3.3 幂函数 同步练习（Word版含解析）

《第三节　幂函数》同步练习
一、基础巩固
知识点1　幂函数的概念
1. (多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
A.y= B.y=2x2
C.y=2x+1 D.y=
2. 已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则实数a的值为(　　)
A.-1或2 B.-2或1
C.-1 D.1
知识点2　幂函数的图象及性质
3. 下列命题正确的是(　　)
A.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
B.当n=0时,函数y=xn的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数,则图象一定经过点(-1,1)
4. 如图是幂函数y=xn的部分图象,已知n取,2,-2,-这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　)
A.2,,-,-2 B.-2,-,,2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
5.(多选)[2022湖南张家界高一期末]已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),则(　　)
A.α=
B.函数f(x)的定义域为(0,+∞)
C.函数f(x)为偶函数
D.若x>1,则f(x)>1
6.[2022辽宁辽阳高一期末]有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个, 并给出这个函数的三个性质:(1)是偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增.若给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的函数是(　　)
A.y=x-1 B.y=x-2
C.y=x3 D.y=
7.[2022上海长宁区期末]已知a∈{-4,-1,-,,,1,2,3},若函数f(x)=xa在(0,+∞)上单调递减,且为偶函数,则a=　　　　.
8. 比较下列各组数的大小:
(1)(-2)-3,(-2.5)-3;
(2)(,(,(;
(3)4.,3.,(-1.9.
二、能力提升
9. [2022安徽部分重点高中高一上联考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足>0.若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
10. 已知幂函数y= (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点,且关于y轴对称,则m=(　　)
A.1 B.0,2
C.-1,1,3 D.0,1,2
11. 已知函数f(x)=在定义域上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1,6] B.(-1,6)
C.[4,6] D.[4,6)
12.[2022辽宁大连高一期末]已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0A. B.1 C. D.2
13.[2022湖北黄冈高一上期末]已知函数f(x)=3x5+x3+5x+2,若f(a)+f(2a-1)>4,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
14. 若A={α,β} {-2,-1,,,2},且函数f(x)=xα与g(x)=xβ的图象恰有2个交点,则满足条件的集合A有　　　　个.
15. 已知幂函数f(x)=(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若该函数的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
16. 已知幂函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(f())=8.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数g(x)=[f(x)-ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为-,求实数a的值.
参考答案
一、基础巩固
1.AD　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,A是α=-1的情形,D是α=-的情形,所以A和D都是幂函数;B中x2的系数是2,不是幂函数;易知C不是幂函数.
2.C　因为f(x)=(a2-a-1)x为幂函数,所以a2-a-1=1,即a=2或-1.又a-2≠0,所以a=-1.
3.D　对于A,幂函数y=xn的图象都经过点(1,1),当n≤0时,不过(0,0)点,故A不正确;对于B,当n=0时,幂函数y=xn=1(x≠0),图象是一条直线,除去(0,1)点,故B不正确;对于C,y=x与y=x3的图象有三个交点,这两个函数不相同,故C不正确;对于D,因为幂函数的图象都经过点(1,1),所以幂函数为偶函数时,图象一定经过点(-1,1),故D正确.故选D.
4.A
5.AD　由题意得4α=2,则α=,故A正确.f(x)=,则函数f(x)的定义域为[0,+∞),且f(x)为非奇非偶函数,故B,C错误.当x>1时,f(x)>f(1)=1,故D正确.故选AD.
6.B
7.-4
8. 解：(1)因为幂函数y=x-3在(-∞,0)上单调递减,且-2>-2.5,
所以(-2)-3<(-2.5)-3.
(2)因为y=在[0,+∞)上单调递增,(=(,(=(,且,所以(<(<(.
(3)因为幂函数y=在(0,+∞)上单调递增,
所以4.>1.>(,
又(1.9=(-1.9,
所以4.>(-1.9>3..
二、能力提升
9.B　由函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,故m=2,所以f(x)=x7.又f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上单调递增的奇函数.由a+b<0,得a<-b,所以f(a)10.C　因为幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点,且关于y轴对称,所以m2-2m-3≤0,且m2-2m-3(m∈Z)为偶数.由m2-2m-3≤0,解得-1≤m≤3.又m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3.当m=-1,1,3时,m2-2m-3为偶数,符合题意,故m=-1,1,3.
11.D　令h(x)=x2-4x+a(x≤1),g(x)=(x≥1).由于f(x)为单调函数,所以h(x),g(x)为单调函数,易知h(x)在(-∞,1]上单调递减,则g(x)=(x≥1)也单调递减,所以则所以4≤a<6.故选D.
12.B　由题意,AB=,CD=ma-mb,根据图象可知b>1>a>0,又0mb,因为AB=CD,所以m2a-m2b=(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb,因为ma-mb>0,所以ma+mb=1.
13.A　设g(x)=f(x)-2,则g(-x)=3(-x)5+(-x)3+5(-x)=-(3x5+x3+5x)=-g(x),即g(x)为奇函数.原不等式可化为f(a)-2>-[f(2a-1)-2],即g(a)>-g(2a-1)=g(1-2a).易知g(x)在R上递增,所以a>1-2a,即a>.
14.4
15. 解：(1)m为正整数,则m2+m=m(m+1)为偶数.
令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=,
据此可得函数f(x)的定义域为[0,+∞),函数f(x)在定义域内单调递增.
(2)由题意可得,所以m2+m=2,
解得m=1(m=-2舍去),
则f(x)=,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以由f(2-a)>f(a-1),可得2-a>a-1≥0,解得1≤a<,
故实数a的取值范围是[1,).
16. 解：(1)设f(x)=xα,则f()=()α=,f(f())=()α=.
因为f(f())=8,所以=23,所以=3,即α=±3.
当α=3时,f(x)=x3在(-∞,0)上单调递增,不满足题意,舍去;
当α=-3时,f(x)=x-3在(-∞,0)上单调递减,满足题意.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-3.
(2)函数f(x)为奇函数.理由如下:
由(1),知f(x)=x-3,其定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
所以函数f(x)=x-3是奇函数.
(3)由(1),得g(x)=(x-3-ax=x2-ax=(x-)2-,所以函数g(x)的图象的对称轴为直线x=.
①当1<<2,即2所以g(x)min=g()=-=-,解得a=±1,不满足2②当≤1,即a≤2时,因为g(x)在[1,2]上单调递增,
所以g(x)min=g(1)=1-a=-,即a=,满足a≤2,所以a=;
③当≥2,即a≥4时,
因为g(x)在[1,2]上单调递减,
所以g(x)min=g(2)=4-2a=-,即a=,不满足a≥4.
综上所述,a=.