人教A版2019选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用 同步单元必刷卷（培优版）（Word版含解析）

第五章：一元函数的导数及其应用同步单元必刷卷（培优版）
(时间：120分钟　满分：150分)
单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·全国·高二课时练习）函数在上可导,且,则
A．0 B．1 C．-1 D．不确定
2．（2022·全国·高二课时练习）设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为(　　)
A．9x－y－16＝0 B．9x＋y－16＝0
C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0
3．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））函数的部分图像大致为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·全国·高二课时练习）已知且，则函数（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高二）已知函数，，若成立，则的最小值为
A． B． C． D．
7．（2020·湖南·双峰县第一中学高二开学考试）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·浙江·宁波市北仑中学高二期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题(大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2022·全国·高二课时练习）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间单调递增
B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
12．（2022·全国·高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为
B．函数有且只有个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数、，且，若，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2022·全国·高二单元测试）若函数的单调递增区间是，，则实数的取值范围是______.
14．（2020·全国·高二课时练习）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__________．
15．（2019·全国全国·高二课时练习）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是__________．
16．（2022·全国·高二课时练习）在单调递增，则的范围是__________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·全国·高二单元测试）设函数，，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）求函数在上的最小值.
18．（2019·吉林·扶余市第一中学高二期中（文））已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；
（2）若，对恒成立，求的取值范围．
19．（2022·全国·高二单元测试）设函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的最小值为，证明：.
20．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（理））已知函数.
（1）当时，求函数的极值点；
（2）记，若对任意都有成立，求实数的取值范围.
21．（2020·全国·高二课时练习）
已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
22．（2022·宁夏大学附属中学高二月考（理））设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
第五章：一元函数的导数及其应用同步单元必刷卷（培优版）全解全析
1．C
【分析】
求出代入求出，进而求出，即可求解.
【详解】
，得，
，
.
故选:C
【点睛】
本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.
2．A
【详解】
由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0，故选A.
点睛：若多项式函数为偶函数，则只含x的偶次项与常数项，不含奇次项；若多项式函数为奇函数，则只含x的奇次项，不含偶次项与非零常数项．
3．A
【分析】
根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.
【详解】
容易得定义域为关于原点对称，
又，
故函数是偶函数，
的图象关于轴对称，
故排除B，
又，
故排除D.
当时，，令 ，解得；
故当时，单调递减，在单调递增.
此时
故排除C.
故选：.
【点睛】
本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.
4．C
【分析】
先求导数，再求导函数零点，根据零点分析导数符号，进而确定极值.
【详解】
,又在上单调递增，，所以在上有且仅有一个零点，设为，因为则，所以导函数有两个不同零点，因此函数既有极大值，又有极小值，选C.
【点睛】
导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.
5．B
【分析】
至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，构造函数，求导判断出单调性，代入最值可得实数的范围．
【详解】
由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，
设，，∵，∴，
∴在上恒为增函数，∴，∴，
故选：B.
6．A
【分析】
根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【详解】
设，则，，
令，所以，
又在增函数，且，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增．
所以，即的最小值为．
故选A.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．
7．D
【分析】
作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数的图像，和函数的图像.
由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
8．D
【分析】
设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】
本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
9．ABD
【分析】
根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.
【详解】
根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.
所以A,B,D选项正确，C选项错误.
故选：ABD
【点睛】
本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题
10．AC
【分析】
根据题意得出，令，然后根据在上不单调得出函数与轴在上有交点，最后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】
，
若在上不单调，
令，
则函数与轴在上有交点，
当时，显然不成立；
当时，则，解得或，
结合选项易知在上不单调的一个充分不必要条件是
，，
故选：AC.
11．BD
【分析】
首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.
【详解】
由，可知，则，
即，设.
由得，
由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值.
故选：BD.
12．ABD
【分析】
利用导数求函数的极值可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断B选项的正误；分析函数的单调性，可判断C选项的正误；构造函数，利用函数和的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，函数的定义域是，且，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，，故A正确；
对于B，令，则，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故，故函数在上单调递减，
又，，
故函数有且只有个零点，故B正确；
对于C，设，
若时，，
记，由二次函数的基本性质可知，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，
因此，不存在实数，使得恒成立，C选项错误；
对于D：设，，结合A选项可知，，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
，，则，所以，，
即，
因为函数在上单调递增，所以，，因此，，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
13．
【分析】
求导，为二次函数，结合单调递增区间是，，即得解
【详解】
，令，得，
由函数的单调递增区间是，，
得导函数的图象是开口向上的抛物线，所以.
故答案为：
14．
【分析】
由函数的解析式，得出，令，
利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】
因为，所以不妨设．
当时，，当时，，
根据，可知，所以，
所以，故，
所以．
记，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
又当时，，所以的值域是．
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到、的关系．进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围．
15．
【分析】
将题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.
【详解】
，
则可知在单调递增，在单调递减.故.
在单调递减，在单调递增.故.
，使得成立，则，所以.
【点睛】
本题解题的关键是将存在性问题转化为最值问题求解. 常见的存在性问题有：（1）有解，则.（2）有解，则.
16．
【分析】
由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.
【详解】
，则，
因为函数在上单调增，可得在上恒成立，
即，令，则，，
所以，因为在上是增函数，
所以其最大值为，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.
17．（1），；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用且，然后求解出的值，则可得到与的解析式；
（2）求导，讨论在上的单调性，然后确定取得最小值的点及最小值.
【详解】
解：（1）函数，，
可得，，
由题意，两函数在处有相同的切线.
∴，，
∴，
又，
∴，，
∴，.
（2），由得，由得，
∴在单调递增，在单调递减，
∵，∴，
①当时，在单调递减，单调递增，
∴的最小值为；
②当时，在单调递增，
∴的最小值为.
∴综上可得，当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数分析函数的单调性及最值，难度一般.导数与最值问题解答时要注意分类讨论，分析清楚原函数的单调性是关键.
18．（1）；（2）
【分析】
（1）对求导，，解方程组求出，即可．（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可．
【详解】
（1），，
由，得，
（2）因为，，
等价于，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
试题分析：（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知，， ，，所以单调递减，又，，所以存在，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，再证明出．
试题解析（1）的定义域为，
，
当时，，在上单调递增；
当时，当，，单调递减；
当，，单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知， ，
即.
解法一： ，，
∴单调递减，
又，，所以存在，使得，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴ ，又，即，，
∴ ，令，则在上单调递增，
又，所以，∴.
解法二：要证，即证，即证：，
令，则只需证，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 ，
所以，即.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，解答时要认真审题，仔细作答，注意导数的应用．
20．（1）的极小值点为；无极大值点；（2）.
【分析】
（1）求出，再求出的零点，结合导数的符号可得函数的极值点；
（2）令，求出，就和讨论的最值的符号后可得实数的取值范围.
【详解】
（1），定义域为
∴，
令，得，列表讨论如下：
0
递减 极小值 递增
∴的极小值点为；无极大值点.
（2）由题得，对任意，恒有，
令，
则，其中，
∵
，
∵，∴.
当时，恒有，
所以（不恒为零），函数单调递增，，成立；
当时，令，则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为函数的最小值，
又，所以不成立.
综上所述，.
【点睛】
本题考查函数的极值、不等式的恒成立，前者利用导数的符号，后者可转化为函数的最值，本题属于中档题.
21．（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；
当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当时，，
因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.
设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，
当切线的斜率等于直线的斜率时，即，
切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
【点睛】
本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
22．（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【详解】
（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．