5.3 诱导公式 同步练习（Word版含解析）

《第三节　诱导公式》同步练习
一、基础巩固
知识点1　利用诱导公式求值
1.[2022重庆十八中高一期中]cos 675°的值为(　　)
A. B.- C.- D.
2.化简sin 2(π+α)-cos (π+α)·cos (-α)+1的结果为(　　)
A.1 B.2sin 2α C.0 D.2
3.[2022河南商丘虞城县高级中学高一期末]已知cos (π-α)=-,则cos (α+)的值为(　　)
A.± B.± C. D.
4.[2021重庆高一上期末]若α是第二象限角,角β的终边经过点(cos (π+α),sin (-α)),则β为(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.[2021湖北鄂州高一上期末]已知角α是第四象限角,且满足sin (-α)-3cos (α-π)=1,则tan (π-α)=(　　)
A. B.- C. D.-
6.在平面直角坐标系xOy中,角α以x轴的非负半轴为始边,它的终边与单位圆交于第一象限内的点P(m,),则tan α=　　　　.保持角α始边位置不变,将其终边逆时针旋转得到角β,则cos β=　　　　.
7.[2022安徽六安毛坦厂中学月考]已知tan (π-α)=-3,求下列式子的值:
(1)tan α;
(2).
知识点2　利用诱导公式证明三角恒等式
8.求证:=1.
9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:
(1)cos (2A+B+C)=cos (B+C);
(2)sin ()=cos ().
二、能力提升
10.(多选)[2022云南昆明第一中学高二期中]若sin α=,则(　　)
A.cos (-α)= B.sin (-α)=
C.sin (π+α)= D.sin (π-α)=
11.[2022天津市耀华中学高一上期末]已知角A,B,C为△ABC的内角,若sin =sin ,则△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
12.化简的结果是(　　)
A.sin 3+cos 3
B.sin 3-cos 3
C.-sin 3+cos 3
D.-sin 3-cos 3
13.[2021安徽芜湖高一上期末]已知函数f(n)=2sin ()+1(n∈N*),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)=(　　)
A.2 020 B.2 021+
C.2 022+ D.2 022
14.(多选)[2022江苏省天一中学高一期中]已知函数f(x)=cos ,则下列等式恒成立的是(　　)
A.f(-x)=f(x)
B.f(-x)=-f(x)
C.f(2kπ+x)=f(x)(k∈Z)
D.f(2kπ-x)=(-1)k f(x)(k∈Z)
15.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin (π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　)
A.sin β= B.cos (π+β)=
C.tan β= D.cos (2π-β)=
16.[2022浙江金丽衢十二校、七彩阳光联盟联考]已知=1,cos β=sin ,β∈(,),且|tan β|>tan β,则tan (α+)=　　　　,β=　　　　.
17.已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos 2+cos 2=1;
(2)若cos (+A)sin (+B)tan (C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
18.[2021安徽合肥十中高一上期末]在①tan (π+α)=2, ②sin (π-α)-sin (-α)=cos (-α), ③2sin (+α)=cos (+α)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解下列问题.
问题:已知　　　　.
(1)求的值;
(2)当α为第三象限角时,求sin (-α)-cos (π+α)-cos (+α)sin (α-)的值.
参考答案
一、基础巩固
1.A　cos 675°=cos (720°-45°)=cos 45°=.
2.D　原式=(-sin α)2-(-cos α)·cos α+1=sin2α+cos 2α+1=2.故选D.
3.A　由cos (π-α)=-cos α,得cos α=,所以cos (α+)=-sin α=±=±.
4.D　由诱导公式得cos (π+α)=-cos α,sin(-α)=cos α.因为α是第二象限角,所以cos α<0,所以cos (π+α)>0,sin(-α)<0,故β为第四象限角.故选D.
5.A　由sin(-α)-3cos (α-π)=-cos α+3cos α=1,即cos α=.又角α是第四象限角,所以sin α=-=-,所以tan (π-α)=-tan α=-.故选A.
6.　-　解：因为角α的终边与单位圆交于第一象限内的点P(m,),所以由任意角的三角函数定义可得sin α=,所以cos α=,所以tan α=.由题意可得cos β=cos (α+)=-sin α=-.
7. 解：(1)因为tan (π-α)=-tan α=-3,
所以tan α=3.
(2)原式==-4.
8. 解：左边==1=右边,所以原式成立.
9. 解：(1)左边=cos (2A+B+C)=cos [A+(A+B+C)]=cos (π+A)=-cos A,
右边=cos (B+C)=cos (π-A)=-cos A,
所以左边=右边,即cos (2A+B+C)=cos (B+C).
(2)右边=cos ()=cos [(π-A)-]=cos ()=cos [-()]=sin()=左边,
所以sin()=cos ().
二、能力提升
10.AD
11.C　由sin =sin ,得sin =sin ,即sin (-C)=sin(-B),所以cos C=cos B,即B=C.故该三角形一定为等腰三角形.
12.B
13.B　由f(n)=2sin()+1(n∈N*),得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin()+1+2sin()+1+2sin()+1+2sin()+1=4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)=4×+2sin()+1=2 021+.故选B.
14.AD
15.ACD 由题知sin(π+α)=-sin α=-,所以sin α=,cos α=±.若角β与角α“广义互余”,则α+β=,即β=-α,则sin β=sin(-α)=cos α=±,cos β=cos (-α)=sin α=,tan β=±.对于A,sin β=,则角β可能与角α“广义互余”,故A正确;对于B,cos (π+β)=-cos β=,则cos β=-,所以角β不可能与角α“广义互余”,故B错误;对于C,tan β=,则角β可能与角α“广义互余”,故C正确;对于D,cos (2π-β)=cos β=,则角β可能与角α“广义互余”,故D正确.故选ACD.
16.-1　　解：由=1及sin2α+cos 2α=1,得sin α=1,所以α=+2kπ(k∈Z),所以tan (α+)=tan =-1.cos β=sin =sin(+kπ)=±,因为β∈(,),所以cos β<0,即cos β=-.又|tan β|>tan β,所以tan β<0,所以β∈(,π),所以β=.
17. 解：(1)因为在△ABC中,A+B=π-C,所以,
所以cos =cos ()=sin ,
所以cos 2+cos 2=sin2+cos 2=1.
(2)因为cos (+A)sin(+B)tan (C-π)<0,
所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,
即sin Acos Btan C<0.
又A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,所以cos Btan C<0,
即cos B<0,tan C>0或tan C<0,cos B>0,
所以B为钝角或C为钝角,
所以△ABC为钝角三角形.
18. 解：方案一　选条件①.
(1)由tan (π+α)=2,得tan α=2,
所以=8.
(2)tan α==2,即sin α=2cos α.
因为sin2α+cos 2α=1,
所以(2cos α)2+cos 2α=1,
又α为第三象限角,所以cos α=-,sin α=-.
所以sin(-α)-cos (π+α)-cos (+α)sin(α-)=-sin α+cos α+sin αcos α=-(-)-+(-)×(-)=.
方案二　选条件②.
(1)由sin(π-α)-sin(-α)=cos (-α),得sin α-cos α=cos α,即sin α=2cos α,tan α=2,
下同方案一.
(2)由(1)知sin α=2cos α.
下同方案一.
方案三　选条件③.
(1)由2sin(+α)=cos (+α),得2cos α=sin α,所以tan α=2,
下同方案一
(2)由(1)知sin α=2cos α.
下同方案一.