人教A版2019选择性必修第二册第五章专题强化训练二 含参数的单调性讨论与由单调性（极值、最值）求参数范围问题（Word版含解析）

专题强化训练二：含参数的单调性讨论与由单调性（极值、最值）求参数范围问题
题型一：由函数的极点（极值）求参数问题
1．（2022·河南·滑县实验学校高二月考）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
2．（2022·江西·上高二中高二月考（理））设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆市第四十二中学校高二期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：已知函数的最值求参数问题
4．（2021·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·鹤壁高中高二月考（理））若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为
A． B． C． D．
题型三：含参数讨论函数的单调性问题
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.讨论的单调性；
8．（2022·江西南城·高二期中（文））已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求函数的极值.
9．（2022·安徽省宣城市第二中学高二月考（理））已知函数.
（1）若，当时，讨论的单调性；
（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.
题型四：由单调性求参数范围问题
10．（2021·广东实验中学附属天河学校高二期中）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
11．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
12．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））已知函数，a为实数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.
专题强化训练
一、单选题
13．（2021·全国·高二课）已知有极大值和极小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·福建安溪·高二期中）已知函数在时取得极值，则（ ）
A．10 B．5 C．4 D．2
15．（2021·全国·高二课时练习）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·江苏·高二期末）若函数的值域为，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·江西·南昌市八一中学高二月考（文））已知函数，当时，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·江西省南城一中高二月考（理））已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·江西·高安中学高二月考（理））若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·陕西·永寿县中学高二月考（理））已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·山西吕梁·高二期末（理））若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·福建·上杭一中高二月考）若函数恰有两个零点，则在上的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
23．（2021·全国·高二专题练习）已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·全国·高二课时练习）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．（2020·广西·钦州一中高二期中（理））已知函数满足， 若恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
26．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高二月考）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．当时，；
B．当时，不等式的解集为；
C．当 时， 函数有两个零点；
D．当的最小值为 2时， .
27．（2021·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高二期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值也有最小值
B．函数存在两个不同的零点
C．当时，恰有三个不相等的实根
D．当时，的最大值为，则的最小值为
28．（2021·湖南·株洲长鸿实验学校高二开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（　　）
A． B． C．0 D．1
29．（2020·河北省玉田县第一中学高二月考）已知函数，则下列选项正确的是（ ）．
A．当时，由线在处的切线方程为
B．当时，函数在上单调递增
C．当时，函数在区间上有一个零点
D．当时，恒成立，则
30．（2021·福建·浦城县第三中学高二期中）设函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集为；
B．函数在单调递增，在单调递减；
C．当时，总有恒成立；
D．若函数有两个极值点，则实数.
三、解答题
31．（2021·江苏省溧水高级中学高二月考）已知函数，．
（1）若函数在时取得极值，求的值；
（2）讨论函数的单调性．
32．（2021·陕西·高新一中高二月考（理））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.
33．（2021·西藏·日喀则市南木林高级中学高二期末（理））已知函数．
（I）若是的极值点，求的单调区间；
（II）求a的范围，使得恒成立．
34．（2021·全国·高二单元测试）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设有两个极值点，，若恒成立，求实数m的取值范围．
35．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
36．（2021·重庆十八中高二月考）设函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
37．（2021·浙江·余姚中学高二月考）设，函数，其中e是自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值.
38．（2021·云南·富宁县第一中学高二月考（理））设函数，.
（1）当时，求方程的根（其中为自然对数的底数）；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）
参考答案
1．B
【分析】
由题意可知，解方程组得和的值，再代入检验是否能使是原函数的极值点.
【详解】
因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；
当'时，，令，得或；令得.
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据函数的极值求参数的值，本题的易错点在于当令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值.
2．C
【分析】
恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【详解】
由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.
3．D
【分析】
由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．
【详解】
解：因为有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以在有2个不同的零点，
所以，
解可得，．
故选：．
4．C
【分析】
利用导数求出函数的极小值，并计算出，结合图象得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】
令，得，，
令，解得；令，解得或.
所以，函数的增区间为和，减区间为.
函数在开区间内的最小值一定是，
可求得，如下图所示：
所以，解得，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的最值求参数，解题时要熟悉最值与极值的关系，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
5．C
【分析】
利用导数求出函数的极小值为，由题意可知，再由求得的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
解：由题意，，
当或时，；当时，.
故在，上是增函数，在上是减函数，
所以，函数的极小值为.
作其图象如图，
令得，解得或，
结合图象可知，解得，.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数的极小值点在区间内，通过求得，数形结合得出实数所满足的不等式组，综合性较强.
6．A
【详解】
设，则
当时，，单调递减
当时，，单调递增
存在，成立
，
，
故选
点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础．
7．答案见解析
【分析】
求函数的导数，讨论的正负，分四种情况讨论函数的单调性.
【详解】
解：（1）的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减；
综上，当，时，在上单调递增；
当，时，在上单调递减，在上单调递增；
当，时，在上单调递减；
当，时，在单调递增，在上单调递减；
8．（1）答案见解析；（2），.
【分析】
（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，得到，求得函数的导数，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
若，由，可得；由，可得，
所以的递减区间为，递增区间为；
若，由，可得；由，可得，
所以的递减区间为，递增区间为.
（2）当时，可得，
则，
由，即，解得或，
当变化时，与的变化情况如下表：
- 0 + 0 -
递减 极小值 递增 极大值 递减
所以当时，函数取得极小值；
当时，函数取得极大值.
9．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）首先求出函数的定义域，由，消去参数，求出导函数，再对参数分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）当时，，再求出导函数，对分类讨论，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）因为
所以函数的定义域为.
由，得，
则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，或，，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
当时，或，，
所以在，上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，，
则.
①当，即时，，
所以在上单调递增，
所以.
②当，即时，设的两根分别为，，
则，，
∴，，
所以在区间上，，
所以在上单调递增，
所以.
综上，当时，在区间上的最大值为，
∴，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
10．（1）见解析；（2）
【详解】
试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使或的解集即可.
（2）分类讨论在区间（1，2）上使成立的条件，并求出参数a的取值范围即可
试题解析：（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；
若a<0，则当x∈（－，x2）或x∈（x1，+）时，，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是减函数；
当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是增函数；
（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.
11．（1）；（2）3.
【分析】
（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】
（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
12．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导函数，对和进行比较即可得到的单调性；
（2）根据的取值范围，分和进行求解，当时分离出，根据的单调性，即可得出的取值范围.
【详解】
（1），
当，即时，，在R上单调递增，
当，即时，由得或，由得.
分别在与上单调递增，在单调递减，
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，分别在与单调递增，在单调递减.
（2）由已知得在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
当时，；当时，.
而在上单调递增，时，，则.
综上.
【点睛】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题.
13．D
【分析】
先求，由题意可得有两个不相等的实数根，结合二次函数的性质可得，解不等式即可求解.
【详解】
由可得，
因为有极大值和极小值，
所以有两个不相等的实数根，
所以，即，
解得：或，
所以的取值范围为，
故选：D.
14．A
【分析】
先求的导函数，然后利用极直的必要条件求得的值.
【详解】
∵,∴，
∵是函数的极值点，∴的实数根，
即,解得．
故选：.
15．D
【分析】
转化成求在有两个解的问题.
【详解】
由
函数有两个极值点等价于有两个根.
即
在上有两个根，
设
令则
令
要使有两个不同的根，则
即实数的取值范围是
故选：D
16．B
【分析】
若函数的值域为，则函数的函数值应能取到所有的正数，只需使的最小值小于等于0，通过导数研究函数的最小值，解出即可求得实数的最大值.
【详解】
若函数的值域为，
则函数的函数值应能取到所有的正数，易知，
，则只需使的最小值小于等于0，
，当时，，单减；
当时，，单增；
则的最小值为，
解得，则实数的最大值为
故选：B
17．A
【分析】
求函数导数后可知导函数为上的增函数，根据a分类讨论，求的最小值即可求解.
【详解】
，
，
当时，单调递增，
，
（1）若时，，
所以在时单调递增， 恒成立，
（2）若时，，由 单调递增知，存在，使得，
故时，，当 时，，
所以在时单调递减，
所以，即在上存在使得，
所以时不满足题意.
综上，，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：对a分类讨论，研究导函数的单调性，根据导函数的单调性求最小值，根据最值是否满足不小1，判断a所取范围，属于中档题.
18．B
【分析】
利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域记作集合，根据题意可得，可得关于的不等式组，解不等式即可.
【详解】
由可得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
所以，，，
所以在上的值域为，记
的对称轴为，，，
且在上单调递减，所以，
记，
若对任意的，存在唯一的，使得，
则，所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：B
19．A
【分析】
先求，再解不等式或得的单调性，根据的单调性，列出使得函数在上有最大值的不等式组，解不等式组即可.
【详解】
由题知，，，
由得，，由得或.
所以函数在上递减，在上递增，上递减，
若函数在上有最大值，则，解得.
故选：A．
20．B
【分析】
由、关于轴对称，问题转化为与在上有交点，构造，则在有解，利用导数研究单调性并求最值，即可求的取值范围.
【详解】
由题意，、关于轴对称，
∴与在上有交点，则在有解，
令，则，，
∴在上递增，而，
∴在上，递减；在上，递增；
∴，故只需即可，得.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由、关于轴对称，将问题转化为与在上有交点，再构造函数并利用导数求极值，进而求参数范围.
21．C
【分析】
本题首先可通过求导得出，然后根据当时函数单调递增排除这种情况，再然后讨论这种情况，通过导函数求出函数的最小值，最后通过最小值小于即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
若，则，函数单调递增，不满足题意；
若，
，即，，，
，即，，，
故当时，函数取最小值，
，，，，
因为函数恰有两个不同的零点，所以的最小值小于，
即，，
，，，解得，的取值范围为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查通过函数零点个数求参数，可根据函数的单调性以及函数的最值求出结果，考查利用导函数求函数的最值，考查计算能力，是难题.
22．B
【分析】
令，得或，若，则单调递增，函数最多只有一个零点，不符合题意，则，，推出另一个极值点必为零点，即，解得，再求最值即可
【详解】
解：由，得，令，得或，
若，则，所以单调递增，函数最多只有一个零点，不符合题意，所以，
因为恰有2个零点，，
所以另一个极值点必为零点，
所以，得，
所以，
所以，
所以在上的最小值为，
故选：B
23．B
【分析】
求出函数在上的最值，等价于，解出即可．
【详解】
因为，所以，
当时，对任意的，，恒有；
当时，, 恒有，
所以在上是单调递增函数，对任意的，不等式 恒成立, 只要，
又，,
所以，即, 解得,
所以的取值范围是．
故选：B．
24．C
【分析】
由基本不等式可得当时，最大值为；当时，对函数求导，按照、、分类，找到的最大值，解不等式即可得解.
【详解】
当时，
，
所以当时，的最大值为；
当时，，，
若时，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且时，，
所以函数的最大值不可能为；
若时，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则，解得，
所以；
若时，在上恒成立，所以在上单调递减，
又当时，所以，
所以当时，，符合题意；
综上，实数的取值范围为.
故选：C．
【点睛】
本题考查了分段函数的最值及利用导数求函数的最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
25．D
【分析】
求导根据已知联立方程解得解析式，代入化简得到，构造函数，求导，讨论和两种情况，得到，再次构造函数，计算最值得到答案.
【详解】
，则，
则，解得，故，
，则，
设，，
①当时，，在上单调递增，时，与矛盾；
②当时，，则，函数单调递增；
，则，函数单调递减，
故当时，，
则，
令，则
，则，函数单调递增，，则，函数单调递减，
当时，，
故当时，的最大值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，构造函数计算最值是解题的关键.
26．BD
【分析】
对于A，代入的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最值即可，
对于B，代入的值，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为关于的不等式组，解出即可，
对于C，求出函数的单调性，求出函数的最小值，根据的范围判断最小值的范围即可判断，
对于D，由最小值是2，得到关于的方程，解出即可．
【详解】
解：对于A：时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（2），所以，无最大值，
故A错误；
对于B：时，，，
在递减，
不等式，即，
故，解得：，
故B正确；
对于C：，
，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，
，故时，，，函数无零点，
故C错误；
对于D：结合，当时，，所以函数在上递减，故函数无最小值，
当时，，解得：，
故D正确；
故选：BD．
27．ABD
【分析】
求出导函数，由确定函数的单调性、极值、函数的变化趋势，然后逐项分析即可．
【详解】
解：由，得，
令，则或，
当或时，；当时， ，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，有极大值，
当时，， 当时，，
故函数的图象如图，
数形结合可知：函数有极小值也有最小值，故A正确；因为函数与轴有两个交点，故函数存在两个不同的零点，故B正确；当时，恰有三个不相等的实根等价于直线与函数有三个不同的交点，故，故C错误；当时，的最大值为，则，故D正确.
所以选项ABD正确，
故选：ABD
【点睛】
本题考查用导数确定函数的单调性、极值，确定方程根的个数问题．解题思路是求得导函数，然后求出导函数的零点，确定导函数的正负得函数的单调性，可得极值、最值，确定函数的变化趋势，可确定方程的解的个数．
28．BCD
【分析】
首先先求函数的极值点，若函数在开区间取得最小值，则比较端点值，建立不等式关系，求的取值范围.
【详解】
，时，或，
当或时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，
所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，
那么当，解得：或
所以函数在区间上存在最小值，
则 ，解得：.
故选：BCD
【点睛】
易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，函数在开区间上存在最小值，则必在极小值点处取得最小值，但先求出和极小值相等的自变量的值，比较端点值时不要忽略这个值.
29．ABCD
【分析】
当时，求出，然后可判断A、B，当时，，分、两种情况讨论的零点，可判断C，分、、三种情况讨论的单调性，可判断D.
【详解】
对于A，当时，，，
则，，所以切线方程为，故A正确；
对于B，由，所以在上单调递增．故B正确；
对于C，当时，，当时，，
故，故在上无零点；
当时，，
因为，，故，因此在上单调递增．
因为，，故存在唯一使得．
综上知，在区间上有一个零点．故C正确；
对于D，当时，，①
当时，因为，，，故，
所以在上单调递增，故，符合题意；
②当时，令，，
故在上单调递增，故，
故，因此，符合题意；
③当时，，，
令，，
故，故，存在，使得，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，，与题意矛盾，故不符合题意．
综上，符合题意．故D正确．
故选：ABCD
【点睛】
方法点睛：常利用函数的单调性和函数值的符号判断函数的零点个数.
30．AC
【分析】
对于，的解集为，可得该选项正确；
对于，当时，，单调递增，可得该选项错误；
对于，等价于，令，求出最大值，可得该选项正确；
对于，函数有两个极值点，可得，则该选项错误.
【详解】
函数，，
则，，
对于，即，，即，故该选项正确；
对于，，当时，，单调递增，故该选项错误；
对于，当，时，若，则，
即，即，
令，
则，，
当，时，，则单调递增，
（1），则，单调递减，
，
故，，故该选项正确；
对于，若函数有2个极值点，
则有2个零点，
即，，
令，则，
在单调递增，在单调递减，
（1），即，，故该选项错误.
综上，只有正确，
故选：AC．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和极值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
31．（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由可求得实数的值；
（2）求得，对与的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1），则，
在处取得极值，故，解得.
当时，.
由，可得或；由，可得.
故在上递增，在上递减，在上递增，
故是函数的极大值点，符合题意；
（2）由（1）得.
令，则或.
①时，，此时在上单调递增；
②时，，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为、，单调递减区间为；
③当时，，
当时，；当时，，
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
32．
（1）答案见解析.
（2）证明见解析
【分析】
（1），令，分别讨论，，，解不等式或即可得单调增区间和减区间，进而可得单调性.
（2）设分别求，利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求出即可求证.
（1）
因为，所以，，
，
令，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
当时，解不等式可得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
当时，解不等式可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递减，
当时，在和上单调递减，
在上单调递增，
当时， 在上单调递增，在上单调递减，
（2）
由可得，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
设，则，
由即可得；由即可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以对任意的恒成立.
33．（I）的单调增区间为，减区间为；（II）
【分析】
（I）根据题意得出，求出a，进而由求得增区间，由求得减区间；
（II）根据题意将问题转化为时恒成立，设，求出，分类讨论参数a，得到，即可得到a的范围.
【详解】
（I）函数的定义域为，，
因为是的极值点，所以，解得a=3，
当a=3时，，
令，得或；令，得，
所以函数的单调增区间为；单调减区间为.
（II）要使得恒成立，即时恒成立，
设，则，
当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，
故，得；
当时，由得单调减区间为，
由得单调增区间为，；此时，不合题意；
当时，在上单调递增，此时，不合题意；
当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，此时，不合题意；
综上所述：时，恒成立.
34．（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）直接求导，对的不同取值，讨论函数的单调区间；（2）依题意得，，利用这两个方程消去不等式中的两个量，化为单变量问题，在构造函数解决.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以．
令，，
①当，即时，，即，
所以函数的单调递增区间为
②当，即或时，
若，则，即，
所以函数的单调递增区间为．
若，令，得或．
由，即，得或；
由，即，得．
所以函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
（2）由（1）得，
若有两个极值点，，则，是方程的两个不等正实根，
由（1）知，则，，则，
．
令，则，
当时，，为减函数，所以．
由题意，要使恒成立，只需满足
所以实数m的取值范围是．
35．（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】
（1）利用导数的几何意义可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值；
（2）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知不等式在上有解，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，.
由题意得，，
即，解得，因此，；
（2）.
当时，且不恒为，所以，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
此时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
此时，在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（3）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解.
当时，，即有解，
令，，则.
，
所以，在上单调递减，所以，，
所以，，即，因此，实数的取值范围是.
36．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，从而得原函数的单调性；
（2）由题可得出对所有的的都成立，从而令，根据一次函数的单调性可得，再令，求导，分析其导函数的符号，得出函数的单调性，从而有，得出答案.
【详解】
解：（1）若，，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，得（负值舍去），当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
（2）当时，.若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即,对所有的都成立，
令，则为一次函数，，
，
，
在上单调递增，
，
对所有的都成立，
令，则，因为，所以，所以函数在单调递减，所以， ，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
37．（1）答案见解析；（2）最小值为.
【分析】
（1）求导函数，分，，三种情况分析导函数的符号，由此可得函数的单调区间；
（2）根据（1）中函数的单调性，根据得出函数在区间上单调递减，由此可求得函数在区间上的最小值.
【详解】
解：（1）由已知
.
因为，以下讨论函数值的情况：
当时，，即，所以在R上是减函数.
当时，的判别式，所以，即，所以在R上是减函数.
当时，令有两个根，，并且，
所以在区间上，，即，在此区间上是增函数；
在区间上，，即，在此区间上是减函数.
在区间上，，即，在此区间上是增函数.
综上，当时，在R上是减函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，，
所以在区间上，函数单调递减.
所以函数在区间上的最小值为.
38．（1）或；（2）答案见解析；（3）的最小值为0.
【分析】
（1）代入化简方程得，再根据二次方程和指对关系解方程；
（2）先求函数导数并明确函数定义域：，；再讨论导函数不变号情况：分和，以及三种情况，讨论函数的单调性.
（3）存在性问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数先求函数最小值，利用导数，以及结合零点存在性定理求的最小值，即可求得的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，方程即为，去分母，得
，解得或，
故所求方程的根为或.
（2）因为，
所以
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得.
综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为.
（3）当时，，，
所以，，，
所以存在唯一，使得，即，
当时，，当时，，
所以.
记函数，则在上单调递增，
所以，即，由，且为整数，得，
所以存在整数满足题意，且的最小值为0.
试卷第1页，共3页