3.4 函数的应用(一) 同步练习（Word版含解析）

《第四节　函数的应用(一)》同步练习
一、基础巩固
知识点1　已知函数模型的应用问题
1.[2022湖南邵阳高一月考]从地面竖直向上抛出一个小球,小球距离地面的高度h (单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(　　)
A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s
2. [2022重庆南开中学高一上期末]新冠肺炎疫情防控中,核酸检测是新冠肺炎确诊的有效手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成(称检测过程)平均耗时t(n)(单位:h)大致服从的关系为t(n)=t0,N0为常数.已知第16天检测过程平均耗时为16 h,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8 h,那么第49天检测过程平均耗时大约为(　　)
A.16 h B.11 h C.9 h D.8 h
3.[2022云南昆明市第一中学高一上期末]在线直播带货已经成为一种重要的销售方式,假设在线购买人数y与某产品销售单价x(单位:元)满足关系式:y=-x+40,其中20A.m的值为10 000
B.销售单价越低,在线购买人数越多
C.当x的值为30时利润最大
D.利润最大值为10 000
4. 通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间一段时间,学生保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经实验分析得知:
f(t)=
(1)讲课开始多少分钟,学生的注意力最集中 能持续多少分钟
(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较,何时学生的注意力更集中
(3)一道数学难题,需要讲解24 min,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目
知识点2　根据已知条件建立函数模型
5. 某商场以每件30元的价格购进一种商品,销售中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足函数关系m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润,则商场应将每件商品的售价定为(　　)
A.35元　 B.42元　 C.54元　 D.66元
6. 把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A. cm2 B.4 cm2
C.3 cm2 D.2 cm2
7.[2022江西九江高一上期末]某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购物的总金额不超过500元,不享受任何折扣;若顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:
可享受的折扣优惠金额 折扣率
不超过400元的部分 10%
超过400元的部分 20%
若某顾客在此超市享受折扣60元,则该顾客购物实际所付金额为(　　)
A.940元 B.1 000元
C.1 140元 D.1 200元
8.[2022黑龙江哈三中高一上期中]某公司成功研发A,B两种芯片,研发耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的净收入y1(千万元)与投入资金x1(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得净收入0.25千万元;生产B芯片的净收入y2(千万元)是关于投入资金x2(千万元)的幂函数,其图象如图所示.
(1)分别求出生产A,B两种芯片的净收入与投入资金的函数关系式.
(2)现在该公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示该公司所获利润,求最大利润及此时生产B芯片的投入资金.(利润=A芯片净收入+B芯片净收入-研发耗费资金)
9. 如图,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH绿地,使其四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上.已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地EFGH的面积为y.
(1)写出y关于x的函数解析式,并求出它的定义域.
(2)当AE为何值时,绿地面积y最大 并求出最大值.
二、能力提升
10.[2022广东惠州调考]某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(单位:cm,每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间的空气层厚度l(单位:cm)对保温效果的影响,利用傅立叶定律得到热流量q满足关系式q=λ1,其中玻璃的导热系数λ1=4×10-3 W/(cm·℃),不流通、干燥的空气的导热系数λ2=2.5×10-4 W/(cm·℃),ΔT为室内外温度差,q值越小,保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号 A型 B型 C型 D型
d 0.4 0.3 0.5 0.4
l 3 4 3 4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是(　　)
A.A型 B.B型 C.C型 D.D型
11.(多选)[2022福建福州高一上期末]边际函数是经济学中的一个基本概念,在国防、工程、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x台(x∈N* )的收入函数R(x)=3 000x-20x2,成本函数C(x)=500x+4 000,利润是收入与成本之差,设利润函数为P(x),则(　　)
A.P(x)取得最大值时每月产量为63台
B.边际利润函数的解析式为MP(x)=2 480-40x(x∈N* )
C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值不同
D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,增加生产一台的利润在减少
12.[2022山东日照高一上期末]2022年春节期间,某商场进行如下的优惠促销活动.
优惠方案1:一次购买商品的价格每满60元立减5元.
优惠方案2:在优惠1之后,再每满400元立减40元.
例如,一次购买商品的价格为860元,则实际支付额为860-5×[]-40×1=750(元),其中[x]表示不大于x的最大整数.
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品,他是分两次支付好,还是一次支付好 请说明理由.
(2)已知某商品是小明常用必需品,其单价为30元,小明趁商场促销,想多购买几件该商品,其预算不超过500元,求他应购买多少件该商品,才能使其平均价格最低 最低平均价格是多少
参考答案
一、基础巩固
1.A　令h=30t-5t2=0,得t=0(舍去)或t=6.故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6 s.
2.C　由第16天检测过程平均耗时为16 h,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8 h知,163.D　将x=25,y=2 015代入y=-x+40,得2 015=-25+40,解得m=10 000,故A说法正确.因为y=-x+40是减函数,故B说法正确.由题意,得利润为 f(x)=(x-20)(-x+40)=-x2+60x+9 200=-(x-30)2+10 100,所以当x=30时,最大利润为10 100元,故C说法正确,D说法错误.故选D.
4. 解：(1)当0当20所以讲课开始10 min,学生的注意力最集中,能持续10 min.
(2)因为f(5)=195,f(25)=205,195<205,
所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中.
(3)当0当20又28.57-4=24.57>24,
所以经过适当的安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.
5.B　设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.由题意得,y=m(x-30)=(162-3x)(x-30)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,每天获得的销售利润最大.
6.D　设一段长为x cm,则另一段长为(12-x)cm,分析知07.A　设该顾客购物总金额为x元,享受的折扣优惠金额为y元,则y=,因为60>40,所以x>900,所以令0.2(x-900)+40=60,解得x=1 000,故该顾客购物实际所付金额为1 000-60=940(元).
8. 解：(1)由题意可设y1=kx1,则0.25=k,故y1=0.25x1.
由题意可设y2=,由题图知y2=的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=,
故y2=.
(2)由题意知,f(x)=0.25(40-x)+-2=-0.25x+8=-0.25(-2)2+9,
由二次函数性质可知,当=2,即x=4时,f(x)有最大值9.
故所求最大利润为9千万元,此时生产B芯片的投入资金为4千万元.
9. 解：(1)由题意,得S△AEH=S△CFG=x2,
S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),
所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=-2x2+(a+2)x.
由得0故y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2].
(2)y=-2x2+(a+2)x=-2(x-)2+.
当<2且a>2,即2当≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上单调递增,
则当x=2时,ymax=2a-4.
综上所述,当2二、能力提升
10.D
11.BCD
12. 解析(1)若分两次支付,则支付额为250-5×[]+650-5×[]-40=790(元).
若一次支付,则支付额为900-5×[]-40×2=745(元).
因为745<790,所以一次支付好.
(2)设购买该商品x(x∈N*)件,其平均价格为y元/件.由于预算不超过500元,算上优惠,最多可购买19件.
当1≤x≤14时,不能享受每满400元立减40元的优惠,
此时y==30-×[],
当x=2n(n∈N*)时,y=30-×n=27.5,
当x=2n+1(n∈N*)时,y=30-×n=30->27.5,
所以当1≤x≤14时,购买偶数件时,平均价格最低,为27.5元/件.
当15≤x≤19时,能享受每满400元立减40元的优惠,此时y==30-×[]-,
当x=2n(n∈N*)时,y=30-×n-=27.5-,
则当n=8,即x=16时,ymin=25;
当x=2n+1(n∈N*)时,y=30-×n-=30-,
则当n=7,x=15时,ymin=25.
因为25<27.5,所以当购买15或16件时,平均价格最低,为25元/件.