人教A版2019选择性必修第二册5.2 导数的运算 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册5.2 导数的运算 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 15:46:10 | ||
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文档简介
第五章：一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
【题型归纳】
题型一：利用导数公式求函数的导数
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
2．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y=log5x；（4）；（5）；（6）y=lnx；（7）y=ex.
题型二：导数的运算法则
3．（2022·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
4．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y＝x4－3x2－5x＋6；（2）y＝x·tan x；（3）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；（4）y＝.
题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用
5．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
6．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）（2）（3）；
（4）（5）（6）．
题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）
7．（2022·广西河池·高二月考（理））已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数过点处的切线方程.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.
（1）求出直线l与m的方程；
（2）指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.
【双基达标】
一、单选题
9．（2022·广西河池·高二月考（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的导函数为，且满足f（x）=3x+lnx，则=（ ）
A．2e B． C． D．﹣2e
12．（2022·山东烟台·高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·江苏·高二课时练习）若函数对于任意x有，，则此函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高二课时练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高二课时练习）若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．6
17．（2022·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2
C．3 D．4
18．（2022·全国·高二单元测试）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高二单元测试）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高二单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2022·全国·高二专题练习）f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝（ ）
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
【高分突破】
一：单选题
23．（2022·全国·高二课时练习）已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
25．（2022·重庆巴蜀中学高二开学考试）设，已知的图像上有且只有三个点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B． C． D．
26．（2022·陕西·榆林十二中高二月考（理））已知函数f(x)的导函数，且满足关系式则的值等于（ ）
A．2 B．—2 C． D．
27．（2022·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
28．（2022·安徽·定远县育才学校高二月考（理））给出下列结论：
①；②；
③若，则；④．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
29．（2022·全国·高二专题练习）如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．4
30．（2022·吉林·延边二中高二期末（理））用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，，（ ）
A． B． C．4 D．2
二、多选题
31．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·江苏·高二课时练习）以下函数求导正确的是( )
A．若，则
B．若则
C．若，则
D．设的导函数为，且，则
33．（2022·江苏·高二课时练习）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·江苏金湖·高二期中）定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
35．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若，则________.
36．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为__________.
37．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．
38．（2022·广东·洛城中学高二月考）设，，，……，，，则__________.
四、解答题
39．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
40．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y＝(2x＋1)5；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）y＝x·；
（5）y＝lg(2x2＋3x＋1)；
（6）y＝.
41．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
42．（2022·江苏·高二课时练习）在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
43．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
【答案详解】
1．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；
（1）
解：因为，所以；
（2）
解：因为，所以；
（3）
解：因为，所以；
（4）
解：因为，所以；
（5）
解：因为，所以；
（6）
解：因为，所以；
2．答案见解析
【分析】
根据基本初等函数的求导公式一一求解即可.
【详解】
（1）y′=-3x-4.
（2）y′=3xln3.
（3）y′=.
（4）y=sinx，y′=cosx.
（5）y′=0.
（6）y′=.
（7）y′=ex.
3．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
（1）
解：因为，所以；
（2）
解：因为，所以；
（3）
解：因为，所以；
（4）
解：因为，所以；
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
4．（1）4x3－6x－5；（2）；（3）3x2＋12x＋11；（4）.
【分析】
利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，求各函数的导数即可.
【详解】
（1）y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
（2）
＝＝；
（3）法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
法二：由(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
（4）法一：y′＝＝.
法二：，
∴y′＝＝.
5．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；
（1）
解：因为，所以
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
6．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．
（1）
解：，；
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
7．
（1）
（2）或
【分析】
（1）求导，求出切线斜率即可
（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程
（1）
由已知，
则，
故切线方程为，即
（2）
设切点为，
则
切线方程为，
代入点可得，解得或
又，
故切线方程为或
即切线方程为或
8．
（1）直线：，直线：；
（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，根据直线平行则斜率相等，即可求出直线的方程；
（2）显然（1）中的切点到直线的距离最短，再利用点到直线的距离公式计算可得；
（1）
解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；
（2）
解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离
9．B
【分析】
求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.
【详解】
，则，，.
，.
故选：B
10．B
【分析】
求导，计算，即得解
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
故选：B
11．B
【分析】
先求，然后把x换成e，可求得.
【详解】
解：∵=3，∴=3，解得：.
故选：B.
12．B
【分析】
先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.
【详解】
，当时，，所以，由万能公式得：
所以
故选：B
13．B
【分析】
可设，结合求出的值，即可得解.
【详解】
因为，可设，则，解得，
因此，.
故选：B.
14．C
【分析】
利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】
因为，则，
所以，，所以，，故，
因此，.
故选：C.
15．D
【分析】
利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.
【详解】
因为，
所以.
故选：D.
16．D
【分析】
求出函数导数，可得出，即可求出答案.
【详解】
∵，∴，∴，
∴，∴.
故选：D.
17．A
【分析】
根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．
【详解】
解：①，故错误；②，故正确；
③，故错误；④，故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选：A.
18．A
【分析】
求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.
【详解】
依题意，，
由导函数为偶函数，得，
故，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
19．D
【分析】
求导可得，则，结合，即得解
【详解】
，.
设，则曲线在点P处的切线的斜率为，
.
，
故选：D
20．C
【分析】
根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.
【详解】
，，为等比数列，
，
，
则.
故选:C.
21．C
【分析】
求导，由导函数的奇偶性可判断
【详解】
∵，∴，
∴，∴为奇函数，
故选：C.
22．C
【分析】
对函数求导，可以发现循环周期为4，从而得到.
【详解】
因为，
，，
，
所以循环周期为4，因此.
故选：C.
23．D
【分析】
先对函数求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.
【详解】
由求导得：，
而函数的图像在点处的切线方程为，，
因点在直线上，即，于是得，
因此有：，解得，
所以.
故选：D
24．A
【分析】
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
25．B
【分析】
根据题设条件确定直线与的图像相交，求出平行于直线且与的图像相切的切线即可.
【详解】
依题意，直线与的图像相交，
设平行于直线的直线与的图像相切的切点为，
由求导得，，则有，解得，即，切线方程为，
由，解得或，
当时，直线在切线的左侧，与的图像无公共点，当时，直线与的图像相交，
所以.
故选：B
26．D
【分析】
对函数求导，再令即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，
令，则，
即，解得，
故选：D
27．C
【分析】
设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.
【详解】
设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴ 方程有两个不同的解，
∴ 曲线过点的切线有两条，
故选：C.
28．B
【分析】
根据导数运算法则计算可判断.
【详解】
①，故①错误；②，故②错误；
③若，则，故③错误；④，故④正确．
所以正确的个数是1个.
故选：B.
29．A
【分析】
从图中得切线上的点代入直线方程得到斜率k，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率可得，最后结合导数的概念求出 的值．
【详解】
将点代入直线的方程得，得，所以，由于点在函数的图象上，
则，对函数求导得，∴，
故选A．
30．B
【分析】
求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，再得出即可．
【详解】
（1），，所以，
，，所以，
故；
故选：B
【点睛】
本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率．
31．AD
【分析】
利用导数的几何意义及求导的基本运算即可求解.
【详解】
解：对A，由题知，点在上，所以，故A正确；
对B，函数的图象在点处的切线方程是，所以，故B错误；
对C，，虽然满足，，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为，也满足，，故C错误；
对D，由题得，所以，故D正确.
故选：AD.
32．ACD
【分析】
利用求导法则逐项检验即可求解.
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以，故D正确．
故选：ACD.
33．AB
【分析】
设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.
【详解】
设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，
于是得切线方程为，即，则，解得或，
因此得切线方程为或，
所以所求切线的方程是或.
故选：AB
34．ABD
【分析】
考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.
【详解】
对于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.
对于B，，，，又，对于 ，使得，则恒成立，所以B符合.
对于C，，，，又，对于 ，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.
对于D，，，，又，对于 ，使得，则，，所以D符合.
故选：ABD.
35．##
【分析】
对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.
【详解】
函数的导数公式可知，，
由得，即，解得.
故答案为：
36．1
【分析】
求f(x)的导函数，由题设f′(1)= 0可得关于k的方程，求k值即可.
【详解】
由题设，，x∈(0,＋∞).
又y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝=0，可得k＝1.
故答案为：1
37．
【分析】
根据和是的两个零点和关于直线对称，可确定和是的两个实根，利用韦达定理可求得，得到和，由此可求得结果.
【详解】
由题意知：和是的两个零点，
的图象关于直线对称，和也是的零点，
和是的两个实根，，
，，
，，．
故答案为：.
38．
【分析】
根据正余弦函数的导数求法，求的导数，并确定变化周期，即可求的解析式.
【详解】
由题设，，，，，，…，
∴的变化周期为4，而.
故答案为：
39．
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；
方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；
（2）利用导数的运算法则可求得结果；
（3）利用导数的运算法则可求得结果；
（4）利用导数的运算法则可求得结果.
（1）
解：方法一：，
所以，.
方法二：由导数的乘法法则得
.
（2）
解：根据题意把函数的解析式整理变形可得，
所以，.
（3）
解：根据求导法则可得
.
（4）
解：根据题意，利用求导的除法法则可得
.
40．（1）10(2x＋1)4；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【分析】
利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，结合换元法对各函数进行求导即可.
【详解】
（1）设u＝2x＋1，则y＝u5，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x＋1)4；
（2）设u＝1－3x，则y＝u－4，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝；
（3）设u＝1－3x，则y＝，
∴y′x＝y′u·u′x＝··(1－3x)′＝··(－3)＝；
（4）y′＝x′·＋x·()′.
设t＝，u＝2x－1，则t＝，
t′x＝t′u·u′x＝··(2x－1)′＝××2＝.
∴y′＝＋＝.
（5）设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u，
∴y′x＝y′u·u′x＝×(2x2＋3x＋1)′＝；
（6）设u＝，v＝2x＋，则y＝u2，u＝，
∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·′＝2·cos·2＝4cos＝.
41．（1）；（2），.
【分析】
(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】
（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
42．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；
(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.
【详解】
选①，
（1）依题意，设，则，
由已知得，解得，，，，
所以函数的解析式是；
（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
选②，
（1）依题意，设，则，
于是得：，化简得，
因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，
所以函数的解析式为；
（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
43．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用列方程组，由此求得，从而求得的解析式.
（2）先求得，结合二次函数的性质求得直线的斜率的取值范围.
【详解】
（1），
依题意可知，
所以，解得 .
所以
（2）
，
由于， ，
所以，
所以切线的斜率的取值范围是.
试卷第1页，共3页
5.2 导数的运算
【题型归纳】
题型一：利用导数公式求函数的导数
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
2．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y=log5x；（4）；（5）；（6）y=lnx；（7）y=ex.
题型二：导数的运算法则
3．（2022·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
4．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y＝x4－3x2－5x＋6；（2）y＝x·tan x；（3）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；（4）y＝.
题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用
5．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
6．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）（2）（3）；
（4）（5）（6）．
题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）
7．（2022·广西河池·高二月考（理））已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数过点处的切线方程.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.
（1）求出直线l与m的方程；
（2）指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.
【双基达标】
一、单选题
9．（2022·广西河池·高二月考（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的导函数为，且满足f（x）=3x+lnx，则=（ ）
A．2e B． C． D．﹣2e
12．（2022·山东烟台·高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·江苏·高二课时练习）若函数对于任意x有，，则此函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高二课时练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高二课时练习）若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．6
17．（2022·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2
C．3 D．4
18．（2022·全国·高二单元测试）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高二单元测试）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高二单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2022·全国·高二专题练习）f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝（ ）
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
【高分突破】
一：单选题
23．（2022·全国·高二课时练习）已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
25．（2022·重庆巴蜀中学高二开学考试）设，已知的图像上有且只有三个点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B． C． D．
26．（2022·陕西·榆林十二中高二月考（理））已知函数f(x)的导函数，且满足关系式则的值等于（ ）
A．2 B．—2 C． D．
27．（2022·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
28．（2022·安徽·定远县育才学校高二月考（理））给出下列结论：
①；②；
③若，则；④．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
29．（2022·全国·高二专题练习）如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．4
30．（2022·吉林·延边二中高二期末（理））用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，，（ ）
A． B． C．4 D．2
二、多选题
31．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·江苏·高二课时练习）以下函数求导正确的是( )
A．若，则
B．若则
C．若，则
D．设的导函数为，且，则
33．（2022·江苏·高二课时练习）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·江苏金湖·高二期中）定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
35．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若，则________.
36．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为__________.
37．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．
38．（2022·广东·洛城中学高二月考）设，，，……，，，则__________.
四、解答题
39．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
40．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y＝(2x＋1)5；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）y＝x·；
（5）y＝lg(2x2＋3x＋1)；
（6）y＝.
41．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
42．（2022·江苏·高二课时练习）在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
43．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
【答案详解】
1．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；
（1）
解：因为，所以；
（2）
解：因为，所以；
（3）
解：因为，所以；
（4）
解：因为，所以；
（5）
解：因为，所以；
（6）
解：因为，所以；
2．答案见解析
【分析】
根据基本初等函数的求导公式一一求解即可.
【详解】
（1）y′=-3x-4.
（2）y′=3xln3.
（3）y′=.
（4）y=sinx，y′=cosx.
（5）y′=0.
（6）y′=.
（7）y′=ex.
3．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
（1）
解：因为，所以；
（2）
解：因为，所以；
（3）
解：因为，所以；
（4）
解：因为，所以；
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
4．（1）4x3－6x－5；（2）；（3）3x2＋12x＋11；（4）.
【分析】
利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，求各函数的导数即可.
【详解】
（1）y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
（2）
＝＝；
（3）法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
法二：由(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
（4）法一：y′＝＝.
法二：，
∴y′＝＝.
5．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；
（1）
解：因为，所以
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
6．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．
（1）
解：，；
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
7．
（1）
（2）或
【分析】
（1）求导，求出切线斜率即可
（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程
（1）
由已知，
则，
故切线方程为，即
（2）
设切点为，
则
切线方程为，
代入点可得，解得或
又，
故切线方程为或
即切线方程为或
8．
（1）直线：，直线：；
（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，根据直线平行则斜率相等，即可求出直线的方程；
（2）显然（1）中的切点到直线的距离最短，再利用点到直线的距离公式计算可得；
（1）
解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；
（2）
解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离
9．B
【分析】
求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.
【详解】
，则，，.
，.
故选：B
10．B
【分析】
求导，计算，即得解
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
故选：B
11．B
【分析】
先求，然后把x换成e，可求得.
【详解】
解：∵=3，∴=3，解得：.
故选：B.
12．B
【分析】
先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.
【详解】
，当时，，所以，由万能公式得：
所以
故选：B
13．B
【分析】
可设，结合求出的值，即可得解.
【详解】
因为，可设，则，解得，
因此，.
故选：B.
14．C
【分析】
利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】
因为，则，
所以，，所以，，故，
因此，.
故选：C.
15．D
【分析】
利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.
【详解】
因为，
所以.
故选：D.
16．D
【分析】
求出函数导数，可得出，即可求出答案.
【详解】
∵，∴，∴，
∴，∴.
故选：D.
17．A
【分析】
根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．
【详解】
解：①，故错误；②，故正确；
③，故错误；④，故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选：A.
18．A
【分析】
求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.
【详解】
依题意，，
由导函数为偶函数，得，
故，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
19．D
【分析】
求导可得，则，结合，即得解
【详解】
，.
设，则曲线在点P处的切线的斜率为，
.
，
故选：D
20．C
【分析】
根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.
【详解】
，，为等比数列，
，
，
则.
故选:C.
21．C
【分析】
求导，由导函数的奇偶性可判断
【详解】
∵，∴，
∴，∴为奇函数，
故选：C.
22．C
【分析】
对函数求导，可以发现循环周期为4，从而得到.
【详解】
因为，
，，
，
所以循环周期为4，因此.
故选：C.
23．D
【分析】
先对函数求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.
【详解】
由求导得：，
而函数的图像在点处的切线方程为，，
因点在直线上，即，于是得，
因此有：，解得，
所以.
故选：D
24．A
【分析】
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
25．B
【分析】
根据题设条件确定直线与的图像相交，求出平行于直线且与的图像相切的切线即可.
【详解】
依题意，直线与的图像相交，
设平行于直线的直线与的图像相切的切点为，
由求导得，，则有，解得，即，切线方程为，
由，解得或，
当时，直线在切线的左侧，与的图像无公共点，当时，直线与的图像相交，
所以.
故选：B
26．D
【分析】
对函数求导，再令即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，
令，则，
即，解得，
故选：D
27．C
【分析】
设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.
【详解】
设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴ 方程有两个不同的解，
∴ 曲线过点的切线有两条，
故选：C.
28．B
【分析】
根据导数运算法则计算可判断.
【详解】
①，故①错误；②，故②错误；
③若，则，故③错误；④，故④正确．
所以正确的个数是1个.
故选：B.
29．A
【分析】
从图中得切线上的点代入直线方程得到斜率k，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率可得，最后结合导数的概念求出 的值．
【详解】
将点代入直线的方程得，得，所以，由于点在函数的图象上，
则，对函数求导得，∴，
故选A．
30．B
【分析】
求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，再得出即可．
【详解】
（1），，所以，
，，所以，
故；
故选：B
【点睛】
本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率．
31．AD
【分析】
利用导数的几何意义及求导的基本运算即可求解.
【详解】
解：对A，由题知，点在上，所以，故A正确；
对B，函数的图象在点处的切线方程是，所以，故B错误；
对C，，虽然满足，，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为，也满足，，故C错误；
对D，由题得，所以，故D正确.
故选：AD.
32．ACD
【分析】
利用求导法则逐项检验即可求解.
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以，故D正确．
故选：ACD.
33．AB
【分析】
设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.
【详解】
设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，
于是得切线方程为，即，则，解得或，
因此得切线方程为或，
所以所求切线的方程是或.
故选：AB
34．ABD
【分析】
考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.
【详解】
对于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.
对于B，，，，又，对于 ，使得，则恒成立，所以B符合.
对于C，，，，又，对于 ，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.
对于D，，，，又，对于 ，使得，则，，所以D符合.
故选：ABD.
35．##
【分析】
对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.
【详解】
函数的导数公式可知，，
由得，即，解得.
故答案为：
36．1
【分析】
求f(x)的导函数，由题设f′(1)= 0可得关于k的方程，求k值即可.
【详解】
由题设，，x∈(0,＋∞).
又y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝=0，可得k＝1.
故答案为：1
37．
【分析】
根据和是的两个零点和关于直线对称，可确定和是的两个实根，利用韦达定理可求得，得到和，由此可求得结果.
【详解】
由题意知：和是的两个零点，
的图象关于直线对称，和也是的零点，
和是的两个实根，，
，，
，，．
故答案为：.
38．
【分析】
根据正余弦函数的导数求法，求的导数，并确定变化周期，即可求的解析式.
【详解】
由题设，，，，，，…，
∴的变化周期为4，而.
故答案为：
39．
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；
方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；
（2）利用导数的运算法则可求得结果；
（3）利用导数的运算法则可求得结果；
（4）利用导数的运算法则可求得结果.
（1）
解：方法一：，
所以，.
方法二：由导数的乘法法则得
.
（2）
解：根据题意把函数的解析式整理变形可得，
所以，.
（3）
解：根据求导法则可得
.
（4）
解：根据题意，利用求导的除法法则可得
.
40．（1）10(2x＋1)4；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【分析】
利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，结合换元法对各函数进行求导即可.
【详解】
（1）设u＝2x＋1，则y＝u5，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x＋1)4；
（2）设u＝1－3x，则y＝u－4，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝；
（3）设u＝1－3x，则y＝，
∴y′x＝y′u·u′x＝··(1－3x)′＝··(－3)＝；
（4）y′＝x′·＋x·()′.
设t＝，u＝2x－1，则t＝，
t′x＝t′u·u′x＝··(2x－1)′＝××2＝.
∴y′＝＋＝.
（5）设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u，
∴y′x＝y′u·u′x＝×(2x2＋3x＋1)′＝；
（6）设u＝，v＝2x＋，则y＝u2，u＝，
∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·′＝2·cos·2＝4cos＝.
41．（1）；（2），.
【分析】
(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】
（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
42．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；
(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.
【详解】
选①，
（1）依题意，设，则，
由已知得，解得，，，，
所以函数的解析式是；
（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
选②，
（1）依题意，设，则，
于是得：，化简得，
因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，
所以函数的解析式为；
（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
43．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用列方程组，由此求得，从而求得的解析式.
（2）先求得，结合二次函数的性质求得直线的斜率的取值范围.
【详解】
（1），
依题意可知，
所以，解得 .
所以
（2）
，
由于， ，
所以，
所以切线的斜率的取值范围是.
试卷第1页，共3页