人教A版2019选择性必修第二册第五章专题强化训练一 导数在研究函数中的应用 综合强化训练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册第五章专题强化训练一 导数在研究函数中的应用 综合强化训练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 16:33:30 | ||
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文档简介
专题强化训练一：导数在研究函数中的应用综合强化训练
一、单选题
1．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·江苏·南京市中华中学高二期中）已知函数在区间，上是单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
4．（2022·江西·景德镇一中高二期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1] B．[-1，+∞）
C．（-∞，-1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）
①，②，③，④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．（2022·全国·高二单元测试）函数在内存在极值点，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．（2022·江苏·高二课时练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2022·北京一七一中高二月考）设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（2022·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
14．（2022·福建省将乐县第一中学高二月考）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高二月考）已知函数，其中正确结论的是（ ）
A．当时，有最大值；
B．对于任意的，函数是上的增函数；
C．对于任意的，函数一定存在最小值；
D．对于任意的，都有.
17．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，取得最大值 D．时，取得最小值
18．（2022·江苏·高二期中）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
三、填空题
19．（2022·全国·高二单元测试）若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
20．（2022·重庆市江津第五中学校高二期中）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
21．（2022·重庆巴蜀中学高二开学考试）已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．
22．（2020·山东·宁阳县第四中学高二期中）已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．
23．（2022·重庆市朝阳中学高二月考）偶函数的定义域是，其导函数是.当时，，则关于x的不等式的解集为___________.
24．（2020·四川·棠湖中学高二月考（文））如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②函数在处取最小值；
③函数在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是__________．
四、解答题
25．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
26．（2020·宁夏长庆高级中学高二月考（理））已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
27．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
28．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
29．（2022·江西·上高二中高二月考（文））已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
30．（2020·黑龙江·大庆实验中学高二月考（文））已知函数.
（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
31．（2022·江苏·吴江中学高二月考）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，且，证明：.
32．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据导数的符号可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可得不等式的解集．
【详解】
因为时，故在为增函数，
而为上的奇函数，故在为增函数，
因为，故.
又即为或或，
故或或无解，
故或，故不等式解集为.
故选：A．
2．D
【分析】
由题意得到在，恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出实数的取值范围.
【详解】
解：在区间，上是单调增函数，
当，时，恒成立，
，
又（当且仅当时取等号），即，
.
故选：D．
3．C
【分析】
先求函数的导数，再根据极值列方程求解参数可得出答案.
【详解】
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即
解得或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，
所以数对为(4,-11)，选项C正确.
故选：C.
4．A
【分析】
由函数有两个零点排除选项C，D；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.
【详解】
由得，或，选项C，D不满足；
由求导得，当或时，，当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，B不满足，A满足.
故选：A
5．D
【分析】
根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.
【详解】
∵在定义域R内不存在极值，
∴有两个相等的实数根或没有实数根，
∴，
∴．
故选：D
6．A
【分析】
当时，恒成立可得，当时，构造函数，利用导数探讨其单调性并确定a的范围即可作答..
【详解】
依题意，当时，有恒成立，而有，则，即，解得，
当时，有恒成立，即，
令，求导得，令，，
则有在单调递增，，若，而，则必存在使得，
当时，，则在上单调递减，于是有与当时，恒成立矛盾，
从而得，解得，而当时，，，在上单调递增，恒成立，则，
综上得，，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
【点睛】
结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤ f(x)min.
7．B
【分析】
，，，令，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出结论．
【详解】
解：，，，
令， ，
可得函数在上单调递增，在上单调递减．
时，；（1）；
（3），（4），
存在唯一，满足．
使得函数在单调递增，在，上单调递减．
函数在处取得极大值即最大值，
满足，
因此②③正确．
故选：B．
8．B
【分析】
由分离常数，通过构造函数法，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】
，，
令，由于，
所以，
在上递减，当时，；当时，.
由于函数在内存在极值点，
所以.
故选：B
9．C
【分析】
通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.
【详解】
原不等式可化为．
令，则．
令，则．
∵函数在区间上递增，∴，
∴．
，使得，即，，
，递减，，递增，
∴，
∴，恒有，在区间上递增，
∴，
∴．
故选：C.
10．B
【分析】
根据选项令，可以对其进行求导，根据已知条件，可以证明为增函数，可以推出，再对选项进行判断．
【详解】
解：是定义在上的可导函数，
可以令，
，
，，
，
为增函数，
正数，
所以
，
所以.
故选：B
11．D
【分析】
根据给定不等式构造函数，探讨函数的单调性，由此判断函数值大小得解.
【详解】
依题意，令，则，
于是得函数在上单调递减，则有，，
即，，
所以，.
故选：D
12．A
【分析】
根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
【详解】
对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
13．AC
【分析】
根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】
由知函数的定义域为，
，
当时，，，
故在单调递增，A正确；
由，当时，，
当，所以只有0一个零点，B错误；
令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；
由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.
14．AC
【分析】
根据图象判断出的单调区间、极值（点）.
【详解】
由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
15．ABC
【分析】
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】
对于A．，解得，所以A正确；
对于B．，
当时，，当时，或，
所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】
易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
16．BC
【分析】
利用导数研究函数的性质即可.
【详解】
，
当时，，函数，都是单调递增函数，
易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误；
对于任意的，函数，都是单调递增函数，
则函数是上的增函数，故B正确；
当时，，，故，D错误；
对于任意的，，易知在单调递增，
当时，，当时，，
∴存在，当时，，函数单调递减，
，，函数单调递增，∴，故C正确，
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.
17．AB
【分析】
由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
18．BD
【分析】
对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．
【详解】
函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，
若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．
19．
【分析】
求出导函数 ，只需在区间上有解即可.
【详解】
，则，
函数在区间（-1，1）上存在减区间，
只需在区间上有解，，
记，对称轴，开口向下，
只需，
所以，解得，
故答案为：
20．
【分析】
因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解．
【详解】
因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，
由f'（x）=0，得x=1/2．
当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0
据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0，
解得1≤k＜3/2.
21．
【分析】
根据极值点的定义，将极值问题转化为导函数的零点问题，然后利用分离参数法即可求解．
【详解】
由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点．由得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，又当时，，当时，，所以要使有两个零点，需，即．
故答案为：
22．
【分析】
先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】
因为是上的偶函数，所以是上的偶函数，
在 上单调递增，
，即
解得 ，解集为.
【点睛】
本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.
23．
【分析】
根据时，，构造函数，用导数法研究其单调性，再根据是上的偶函数，得到为偶函数，然后将原不等式转化为求解.
【详解】
令，
则，
因为当时，，
所有当时，，
∴在上单调递减，
因为，
∴为偶函数.
当时，，
则等价于，
即.
因为为偶函数，
所以，
∴，
又因为，
所以所求解集为.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：先由时，，构造函数，研究其单调性和奇偶性，再利用函数单调性的定义解不等式.
24．①④
【解析】
【分析】
由条件利用导函数的图象的特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
根据导函数的图象可得，
当上，，在上，，
故函数在上函数单调递减，
在，函数单调递增，
所以是函数的极小值点，所以①正确；
其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；
由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；
由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，
综上可知，①④是正确的.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中根据到函数的图象得到导函数的取值，正确理解函数的导数与原函数关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
25．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
26．
详解：（1）当时，，.
设函数，则.
当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.
所以在单调递增.
又，故当时，；当时，.
（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.
（ii）若，设函数.
由于当时，，故与符号相同.
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果，则当，且时，，故不是的极大值点.
如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.
如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上，.
点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大．
27．（1）（2）
【分析】
（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将,
令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
【详解】
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）解法一：,
，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
28．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，
设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
29．（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【分析】
求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
30．（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）
【分析】
（1）利用导数的几何意义得到，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为在上恒成立，再化为在上恒成立，再求在上的最大值即得a的取值范围.
【详解】
（1），而，即，解得.
（2）函数的定义域为.
①当时，，的单调递增区间为；
②当时，.
当变化时，的变化情况如下:
由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3），于是.
因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.
于是有，设，则，所以有
，，
当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，
即实数的取值范围是.
【点睛】
（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键有3点，其一是先转化为在上恒成立，其二再化为在上恒成立，其三是换元求在上的最大值即得a的取值范围.
31．
【分析】
（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；
（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
当时，，在上是减函数，所以在上无极值；
当时，若，，在上是减函数.
当，，在上是增函数，
故当时，在上的极小值为，
无极大值.
（2）当时，，
由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，
又，为函数零点，所以，要证，只需证.
∵ ，又
∵，∴，
令，则，
∴在上是增函数，∴，∴，
∴，即得证.
32．(1)增区间，减区间；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间．
（2）在上的函数值恒为非负或恒为非正．
【详解】
（1）函数的定义域是，时，，
当时，，递减，当时，，递增．
∴的增区间是，减区间是；
（2），，
由题意当时，恒成立，或恒成立．
若，，
当时，，∴；
若，，
当时，无最小值，∴不可能恒成立；
综上．
试卷第1页，共3页
一、单选题
1．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·江苏·南京市中华中学高二期中）已知函数在区间，上是单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
4．（2022·江西·景德镇一中高二期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1] B．[-1，+∞）
C．（-∞，-1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）
①，②，③，④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．（2022·全国·高二单元测试）函数在内存在极值点，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．（2022·江苏·高二课时练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2022·北京一七一中高二月考）设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（2022·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
14．（2022·福建省将乐县第一中学高二月考）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高二月考）已知函数，其中正确结论的是（ ）
A．当时，有最大值；
B．对于任意的，函数是上的增函数；
C．对于任意的，函数一定存在最小值；
D．对于任意的，都有.
17．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，取得最大值 D．时，取得最小值
18．（2022·江苏·高二期中）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
三、填空题
19．（2022·全国·高二单元测试）若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
20．（2022·重庆市江津第五中学校高二期中）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
21．（2022·重庆巴蜀中学高二开学考试）已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．
22．（2020·山东·宁阳县第四中学高二期中）已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．
23．（2022·重庆市朝阳中学高二月考）偶函数的定义域是，其导函数是.当时，，则关于x的不等式的解集为___________.
24．（2020·四川·棠湖中学高二月考（文））如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②函数在处取最小值；
③函数在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是__________．
四、解答题
25．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
26．（2020·宁夏长庆高级中学高二月考（理））已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
27．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
28．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
29．（2022·江西·上高二中高二月考（文））已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
30．（2020·黑龙江·大庆实验中学高二月考（文））已知函数.
（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
31．（2022·江苏·吴江中学高二月考）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，且，证明：.
32．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据导数的符号可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可得不等式的解集．
【详解】
因为时，故在为增函数，
而为上的奇函数，故在为增函数，
因为，故.
又即为或或，
故或或无解，
故或，故不等式解集为.
故选：A．
2．D
【分析】
由题意得到在，恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出实数的取值范围.
【详解】
解：在区间，上是单调增函数，
当，时，恒成立，
，
又（当且仅当时取等号），即，
.
故选：D．
3．C
【分析】
先求函数的导数，再根据极值列方程求解参数可得出答案.
【详解】
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即
解得或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，
所以数对为(4,-11)，选项C正确.
故选：C.
4．A
【分析】
由函数有两个零点排除选项C，D；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.
【详解】
由得，或，选项C，D不满足；
由求导得，当或时，，当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，B不满足，A满足.
故选：A
5．D
【分析】
根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.
【详解】
∵在定义域R内不存在极值，
∴有两个相等的实数根或没有实数根，
∴，
∴．
故选：D
6．A
【分析】
当时，恒成立可得，当时，构造函数，利用导数探讨其单调性并确定a的范围即可作答..
【详解】
依题意，当时，有恒成立，而有，则，即，解得，
当时，有恒成立，即，
令，求导得，令，，
则有在单调递增，，若，而，则必存在使得，
当时，，则在上单调递减，于是有与当时，恒成立矛盾，
从而得，解得，而当时，，，在上单调递增，恒成立，则，
综上得，，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
【点睛】
结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤ f(x)min.
7．B
【分析】
，，，令，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出结论．
【详解】
解：，，，
令， ，
可得函数在上单调递增，在上单调递减．
时，；（1）；
（3），（4），
存在唯一，满足．
使得函数在单调递增，在，上单调递减．
函数在处取得极大值即最大值，
满足，
因此②③正确．
故选：B．
8．B
【分析】
由分离常数，通过构造函数法，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】
，，
令，由于，
所以，
在上递减，当时，；当时，.
由于函数在内存在极值点，
所以.
故选：B
9．C
【分析】
通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.
【详解】
原不等式可化为．
令，则．
令，则．
∵函数在区间上递增，∴，
∴．
，使得，即，，
，递减，，递增，
∴，
∴，恒有，在区间上递增，
∴，
∴．
故选：C.
10．B
【分析】
根据选项令，可以对其进行求导，根据已知条件，可以证明为增函数，可以推出，再对选项进行判断．
【详解】
解：是定义在上的可导函数，
可以令，
，
，，
，
为增函数，
正数，
所以
，
所以.
故选：B
11．D
【分析】
根据给定不等式构造函数，探讨函数的单调性，由此判断函数值大小得解.
【详解】
依题意，令，则，
于是得函数在上单调递减，则有，，
即，，
所以，.
故选：D
12．A
【分析】
根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
【详解】
对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
13．AC
【分析】
根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】
由知函数的定义域为，
，
当时，，，
故在单调递增，A正确；
由，当时，，
当，所以只有0一个零点，B错误；
令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；
由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.
14．AC
【分析】
根据图象判断出的单调区间、极值（点）.
【详解】
由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
15．ABC
【分析】
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】
对于A．，解得，所以A正确；
对于B．，
当时，，当时，或，
所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】
易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
16．BC
【分析】
利用导数研究函数的性质即可.
【详解】
，
当时，，函数，都是单调递增函数，
易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误；
对于任意的，函数，都是单调递增函数，
则函数是上的增函数，故B正确；
当时，，，故，D错误；
对于任意的，，易知在单调递增，
当时，，当时，，
∴存在，当时，，函数单调递减，
，，函数单调递增，∴，故C正确，
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.
17．AB
【分析】
由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
18．BD
【分析】
对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．
【详解】
函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，
若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．
19．
【分析】
求出导函数 ，只需在区间上有解即可.
【详解】
，则，
函数在区间（-1，1）上存在减区间，
只需在区间上有解，，
记，对称轴，开口向下，
只需，
所以，解得，
故答案为：
20．
【分析】
因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解．
【详解】
因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，
由f'（x）=0，得x=1/2．
当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0
据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0，
解得1≤k＜3/2.
21．
【分析】
根据极值点的定义，将极值问题转化为导函数的零点问题，然后利用分离参数法即可求解．
【详解】
由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点．由得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，又当时，，当时，，所以要使有两个零点，需，即．
故答案为：
22．
【分析】
先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】
因为是上的偶函数，所以是上的偶函数，
在 上单调递增，
，即
解得 ，解集为.
【点睛】
本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.
23．
【分析】
根据时，，构造函数，用导数法研究其单调性，再根据是上的偶函数，得到为偶函数，然后将原不等式转化为求解.
【详解】
令，
则，
因为当时，，
所有当时，，
∴在上单调递减，
因为，
∴为偶函数.
当时，，
则等价于，
即.
因为为偶函数，
所以，
∴，
又因为，
所以所求解集为.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：先由时，，构造函数，研究其单调性和奇偶性，再利用函数单调性的定义解不等式.
24．①④
【解析】
【分析】
由条件利用导函数的图象的特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
根据导函数的图象可得，
当上，，在上，，
故函数在上函数单调递减，
在，函数单调递增，
所以是函数的极小值点，所以①正确；
其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；
由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；
由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，
综上可知，①④是正确的.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中根据到函数的图象得到导函数的取值，正确理解函数的导数与原函数关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
25．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
26．
详解：（1）当时，，.
设函数，则.
当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.
所以在单调递增.
又，故当时，；当时，.
（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.
（ii）若，设函数.
由于当时，，故与符号相同.
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果，则当，且时，，故不是的极大值点.
如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.
如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上，.
点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大．
27．（1）（2）
【分析】
（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将,
令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
【详解】
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）解法一：,
，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
28．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，
设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
29．（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【分析】
求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
30．（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）
【分析】
（1）利用导数的几何意义得到，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为在上恒成立，再化为在上恒成立，再求在上的最大值即得a的取值范围.
【详解】
（1），而，即，解得.
（2）函数的定义域为.
①当时，，的单调递增区间为；
②当时，.
当变化时，的变化情况如下:
由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3），于是.
因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.
于是有，设，则，所以有
，，
当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，
即实数的取值范围是.
【点睛】
（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键有3点，其一是先转化为在上恒成立，其二再化为在上恒成立，其三是换元求在上的最大值即得a的取值范围.
31．
【分析】
（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；
（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
当时，，在上是减函数，所以在上无极值；
当时，若，，在上是减函数.
当，，在上是增函数，
故当时，在上的极小值为，
无极大值.
（2）当时，，
由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，
又，为函数零点，所以，要证，只需证.
∵ ，又
∵，∴，
令，则，
∴在上是增函数，∴，∴，
∴，即得证.
32．(1)增区间，减区间；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间．
（2）在上的函数值恒为非负或恒为非正．
【详解】
（1）函数的定义域是，时，，
当时，，递减，当时，，递增．
∴的增区间是，减区间是；
（2），，
由题意当时，恒成立，或恒成立．
若，，
当时，，∴；
若，，
当时，无最小值，∴不可能恒成立；
综上．
试卷第1页，共3页