4.4 对数函数 同步练习（Word版含解析）

《第四节　对数函数》同步练习
一、基础巩固
知识点1　对数函数的概念
1.[2022天津河北区高一上期末]函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,2) D.(1,2)∪(2,+∞)
2.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则f(8)=　　　　.
3. 已知f(x)为对数函数,f()=-2,则f()= 　　　.
4.[2022安徽池州市江南中学高一月考]若f(x-1)=1+lgx,则f(9)=　　　　.
知识点2　对数函数的图象及应用
5.函数f(x)=log2|2x-4|的图象为(　　)
6.[2022江苏省启东中学高一期中]函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则(　　)
A.cB.1C.cD.d7.(多选)[2022河北张家口高一上期末]在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是(　　)
8.[2022陕西西安市第七十五中学高一上期中]已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
9. 若函数y=loga(2x-3)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则A点坐标为　　　　.
知识点3　对数函数的性质及应用
10. 函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
11.[2022贵州遵义高一上期末]已知a=lo3,b=log0.590.55,c=2-0.1,则(　　)
A.aC.a12.[2022广西北海高一上期末]已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-4] B.(-4,1)
C.[-4,1) D.(0,1)
13.[2022天津杨村一中、宝坻一中等五校高一上联考]已知函数f(x)=x2+log2(1+|x|)+2,则使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,)∪(1,+∞)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(,1)
D.(-,)
14.(多选)[2022吉林梅河口五中高一上期中]已知函数f(x)=|lg x|,若0A.f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域是[0,+∞)
C.ab=1
D.a+2b的最小值是2
15. 函数f(x)=2x-lo(x+1)在区间[0,1]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
16. 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围　　　　.
17.[2022广东珠海高一期中]已知f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),f(1)=-2.
(1)求a的值以及函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)在[0,]上的最小值;
(3)求函数f(x)的单调递增区间.
知识点4　对数函数与指数函数互为反函数
18. 函数f(x)=2log4x与函数g(x)=2x的图象(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
19. 若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=()-x,则f(2)+g(4)=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
20.(多选)函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,则对于正数x,下列结论正确的是　(　　)
A.f(x2)=2f(x)
B.f(2x)=f(x)+f(2)
C.f(x)=f(x)-f(2)
D.f(2x)=2f(x)
知识点5　不同函数增长的差异
21.[2022中原名校高一上联考]下列函数中,随着x(x>1)的增大,函数值的增长速度最快的是(　　)
A.y=8lg x B.y=x8
C.y= D.y=9×8x
22. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10
根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是(参考数据:log32≈0.63)(　　)
A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5
C.y=2x-1 D.y=2
23.[2022重庆七中高一上期末]某企业常年生产一种出口产品,最近几年该产品的产量平稳增长.记2018年为第1年,且前4年中,第x年的年产量f(x)(单位:万件)如表所示:
年份 2018年 2019年 2020年 2021年
x 1 2 3 4
f(x) 7 12.78 25 49.13
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=a·2x+b,f(x)=x-1+a.
(1)选出最适合的函数模型(说明理由),然后选取第1,3年的数据求出相应的解析式;
(2)受某些因素的影响,2023年的年产量将比预计减少30%,根据所建立的函数模型,估计2023年的年产量.
二、能力提升
24. 已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)的值是(　　)
A.b B.-b C. D.-
25. 已知a,b均为不等于1的正数,且满足lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(　　)
26. 已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间[,]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,1) B.[,1)
C.(,1) D.[,1)
27.(多选)[2022江苏泰州高一上期末]已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),则(　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.函数f(x)在[-,1]上的最小值为0
D.若对任意的x∈[1,2],f(x)>1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2)
28. (多选)已知x1+log3x1=0,x2+log2x2=0,则下列正确的有(　　)
A.0B.0C.x2lg x1-x1lg x2<0
D.x2lg x1-x1lg x2>0
29.[2022江西景德镇高一上期末]已知函数f(x)=lg(x2-|x|+1),若函数f(x)在(t,t+1)(t∈R)上有最小值,则实数t的取值可能为(　　)
A.-2 B.- C.0 D.1
30.[2022广东佛山一中高一上段考]函数f(x)=ax+logax在[1,2]上的最大值和最小值之差为|a2-a|+1,则a的值为　　　　.
31. 已知函数f(x)=其中a>0,且a≠1,若函数f(x)的图象上有且只有一对点关于y轴对称,则实数a的取值范围是　　　　.
32.[2022安徽宿州高一期末]已知f(x)=ln(+x)+,若f(a)=2,则f(-a)=　　　　;若f(x2-1)≥0,则实数x的取值范围是　　　　.
33.[2022陕西安康高一上期末]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-lo(x+1).
(1)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式;
(2)求不等式f(lox)+f(log2(2x-1))<0的解集.
34. 已知f(x)是对数函数,并且它的图象过点(2,),g(x)=f 2(x)-2b·f(x)+3,其中b∈R.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求g(x)在[,16]上的最小值.
35. 如图所示,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求的最小值;
(3)已知h(x)=ax,φ(x)=bx,若x1,x2为区间(a,b)内任意两个变量,且x1参考答案
一、基础巩固
1.D　由题意得 x∈(1,2)∪(2,+∞).
2.3
3.
4.2
5.A　函数f(x)=log2|2x-4|的图象可以看作是将函数y=log2|2x|的图象向右平移2个单位长度得到的,故选A.
6.A　作直线y=1如图,则可知c7.BD　当a>1时,y=ax在R上单调递增,且其图象恒过点(0,1);y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递增,且其图象恒过点(3,0),故B正确.当08.D
9.(2,1)　 解：令2x-3=1,则x=2,y=1,所以A点坐标为(2,1).
10.A　因为3x>0,所以3x+1>1,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以log2(3x+1)>log 21=0,所以函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A.
11.A　因为a=lo3log0.590.59=1,012.C　当x≥1时,f(x)min=-2a.因为f(x)的值域为R,所以当x<1时,f(x)=(1-a)x+3的取值范围需包含(-∞,-2a),所以解得-4≤a<1.
13.C　因为x∈R,且f(-x)=(-x)2+log2(1+|-x|)+2=x2+log2(1+|x|)+2=f(x),所以f(x)是偶函数.当x≥0时,f(x)单调递增,则当x<0时,f(x)单调递减,所以原不等式可转化为|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得14.BC
15.3　1　解：因为y=2x在[0,1]上单调递增,y=lo(x+1)在[0,1]上单调递减,所以f(x)=2x-lo(x+1)在[0,1]上单调递增,所以f(x)的最大值为f(1)=21-lo2=2-(-1)=3,最小值为f(0)=20-lo1=1-0=1.
16.(1,+∞)　[0,1]　 解：若f(x)的定义域为R,则u=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方,所以解得a>1,即实数a的取值范围是(1,+∞).若f(x)的值域为R,则u=ax2+2x+1要取遍所有的正数,所以a=0或解得0≤a≤1,即实数a的取值范围是[0,1].
17. 解：(1)由f(1)=loga(1+1)+loga(3-1)=2loga2=-2,得a=.
故f(x)=(1+x)+(3-x).
由得-1故函数f(x)的定义域是(-1,3).
(2)由(1)得f(x)=[(1+x)(3-x)]=(-x2+2x+3).
令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,由x∈[0,],得t∈[3,4].因为函数y=t在t∈[3,4]上单调递减,所以f(x)min=4=-2.
因此函数y=f(x)在[0,]上的最小值是-2.
(3)由(2)得f(x)=[-(x-1)2+4],x∈(-1,3).
令g(x)=-(x-1)2+4,
则g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减,所以f(x)在[1,3)上单调递增,在(-1,1]上单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间为[1,3).
18.D　f(x)=2lox=log2x与g(x)=2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称.
19.D　因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=()-x=2x,所以g(x)=log2x,所以f(2)+g(4)=22+log24=6.
20. ABC
21.D　当x>1时,指数函数增长速度最快,幂函数次之,对数函数最慢,故函数y=9×8x的增长速度最快.
22.B　根据表中数据可得y随着x的增长而增长,且增长速度越来越趋于平缓,排除A,C;又当x=1时,若y=log3x+1.5,则y=log31+1.5=1.5,若y=2,则y=2,当x=2时,若y=log3x+1.5,则y=log32+1.5≈2.13,若y=2,则y=2≈2.83,所以排除D,故选B.
23. 解：(1)选择f(x)=a·2x+b,理由如下:从题中数据可以判断函数为增函数,所以排除f(x)=x-1+a.若选f(x)=ax+b,将数据(1,7)和(3,25)代入,可得 则f(x)=9x-2,则f(4)=34,这与49.13相差太多,所以选择f(x)=a·2x+b.
将数据(1,7)和(3,25)代入f(x)=a·2x+b,可得 故f(x)=3·2x+1.
(2)由表可知,2023年对应x=6,f(6)=3×26+1=193,因此2023年的年产量约为193×(1-30%)=135.1(万件).
二、能力提升
24.B　由于函数f(x)的定义域为(-1,1),f(-x)=lg=lg()-1=-lg=-f(x),所以f(x)是奇函数,则f(-a)=-f(a)=-b.
25.B　因为lg a+lg b=0,所以ab=1.因为g(x)=-logbx的定义域是(0,+∞),所以排除A.若a>1,则01,此时f(x)=ax是减函数,g(x)=-logbx是减函数.结合图象知选B.
26.A　当00,即0<-a<1,解得1时,函数f(x)在区间[,]上单调递增,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0(舍去).综上所述,实数a的取值范围是(,1).
27.ACD
28.BC
29.C
30.2或　解：当a>1时,函数f(x)=ax+logax在[1,2]上单调递增,则f(x)max=a2+loga2,f(x)min=a,所以a2+loga2-a=|a2-a|+1,得a=2.当031.(0,1)∪(1,4)
32.-2　[-,0)∪(0,]
33. 解：(1)当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-[-x-lo(-x+1)]=x+lo(-x+1),
所以函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x+lo(-x+1).
(2)当x≥0时,f(x)=x-lo(x+1)单调递增,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上为增函数.
由f(lox)+f(log2(2x-1))<0,得f(log2(2x-1))<-f(lox)=f(-lox)=f(log2x),
所以log2(2x-1)所以
所以不等式f(lox)+f(log2(2x-1))<0的解集为(,1).
34. 解：(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
因为f(x)的图象过点(2,),
所以f(2)=,即loga2,
所以=2,即a=2,
所以f(x)=log2x.
(2)设t=f(x),m(t)=t2-2bt+3=(t-b)2+3-b2,
因为≤x≤16,所以≤log2x≤4,即t∈[,4],函数m(t)的图象的对称轴方程为t=b.
①当b≤时,m(t)在[,4]上单调递增,ymin=m()=-b;
②当③当b≥4时,m(t)在[,4]上单调递减,ymin=m(4)=19-8b.
综上所述,g(x)min=
35. 解：(1)由题意,得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).
因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,
所以m=9.
(2)由题意,得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb),
因为AC与x轴平行,所以logmb=logca.
因为b=a2,所以m=c2,
所以=(-1)2-1,
所以当=1时,取得最小值,为-1.
(3)因为a1,
所以logca又a>1,b>1,所以,.
又logcb·logca=logca·logcb,
所以logc=logc,
所以,所以,
即h(f(x2))<φ(f(x1)).