选：C.
33．BD
【分析】
由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A错误；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确.
【详解】
函数的定义域为，可知C错误，
对A，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A错误；
对B，，其定义域为，
，
所以函数在上单调递减，又时其函数值为，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对D，，其定义域为，
，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，故D正确.
故选：BD
34．BD
【分析】
求出函数的导数，讨论其符号可得函数的单调性和最值，据此可刻画出函数的图象，从而可得正确的选项.
【详解】
由题意，得，
∴当或时，，当时，，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
∴有极大值，为，有极小值，为．
又当时，恒成立，∴也是最小值．
作出直线和的图象，如图所示，
当或时，有一个实根，当时，有三个实根．
故选：BD．
35．AD
【分析】
对于A：由的图象可知，当时，，再由导函数的符号可判断；
对于B：由图象得当时，，当时，，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断；
对于C：由时，函数的最大值是2可判断；
对于D：作出函数的大致图象可判断．
【详解】
解：对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确；
对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误；
对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确．
故选：AD．
36．BCD
【分析】
利用导数研究在上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造，应用导数研究单调性即知C的正误；构造，应用导数并结合分类讨论的方法研究上、恒成立时m的取值范围，即可判断正误.
【详解】
，
∴上，即上递减，则，
∴A错误，B正确；
令，则在上，即递减，
∴时，有，C正确；
，则等价于，等价于，
令，则，，
∴当时，，则递增，故；
当时，，则递减，故；
当时，存在使，
∴此时，上，则递增，；上，则递减，
∴要使在上恒成立，则，得.
综上，时，上恒成立，时上恒成立，
∴若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1，正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：选项D，由题设不等式构造，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.
37．ABD
【分析】
先求导数，根据各选项的条件，判断的符号，进而确定的单调性，即知A、B的正误；应用数形结合，根据指对数函数的性质判断C的正误；结合B选项讨论极值点的符号，即知是否可能存在零点．
【详解】
由对数函数知：定义域为，又，
A：由，则，即是增函数．正确，
B：由，则存在x0有，当时，即递减；当时，即递增，故函数有极小值，也是最小值，正确．
C：时，画出函数，的图象如下，
显然，在x∈D上，当x无限接近于0时存在，错误；
D：在上，由B知：趋向0或正无穷大时，故当时有两个零点，正确．
故选：ABD．
38．BCD
【分析】
利用奇偶函数的定义判断A；
利用奇偶函数的性质判断B；
利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值、最小值即可判断C、D.
【详解】
解：，不满足，所以A不正确；令，则，所以为奇函数，则的图象关于点对称，所以B正确；
设的最大值为M，则的最大值为，设的最小值为N，则的最小值为，当时，，所以，
当时，，当时，，所以当在上单调递增，在上单调递减，所以在处处取得最大值，最大值为，
由于在为奇函数，所以在处取得最小值，最小值为，
所以的最大值为，最小值为，所以C、D正确；
故选：BCD.
39．
【分析】
利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.
【详解】
由题意，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时取得最小值，此时．
当时，，
当时，，所以的最小值是．
40．20
【分析】
设靠墙的边长为，即可得到矩形的面积，再求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值点，即可得解；
【详解】
解：设靠墙的边长为，，则矩形的面积为，则
令，得，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以当时取得最大值，所以靠墙的一边长为20m时，面积最大．
故答案为：20
41．（，）
【分析】
由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可.
【详解】
关于的不等式在上恒成立，则，
设，∴
∵，
∴在上单调递增，
∴即，
设，
∴，令，得，
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
∴，
∴.
故答案为：（，）.
42．
【分析】
把不等式恒成立，转化为函数的导数小于1在内恒成立，进而转化为在内恒成立，结合函数的性质，即可求解．
【详解】
解：由题意，分式的几何意义为：
表示点，与，连线的斜率，
因为实数，在区间内，
故和在区间内，
不等式恒成立，
所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率小于1，
故函数的导数小于1在内恒成立，
由函数满足，即定义域为，
即在内恒成立，
即在内恒成立，
令在上是单调递增函数，
可得（2），
所以.
故答案为：．
43．
【分析】
根据题意，通过分离参数法得出在上恒成立，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出，进而求得的取值范围.
【详解】
解：由题可知，，即，
得在上恒成立，
设，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
∴，
∴，
即的取值范围是.
故答案为：.
44．②③
【分析】
利用正弦函数的性质可判断①，利用导数研究函数性质，可判断②③④．
【详解】
①当时，，，故①为假命题；
②，当时，恒成立，故在区间上单调递增，故②为真命题；
③∵，，且在区间上连续，
故存在，使时，，时，，
∴当时，取得极大值，故③为真命题；
④由函数不存在最大值和最小值，故不存在，使得对任意，都有，故④为假命题.
故答案为：②③
45．
（1）单调递增区间（ ∞， 1）和（4，＋∞），单调递减区间（ 1，4）
（2）
【分析】
（1）求出，令，由导数的正负即可得到函数f（x）的单调递增区间和递减区间；
（2）求出函数在区间中的单调性，求出极大值和极小值以及区间端点的函数值，比较大小即可得到答案．
（1）
由函数得 ，
令，解得x＜ 1或x＞4，；
令，解得 1＜x＜4，
故函数f（x）的单调递增区间为（ ∞， 1）和（4，＋∞），单调递减区间为（ 1，4）；
（2）
由（1）可知，当x∈[ 3， 1）时，，f（x）单调递增，
当x∈（ 1，4）时，，f（x）单调递减，
当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，
所以当x＝ 1时，函数f（x）取得极大值f（ 1）＝，
当x＝4时，函数f（ x）取得极小值f（4）＝，
又，
所以当x∈[ 3，6]时，函数f（x）的值域为
46．
（1）
（2）8
【分析】
（1）求出和的导函数，利用可得答案；
（2）将原不等式转化为在上恒成立，令，求出其导函数，再对其导函数再次求导，最终可得的单调性，求出最值，进而得出的范围即可.
（1）
由已知，，
则，
；
（2）
由（1）得
假设存在，使在上恒成立，
即在上恒成立
令，
，令
在上单调递增，
，
使，即
在上单调递减，在上单调递增
，又，
，，又，
的个数为8个.
47．
（1）
（2），证明见解析
【分析】
（1）由题在上恒成立，利用导数求函数最值即得；
（2）由题有两个相异的实根，设，利用导数可得，即求实数a的取值范围，然后结合，构造函数 ，利用函数单调性即可求证．
（1）
由，得在上恒成立，
设，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
∴，即，
∴实数a的最小值为．
（2）
由，得，
令，则，
设，则，
∴函数在上单调递减，又，
∴在上，故单调递增，在上，故单调递减，
∴，
由方程恰有两个相异的实根，，得，
∴，即实数a的取值范围为．
下面证明，
不妨设，则，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，故只需证.
由，
得
，
令，则恒成立，
因此在上单调递增，函数，
即，故，即证．
【点睛】
导数求参问题常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
48．
（1）
（2）4
【分析】
（1）当时，，求导，利用导数的几何意义，可求得切斜斜率k，代入点斜式方程，即可得答案.
（2）由题意可得在上恒成立，令，利用导数，求得的单调性和最值，综合分析，即可得答案.
（1）
当时，，则，
切线的斜率为，又，
所求切线的方程为，
即为.
（2）
当时，，整理可得，
令，则
令，则，
由，解得，
当时，，函数单调递减，
，
在区间上存在一个零点，
此时，即，
当时，，则，函数单调递增，
当时，，即，函数单调递减，
有极大值，即最大值为，
则恒成立，
，
正整数的最小值是.
49．
（1）答案见解析
（2）存在，a的取值集合为
【分析】
(1)对求导得，然后结合的定义域，通过判别式讨论的零点分布，进而得到的单调区间；(2)通过构造新函数，将不等式恒成立问题转化为最值和极值问题，进而求出的值，然后利用导函数检验的值满足题意即可求解.
（1）
()，
令，其中，
①当时，即时，在上恒成立，故在上单调递增．
②当时，即或时，
的两根分别为，，，
由韦达定理可知，，，
(i)当时，可知在上恒成立，故在上单调递增．
(ii)当时，由得或；由得．
故在，上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）
设，则，
依题意，函数恒成立，又由，进而条件转化为不等式对恒成立，
所以是函数的最大值，也是函数的极大值，
故，解得，
下面证明当时，满足题意，
()，
令可得；令可得，
故在上递增，在上递减．
因此，即不等式恒成立．
综上所述，存在且a的取值集合为．
50．
（1）时，①是增函数；②恒成立；③恒成立
（2）函数模型符合公司的要求
【分析】
（1）根据题意，奖励方案描述的是函数的单调性和最值，从而运用数学语言描述出即可；
（2）分别对两个函数模型研究它们的单调性和最值，判断是否符合（1）中的要求即可．
（1）
解：由题意，公司对奖励方案的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立．
（2）
解：对于函数模型：
当时，是增函数，且，即恒成立，
若使函数在上恒成立，则在上恒成立．
又时，，所以在上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
对于函数模型：
当时，是增函数，且，所以在上恒成立．
令，则，
∵当时，，
∴在上是减函数，
∴，即，
∴，
∴恒成立.
故该函数模型符合公司的要求．
综上，函数模型符合公司的要求.
51．（1）1；（2）证明见解析．
【分析】
(1)求出函数，再利用导数探讨的单调性即可求得在上的最小值；
(2)求出的导数，结合可得，构造函数，探讨在的最值即可得解.
【详解】
(1)依题意，当时，，令，则，
因为当时，，即，因此，即在上单调递增，
所以在上的最小值为．
(2)由题意知，，则，
令，，则，
因为，于是得，有，因此在上单调递增，
从而当时，，即有，于是得在上单调递增，即，
所以当时，在上.
【点睛】
思路点睛：利用导数探讨某些含参函数的单调性，求出导数后可以借助放缩的思想转化为探讨另一个函数值正负解决.
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