4.3 对数 同步练习（Word版含解析）

《第三节　对数》同步练习
一、基础巩固
知识点1　对数的概念
1. 若对数式log(2a-1)(6-2a)有意义,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,3) B.(,3)
C.(,1)∪(1,+∞) D.(,1)∪(1,3)
2.(多选)[2022湘西高一上期末]下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A.100=1与lg 1=0
B.log39=2与=3
C.2与log27=-
D.log55=1与51=5
3. 方程的解是(　　)
A. B. C. D.9
4. 已知log7[log3(log2x)]=0,则 =　 .
知识点2　对数的运算
5.[2022天津部分区高一上期末]下列运算正确的是(　　)
A.=9
B.a2·=a3(a>0)
C.=1
D.()-2+lg =-
6.已知log3x=m,log3y=n,则log3用m,n可表示为(　　)
A.m-n B.m-n
C. D.m-n
7. 若a>0且a≠1,b>0,c>0,给出以下式子:
①loga;
②loga(b·c)=loga(b+c);
③loga(b·c)=logab+logac;
④loga(b-c)=;
⑤loga(b+c)=logab·logac;
⑥loga=logab-logac.
则正确的式子为　　　　(填序号).
8. 求值:
(1)log3+log220--log25=　;
(2)=　　　　;
(3)eln 4+lo25+lg 25+lg 2×lg 50+(lg 2)2=　　　　.
知识点3　对数换底公式
9.[2022安徽安庆高一期末]已知a=lg 2,b=lg 3,则log365=(　　)
A. B.
C. D.
10.[2022江苏盐城射阳二中高一月考]已知3m=2n=k且=2,则实数k的值为(　　)
A.15 B. C. D.6
11. 若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
二、能力提升
12. (多选)有以下四个结论,其中正确的是(　　)
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若e=ln x,则x=e2
D.ln(lg 1)=0
13.[2022山东聊城高一上期末]若xlog32=1,则4x=(　　)
A.9 B.3 C.2log32 D.2log23
14.[2022辽宁大连育明高级中学高一上期末]中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+),它表示:在被高斯白噪声干扰的信道中,最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从
1 000提升至5 000,则C大约增加了(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.20% B.23% C.28% D.50%
15. 若实数a,b,c满足25a=3b=15c=2 022,则下列式子正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
16.(多选)[2022江苏江阴南菁高中高一段考]已知正数x,y,z满足3x=4y=6z,则(　　)
A. B.3x=4y=6z
C.x+y>()z D.xy>2z2
17. 方程log2x+=1的解是x=　 .
18. 已知a,b,c均是不为1的正数,且lg a+lg b+lg c=0,则的值为　　　　.
19. 已知a>b>1,若logab+logba=,且ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　.
20. 设a,b,c为正数,且满足a2+b2=c2.
(1)求证:log2(1+)+log2(1+)=1;
(2)若log4(1+)=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值.
21. 甲、乙两人解关于x的方程:log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得到根,;乙写错了常数c,得到根,64.求原方程的根.
参考答案
一、基础巩固
1.D　由已知,得即所以2.ACD
3.A　由,得=2-2,所以log3x=-2,所以x=3-2=.
4.
5.C
6.D　log3=log3-log3=log3-log3(y·log3x-log3y=m-n.
7.③⑥
8.(1)0;(2)-2;(3)10
9.D　由题意知log365=.
10.C　因为3m=2n=k,所以m=log3k,n=log2k,所以=logk3+logk2=logk6=2,所以k2=6,又k>0 ,所以k=.
11. 解：原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,
设t=lg x,则2t2-4t+1=0.
令该方程的两根为t1,t2,则t1+t2=2,t1t2=.
由a,b是原方程的两个根,
不妨令t1=lg a,t2=lg b,
则lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
所以lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)()
=
=(lg a+lg b)·
=2×
=12,
即lg(ab)·(logab+logba)=12.
二、能力提升
12.AB　因为lg 10=ln e=1,lg 1=0,所以A,B均正确;C中,若e=ln x,则x=ee,故C错误;D中,lg 1=0,而ln 0没有意义,故D错误.
13.A　因为xlog32=1,所以x==log23,所以4x==()2=32=9.
14.B　将信噪比从1 000提升至5 000,C大约增加了≈≈0.233,所以C大约增加了23%.
15.A　由已知得52a=3b=15c=2 022,则2a=log52 022,b=log32 022,c=log152 022,所以=log2 0225,=log2 0223,=log2 02215.因为log2 0225+log2 0223=log2 02215,所以,故选A.
16.ACD　设3x=4y=6z=t,则t>1,x=log3t,y=log4t,z=log6t.
17.1
18.
19.3　
20. 解：(1)左边=log2[(1+)·(1+)]=log2=log2=log22=1=右边.
(2)由log4(1+)=1,得-3a+b+c=0,　①
由log8(a+b-c)=,得a+b-c=4,　②
由题设知a2+b2=c2,　③
由①②③及a,b,c为正数,可得a=6,b=8,c=10.
21. 解：原方程可变形为(log2x)2+blog2x+c=0.
因为甲写错了常数b,得到的根为和,
所以c=log2×log2=6.
因为乙写错了常数c,得到的根为和64,
所以b=-(log2+log264)=-(-1+6)=-5,
故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,
即(log2x-2)(log2x-3)=0,
所以log2x=2或log2x=3,即x=4或x=8.