3.5确定二次函数的表达式 同步练习（含答案）

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第三章 二次函数
5 确定二次函数的表达式
基础过关
知识点1 设一般式确定二次函数的表达式
1.双语学校组织学生在山坡上进行滑雪训练，某学生从山坡滑下，滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示，现测得一组数据，如下表所示，则二次函数的表达式为__________________.
滑行时间t/s 0 1 2 3 …
滑行距离s/m 0 5 14 27 …
2.已知一条抛物线过 三点，求这条抛物线的表达式.
3.已知一条抛物线经过点(0，-3),(2,5),(-1,-4).
(1)求抛物线的表达式；
(2)若(5,n),(m,n)是抛物线上不同的两点,求m的值.
4.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升1m.
(1)如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗 请说明理由.
5.如图,直线与抛物线 相交于A(1,2)和B(4,m)两点,点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值 若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
知识点2 设顶点式确定二次函数的表达式
6.如图①，单孔拱桥的桥孔形状近似于抛物线，建立如图②所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m，则抛物线的解析式为 ________________.
7.如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为____________米.
8.已知抛物线 经过点 和(3,0).
(1)求a,h的值;
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.
9.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图所示，建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D,CD=2.6m,求OD的长.
知识点3 设交点式确定二次函数的表达式
10.抛物线的顶点坐标为 ，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位,则该抛物线的表达式为__________________.
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A,B两点，交y轴于点C，且 点P是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若 ∥求点P的坐标.
12.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值.
能力提升
13.在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为( )
14.已知一伏函数 的图象经过点
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点 是否在这个二次函数的图象上.
15.如图，抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点 与y轴交于点C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△的面积.
16.[逻辑推理]如图，已知抛物线 的顶点为(2，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上在直线BC下方的一动点，当△面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点Q为线段OC上的一动点，问： 是否存在最小值 若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
基础过关
1.答案
解析 ∵当 时, ∴设二次函数的表达式为
将(1,5),(2,14)代入,得 解得
∴二次函数的表达式为
2.解析 设抛物线的表达式为
将(-2,6),(2,-4),(3,1)分别代入, 得
所以这条抛物线的表达式为3
3.解析 (1)设抛物线的表达式为
将点 代入
得解得
∴该抛物线的表达式为
(2)抛物线的对称轴为直线
4.解析 (1)设抛物线的解析式为
将 代入 得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)能.理由如下：当 时,
∵ ∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.
5.解析 (1)把A(1,2)代入y=x+n,得 解得.∴一次函数的解析式为 把B(4,m)代入得m=4+1=5.∴B的坐标为(4,5).
把A(1,2),B(4,5)代入 得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)存在.设P的坐标为
∵PD⊥x轴,∴C的坐标为
∴
∴当 时，PC的长有最大值，最大值为。
6.答案
解析 由题意可知，点A的坐标为(12，0)，顶点B的坐标为(6,6).
设抛物线的解析式为 把(12,0)代入,
得 解得
∴抛物线的解析式为 即
7.答案 0.2
解析 如图，以点C为原点，OC所在直线为y轴建立直角坐标系，
则可设抛物线的解析式为由题意可知抛物线过∴抛物线的解析式为
当x=-0.4时,y=0.16.∴EF=0.36-0.16=0.2米.
8.解析 (1)将点 和(3,0)代入
得 解得 所以
(2)由(1)知，该抛物线的表达式为 将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的新的抛物线的表达式为 即
9.解析 (1)设该抛物线的函数表达式为
把 代入，得 解得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)把 代入 得 解得 (舍去), OD的长为1m.
10.答案
解析 ∵抛物线的顶点是 ∴抛物线的对称轴为直线
∵抛物线与x轴的两交点相距4个单位，∴两交点坐标为(-1,0),(3,0).
设抛物线的表达式为
把 代入，得 解得
∴抛物线的表达式为 即
11.解析 (1)把 代入 得 ∴点C的坐标为
∵ ∴点A的坐标为 点B的坐标为
设抛物线的表达式为 将点C(0,-2)代入,得 解得 .故抛物线的表达式为
(2)抛物线的对称轴为直线 当 ∥时，点P，C的纵坐标相同，点P的横坐标为 ∴点P的坐标为
12.解析(1) ∵ A(-1,0),B(2,0),
∴设抛物线的解析式为
将C(0,4)代入,得 解得
∴该抛物线的解析式为
(2)如图,连接OP,设点P的坐标为 2),
∴当m=1时,S的最大值为8.
能力提升
13.A 由图象知，经过点A，B，D的二次函数的图象开口向上,;
经过点A，B，C的二次函数的图象开口向上，；
经过点B，C，D的二次函数的图象开口向下，
经过点A，D，C的二次函数的图象开口向下，
因此只需比较图象经过点A，B，D和A，B，C的二次函数的a值即可.
把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入 得, 解得
把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入 得, 解得
∴a的值最大为 故选A.
14.解析 (1)由题意得 解得
则二次函数的解析式为
(2)当时,
∴点P(-2，3)在这个二次函数的图象上.
15.解析 (1)∵抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),
解得
∴抛物线的解析式为
(2)当 时, ∴点C的坐标为(0,3),∴OC
∵点B的坐标为
∵ 的面积是
16.解析 (1)设抛物线的解析式为 0),
∵抛物线的顶点为(2,-1),∴.
∵点C(0,3)在抛物线上,.
∴抛物线的解析式为
(2)如图，过点P作PD垂直于x轴交BC于D，连接PB,PC,
令 解得 或3,
∴点B的坐标为(3,0),则OB
∵点C的坐标为(0,3),∴直线BC的解析式为
设 则
3),
∴当 时, 有最大值，则P点的坐标为
(3)存在，如图，作直线CF交x轴于F,使.点Q为线段OC上一动点，过Q作 于点E,连接AQ.
∵∠OCF=45°,∴
过A作 于点H，则 即 的最小值为AH的长.
∵
的最小值为
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