人教A版2019选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用 同步单元必刷卷（基础版）（Word版含解析）

第五章：一元函数的导数及其应用同步单元必刷卷（基础版）
(时间：120分钟　满分：150分)
单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2022·江苏·高二课时练习）一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（ ）
A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3
2．（2022·福建省漳州第一中学高二月考）设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2022·全国·高二课时练习）下列关于函数的复合过程与导数运算正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2022·重庆市清华中学校高二月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二单元测试）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广西河池·高二月考（理））如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：
①在区间内单调递增；②在区间内单调递减；③在区间内单调递增；
④是极小值点；⑤是极大值点.
其中不正确的是（ ）
A．③⑤ B．②③ C．①④⑤ D．①②④
7．（2022·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1] B．[-1，+∞）
C．（-∞，-1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．只有一个极值点 B．设，则与的单调性相同
C．在上单调递增 D．有且只有两个零点
10．（2022·河北·藁城新冀明中学高二月考）若是函数的极值点，则下列结论不正确的是（ ）
A．有极大值-1 B．有极小值-1
C．有极大值0 D．有极小值0
11．（2022·全国·高二课时练习）设函数，则（ ）
A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，且有最小值
C．若方程恰有一个实根，则 D．若方程恰有三个实根，则
12．（2022·全国·高二课时练习）已知函数且函数g（x）=xf（x），则下列选项正确的是（ ）
A． x1∈（0，1），x2∈（1，3），使f（x1）>f（x2）
B．点（0，0）是函数f（x）的零点
C．函数f（x）的值域为
D．若关于x的方程[g（x）]2﹣2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2022·广东·徐闻县第一中学高二期中）函数的图象在点处的切线方程为___________.
14．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上具有单调性，则a的取值范围是________．
15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，一窗户的上部分是半圆，下半部分是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，h与x的比为______．
16．（2022·全国·高二课时练习）若的图像上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若，恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是___________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2022·广东实验中学附属天河学校高二月考）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
18．（2022·重庆巴蜀中学高二开学考试）已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.
（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；
（2）若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.
19．（2022·全国·高二单元测试）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围.
20．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.
21．（2022·吉林·延边二中高二期中（理））已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：.
22．（2022·吉林·松原市实验高级中学高二月考）已知函数．
（1）讨论函数在区间上的最小值；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．
第五章：一元函数的导数及其应用同步单元必刷卷（基础版）全解全析
1．B
【详解】
，
故选：B
2．D
【分析】
由导数的定义及导数的几何意义即可求解.
【详解】
解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
3．C
【分析】
直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解.
【详解】
由复合函数求导法则，知函数由基本初等函数，复合而成，
所以.
故选：C.
4．D
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 而 在 递增，求出 的最小值，从而求出的范围即可 .
【详解】
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故
令
在递增 ,
故
故选：D
5．A
【分析】
求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.
【详解】
由题意可知，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.
故选：A.
6．A
【分析】
根据导函数与单调性和极值点的关系，观察图像即可得出答案.
【详解】
由图可知，
在区间内，有正有负，①错误；
在区间内，，在区间内单调递增，②错误；
在区间内，，在区间内单调递增，③正确；
不存在，使当时，，当时，，④错误；
存在，使当时，，当时，，如，⑤正确
故选：A.
7．B
【分析】
利用导数判断函数的单调性，根据单调性可得，当时，有2个不等实根；时，有1个不等实根，又因为，对称轴，所以当方程有两个根，一个在，之间，一个大于0时的零点最多为3个，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可得答案．
【详解】
解：因为，所以，
令得，得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以有最小值，且时，，
令，则时，有2个不等实根；时，有1个不等实根，
要使函数的零点个数最多，
则方程在，上的根最多，
因为，对称轴，所以的零点最多为3个，
此时方程有两个根，一个在，之间，一个大于0，
所以，解得，
故选：B.
8．A
【分析】
当时，恒成立可得，当时，构造函数，利用导数探讨其单调性并确定a的范围即可作答..
【详解】
依题意，当时，有恒成立，而有，则，即，解得，
当时，有恒成立，即，
令，求导得，令，，
则有在单调递增，，若，而，则必存在使得，
当时，，则在上单调递减，于是有与当时，恒成立矛盾，
从而得，解得，而当时，，，在上单调递增，恒成立，则，
综上得，，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
【点睛】
结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤ f(x)min.
9．ACD
【分析】
利用的二次求导，得到， ，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项．利用函数的极值点即可判断选项.
【详解】
解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；
因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B错误；
因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故D正确．
故选：ACD．
10．BCD
【分析】
先根据极值定义得a，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值.
【详解】
解：因为是函数的极值点，所以 ，
当时，当时，因此有极大值，无极小值
故选：BCD.
11．BD
【分析】
求出函数的导数，讨论其符号可得函数的单调性和最值，据此可刻画出函数的图象，从而可得正确的选项.
【详解】
由题意，得，
∴当或时，，当时，，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
∴有极大值，为，有极小值，为．
又当时，恒成立，∴也是最小值．
作出直线和的图象，如图所示，
当或时，有一个实根，当时，有三个实根．
故选：BD．
12．AC
【分析】
A选项，分别求出f（x）在区间（0，1）和（1，3）的值域，通过值域的包含关系判断；
B选项，利用零点的概念判断；
C选项，分别求出f（x）在区间（﹣∞，1）和（1，+∞）的值域，取并集即可.
D选项，题意等价于方程g（x）=2a只有一个非零实数根，根据g（x）的单调性及极值判断.
【详解】
解：A选项，设h（x）=xex，h'（x）=（x+1）ex，所以h（x）在（0，1）单调递增，h（x）∈（0，e）；
设m（x）=，m'（x）=，所以m（x）在（1，3）上递减，m（x）∈（，e） （0，e），所以A说法正确；
B选项，x=0是函数f（x）的零点，B说法错误；
C选项，h（x）=xex在（﹣∞，﹣1）上递减，（﹣1，1）上递增，又当x<0时，h（x）<0，且h（﹣1）=，所以h（x）的值域为.
m（x）=在（1，3）上递减，（3，+∞）上递增，所以m（x）的值域为[，+∞），所以f（x）的值域为[，+∞），C选项正确.
D选项，[g（x）]2﹣2ag（x）=0等价于g（x）=2a或g（x）=0.
因为当g（x）=0，即f（x）=0时，解得x=0，所以方程g（x）=2a只有一个非零实数根.
因为，所以g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，（﹣2，0）上单调递减，（0，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增.
当x<0是，g（x）>0，且g（﹣2）=，g（0）=0，g（1）=e，g（2）=e，
解得或，D选项说法错误.
故选：AC.
13．
【分析】
利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程.
【详解】
由题意得：，则，又，
切线方程为，即.
故答案为：.
14．
【分析】
对函数求导，将函数在区间上具有单调性，转化为在区间恒大于0，或恒小于0，进而求出a的取值范围
【详解】
，函数在区间上具有单调性等价于或在上恒成立，
则或，设，
当时，取得最大值，，当时，取得最小值，
所以或．
故答案为：
15．
【分析】
将周长用x表示出来，再利用导数求函数的最值，进而得出比例.
【详解】
解：设窗户面积为S，周长为L，则，，
所以窗户周长，
则，由，得，
故当时，；
当时，，
所以当时，L取最小值，
此时．
故答案为：.
16．
【分析】
要求“友情对点”，可把的函数图像关于原点对称，即研究对称过去的图像和的图像有两个交点即可.
【详解】
解：关于原点对称的解析式为.
的图像与的交点个数即为方程根的个数，即.
设，于是
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，函数取最小值.
于是作出的图像如图所示.
，即时与有两个交点，原函数有两对“友情对点”.故实数的取值范围是
故答案为：
17．（1）；（2）最大值为8，最小值为．
【分析】
（1）先对函数求导，然后利用导数的几何意义可得从而可求出的值，进而可得的解析式；
（2）先对函数求导，然后令导数等于零，求出极值点，再求出极值和端点处的函数值，比较可得函数的最值
【详解】
解：（1）由题意可得，．
由解得
经检验得时，有极大值．
所以．
（2）由（1）知，．
令，得，，
，的值随的变化情况如下表：
2
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值 3 8 8
由表可知在上的最大值为8，最小值为．
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；
（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.
【详解】
（1），
因为，所以，即函数为减函数，
因为，所以值域为.
（2）因为 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
所以，
因为，所以，
所以，即.
19．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先求导，对a分类讨论，利用导函数的正负可得f（x）的单调性.
（2）将已知进行转化，得到在上有解，分离参数a，构造函数，求导求得值域，可得a的范围.
【详解】
（1）因为，所以.
①当时，因为，所以在上单调递增；
②当时，令，解得或.
令，解得，
则在，上单调递增；
在上单调递减.
（2）因为，所以，
在上有零点，等价于关于的方程在上有解，
即在上有解.
因为，所以.
令，则.
令，，解得；令，，解得，
则 上单调递减，在上单调递增，
因为 ，，
所以 ，
则， ，
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，讨论的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设，则有，构造函数，，利用导数判断出函数单调递增，从而可得，再由即可求解.
【详解】
解：（1）易得函数的定义域为.
对函数求导得：.
当时，恒成立，即可知在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，，
此时在上单调递增，在上单调递减.
，又，，
不妨设，则有，
令，，
.
当时，，单调递增，
，，
，
又，，
，，在上单调递减，
，即.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，属于难题.
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函数求导，分和两种情况，分别判断出函数的单调性与极值，可得的取值范围；
（2）当时，设，成立，即证明，对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立．
【详解】
（1）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
故在上单调递增，无极值；
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故在处取得极大值，无极小值.
综上所述，若存在极值，则的取值范围为.
（2）当时，.
设，其定义域为，
则证明即可.
，设，
则，
故函数在上单调递增.
，.
有唯一的实根，且，
.
当时，；
当时，，
故函数的最小值为.
.
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题的关键点是构造，将命题成立，转化为证明，对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求出函数的定义域，再求导，当时，导数恒小于零，则可得函数在上为减函数，从而可求出函数的最小值，当时，由导数可得函数在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论可求得函数的最小值；
（2）要证，即证，即证，当时，上式恒成立，当时，令，再利用导数可得，从而可得成立．
【详解】
（1）解：函数的定义域是，
．
①当时，，则，
则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，
故函数在区间上的最小值为．
②当时，令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增．
（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为；
（ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为；
（iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为．
综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．
（2）证明：当时，，
要证，即证，
因为，所以两边同时乘x，得，
即证．
当时，，而，
所以成立，即成立．
当时，令，
则．
设，，则因为．
因为，所以，
所以当时，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以，即成立．
综上，对任意，恒有成立．