2022-2023学年北师大版七年级数学上册 第3章整式及其加减 解答专项练习题（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版七年级数学上册《第3章整式及其加减》解答专项练习题（附答案）
1．计算：
①n﹣（﹣n+3）；
②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3；
③5（3x﹣2y）﹣7（3x﹣2y）﹣3（3x﹣2y）+（3x﹣2y）；
④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x﹣1）]．
2．（1）化简：5m+2n﹣m﹣3n；
（2）化简：4（2x2﹣xy）﹣（x2+xy﹣6）；
（3）先化简，再求值：，其中m＝2，x＝﹣3．
3．先化简，再求值：﹣2x2﹣[3y2﹣2（x2﹣y2）+6]，其中|x+2|+（y﹣）2＝0．
4．已知代数式A＝﹣6x2y+4xy2﹣5，B＝﹣3x2y+2xy2﹣3．
（1）求A﹣B的值，其中|x﹣1|+（y+2）2＝0．
（2）请问A﹣2B的值与x，y的取值是否有关系，试说明理由．
5．已知代数式A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2．
（1）求3A﹣（2A+3B）的值；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值；
（3）若3A﹣（2A+3B）的值与y的取值无关，求此时3A﹣（2A+3B）的值．
6．已知A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2．
（1）求A+B； （2）求（A﹣B）；
（3）若2A﹣2B+9C＝0，当a，b互为倒数时，求C的值．
7．已知2x2y2m+5和与﹣xny是同类项，化简后求代数式2（mn﹣3m2）﹣（mn+6m2）+2mn的值．
8．数学中，运用整体思想方法在求整式的值时非常重要．
例如：已知m2+3m＝1，则2m2+6m+1＝2（m2+3m）+1＝2×1+1＝3．
请你根据上面材料解答以下问题：
（1）若n2﹣2n＝3，求2﹣n2+2n的值；
（2）当x＝1时，px3+qx﹣1＝4，当x＝﹣1时，求px3+qx﹣1的值；
（3）当x＝2021时，ax5+bx3+cx+2＝k，当x＝﹣2021时，直接写出ax5+bx3+cx+2的值（用含k的式子表示）．
9．已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，2A+B＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）求出2A﹣B的表达式；
（3）小强同学说：“当c＝2021时和c＝﹣2021时，（2）中的结果都是一样的”，你认为你对吗？若a＝，b＝，求（2）中式子的值．
10．某文具批发店销售一款笔记本，一次性批发价如下表：
批发数量（本） 不超过200本 超过200本的部分
单价（元） 6元 5元
（1）若小明在该店一次性批发250本上述笔记本，则他需付的费用为 　 　元；
（2）某零售店店主小强分两次向该批发店共批发1200本该款笔记本，第一次批发m本，且第二次批发的数量超过第一次批发的数量，则小强两次批发笔记本共付费多少元？（用含m的代数式表示）
11．已知：关于x、y的多项式x2+ax﹣y+b与多项式bx2﹣3x+6y﹣3的差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）的值．
12．先化简，再求值．
（1）已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，求多项式3[2（a+b）﹣ab]﹣[2（a+b）﹣ab]的值；
（2）已知A＝nx2﹣2x﹣1，B＝2x2﹣mx+4，当2A﹣3B的值与x的取值无关时，求多项式（m2﹣3mn+2n2）﹣（2m2+mn﹣4n2）的值．
13．【观察思考】
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：
第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆；第3个图形有16个小圆，……按此规律依次递增
【规律总结】
（1）第4个图形有 　 　个小圆，第5个图形有 　 　个小圆；
（2）第n个图形有 　 　个小圆（用含n的代数式表示）；
【问题解决】
（3）用310个小圆摆成第n个图形，问：n是多少？
14．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．
解答下列问题：
（1）填表：（n代表第n个图形）
n 1 2 3 4 5 … n
黑点个数 1 3 7 13 　 　 … 　 　
（2）当n＝100时，黑点个数为 　 　；
（3）当n＝　 　时，黑点个数为381．
15．用黑、白正方形按如图规律排列．
（1）第10个和第11个图形中，黑色正方形各有多少个？
（2）找出图形变化的规律，说明第n个图形中黑色正方形的个数与n的关系．
（3）这列图形中，是否存在黑色正方形的个数为2019的图形？
16．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明；
（3）计算：
．
17．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
18．先阅读，再解题：因为，，…
所以
＝
＝
＝．
参照上述解法计算：．
19．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x（x＞20）条．
（1）若该客户按方案一购买，需付款多少元（用含x的式子表示）？若该客户按方案二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）？
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方法吗？试写出你的购买方法和所需费用．
20．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
参考答案
1．解：①n﹣（﹣n+3）
＝n+n﹣3
＝2n﹣3，
②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3
＝（4a3﹣3a3）+（﹣3a2b+a2b）+（5ab2﹣5ab2）
＝a3+（﹣2a2b）
＝a3﹣2a2b，
③5（3x﹣2y）﹣7（3x﹣2y）﹣3（3x﹣2y）+（3x﹣2y）
＝（5﹣7﹣3+1）（3x﹣2y）
＝﹣4（3x﹣2y）
＝﹣12x+8y，
④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x﹣1）]
＝5x2﹣7x﹣（3x2+2x2﹣8x+2）
＝5x2﹣7x﹣（5x2﹣8x+2）
＝5x2﹣7x﹣5x2+8x﹣2
＝（5x2﹣5x2）+（﹣7x+8x）﹣2
＝x﹣2．
2．解：（1）原式＝（5﹣1）m+（2﹣3）n
＝4m﹣n；
（2）原式＝8x2﹣4xy﹣x2﹣xy+6
＝7x2﹣5xy+6；
（3）原式＝﹣mx2+mx﹣1+2+2mx2+mx
＝mx2+mx+1；
当m＝2，x＝﹣3时，
原式＝2×（﹣3）2+2×（﹣3）+1
＝18﹣6+1
＝13．
3．解：原式＝﹣2x ﹣[3y ﹣2x2+2y2+6]
＝﹣2x2﹣+x2﹣3
＝﹣﹣3；
∵|x+2|+（y﹣）2＝0，|x+2|≥0，（y﹣）2≥0，
∴x+2＝0．y﹣＝0．
∴x＝﹣2，y＝．
原式＝﹣（﹣2）2﹣﹣3
＝﹣4﹣﹣3
＝﹣7．
4．解：（1）A﹣B
＝（﹣6x2y+4xy2﹣5）﹣（﹣3x2y+2xy2﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣5+3x2y﹣2xy2+3
＝﹣3x2y+2xy2﹣2．
∵|x﹣1|+（y+2）2＝0，|x﹣1|≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2．
∴A﹣B＝﹣3×12×（﹣2）+2×1×（﹣2）2﹣2
＝﹣3×1×（﹣2）+2×1×4﹣2
＝6+8﹣2
＝12；
（2）A﹣2B的值与x，y的取值无关．理由：
∵A﹣2B
＝（﹣6x2y+4xy2﹣5）﹣2（﹣3x2y+2xy2﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣5+6x2y﹣4xy2+6
＝1，
∴A﹣2B的值与x，y的取值无关．
5．解：（1）∵A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2，
∴3A﹣（2A+3B）
＝3A﹣2A﹣3B
＝A﹣3B
＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣3（x2﹣xy+2）
＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣3x2+3xy﹣6
＝﹣x2+8xy﹣7y﹣9；
（2）∵A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2，
∴A﹣2B
＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣2（x2﹣xy+2）
＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣2x2+2xy﹣4
＝7xy﹣7y﹣7
＝7y（x﹣1）﹣7，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴y＝0；
（3）∵3A﹣（2A+3B）
＝﹣x2+8xy﹣7y﹣9
＝﹣x2+（8x﹣7）y﹣9，
又∵3A﹣（2A+3B）的值与y的取值无关，
∴8x﹣7＝0，
∴x＝，
∴3A﹣（2A+3B）
＝﹣x2﹣9
＝﹣（）2﹣9
＝﹣9．
6．解：（1）∵A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2，
∴A+B
＝（a2﹣2ab+b2）+（a2+2ab+b2）
＝a2﹣2ab+b2+a2+2ab+b2
＝2a2+2b2；
（2）∵A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2，
∴（A﹣B）
＝[（a2﹣2ab+b2）﹣（a2+2ab+b2）]
＝（a2﹣2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2）
＝×（﹣4ab）
＝﹣ab；
（3）∵2A﹣2B+9C＝0，
∴C＝﹣（A﹣B），
由（2）知（A﹣B）＝﹣ab，
则A﹣B＝﹣4ab，
∴C＝﹣×（﹣4ab）＝ab，
∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∴C＝×1＝．
7．解：∵2x2y2m+5和﹣xny是同类项，
∴n＝2，2m+5＝1，
∴m＝﹣2，n＝2，
2（mn﹣3m2）﹣（mn+6m2）+2mn
＝2mn﹣6m2﹣mn﹣6m2+2mn
＝3mn﹣12m2，
把m＝﹣2，n＝2代入上式得：
上式＝3×（﹣2）×2﹣12×（﹣2）2＝
＝﹣12﹣12×4
＝﹣12﹣48
＝﹣60．
8．解：（1）∵n2﹣2n＝3，
∴2﹣n2+2n
＝2﹣（n2﹣2n）
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）∵当x＝1时，px3+qx﹣1＝4，
∴p+q﹣1＝4．
∴p+q＝5．
∴当x＝﹣1时，
px3+qx﹣1
＝﹣p﹣q﹣1
＝﹣（p+q）﹣1
＝﹣5﹣1
＝﹣6；
（3）∵当x＝2021时，ax5+bx3+cx+2＝k，
∴20215a+20213b+2021c+2＝k．
∴20215a+20213b+2021c＝k﹣2．
∴当x＝﹣2021时，
ax5+bx3+cx+2
＝﹣20215a﹣20213b﹣2021c+2
＝﹣（20215a+20213b+2021c）+2
＝﹣（k﹣2）+2
＝﹣k+2+2
＝﹣k+4．
9．解：（1）∵A＝3a2b﹣2ab2+abc，2A+B＝4a2b﹣3ab2+4abc，
∴B＝（4a2b﹣3ab2+4abc）﹣2A
＝（4a2b﹣3ab2+4abc）﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc
＝﹣2a2b+ab2+2abc．
（2）2A﹣B
＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）
＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc
＝8a2b﹣5ab2．
（3）由（2）可知，当c＝2021时和c＝﹣2021时，（2）中的结果都是一样的，
∴小强同学说的对；
当a＝，b＝时，原式＝﹣＝0．
10．解：（1）200×6+5（250﹣200）＝1450，
答：他需付的费用为1450元；
故答案为：1450；
（2）由题意得：1200﹣m＞m，
∴m＜600，
①当0＜m≤200时，1200﹣m≥1000，
依题意，得
小强两次批发笔记本共付费为：6m+[200×6+5（1200﹣m﹣200）]＝6m+1200+5000﹣5m＝m+6200．
②当200＜m＜600时，600＜1200﹣m＜1000，依题意，得
小强两次批发笔记本共付费为：[200×6+5（m﹣200）]+[200×6+5（1200﹣m﹣200）]＝1200+5m﹣1000+1200+5000﹣5m＝6400．
综上所述，当0＜m≤200时，小强两次批发笔记本共付费（m+6200）元；
当200＜m＜600时，小强两次批发笔记本共付费6400元．
11．解：（x2+ax﹣y+b）﹣（bx2﹣3x+6y﹣3）
＝x2+ax﹣y+b﹣bx2+3x﹣6y+3
＝（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y+b+3，
∵（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y+b+3与字母x的取值无关，
∴1﹣b＝0，a+3＝0，
∴b＝1，a＝﹣3，
3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）
＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣4a2﹣ab﹣b2）
＝﹣a2﹣7ab﹣4b2，
当b＝1，a＝﹣3时
原式＝﹣（﹣3）2﹣7×（﹣3）×1﹣4×12
＝﹣9+21﹣4
＝8．
12．解：（1）原式＝2[2（a+b）﹣ab]
＝2（2a+2b﹣ab）
＝4a+4b﹣2ab，
∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴原式＝4×2+4×3﹣2×2×3＝8+12﹣12＝8．
（2）∵A＝nx2﹣2x﹣1，B＝2x2﹣mx+4，
∴2A﹣3B＝2（nx2﹣2x﹣1）﹣3（2x2﹣mx+4）
＝3nx2﹣4x﹣2﹣6x2+mx﹣12
＝（3n﹣6）x2+（m﹣4）x﹣14，
∵2A﹣3B的值与x的取值无关，
∴3n﹣6＝0，m﹣4＝0，
∴n＝2，m＝4，
∴（m2﹣3mn+2n2）﹣（2m2+mn﹣4n2）
＝m2﹣3mn+2n2﹣2m2﹣mn+4n2
＝﹣m2﹣4mn+6n2
＝﹣42﹣4×4×2+6×22
＝﹣16﹣32+24
＝﹣24．
13．解：（1）由题意可知第1个图形有小圆4+2＝6个；
第2个图形有小圆4+（2+4）＝10个；
第3个图形有小圆4+（2+4+6）＝16个；
第4个图形有小圆4+（2+4+6+8）＝24个；
第5个图形有小圆4+（2+4+6+8+10）＝34个；
故答案为：24，34；
（2）第n个图形有小圆4+（2+4+6+8+…+2n）＝（n2+n+4）个，
故答案为：（n2+n+4）；
（3）由题意得，n2+n+4＝310，
解得n＝17或﹣18（舍去），
答：n是17．
14．解：（1）图1黑点的个数是：1；
图2黑点的个数是：3＝1+（2﹣1）×2；
图3黑点的个数是：7＝1+（3﹣1）×3；
…
图n黑点的个数为：1+（n﹣1） n＝n2﹣n+1；
故图5中黑点的个数为：52﹣5+1＝21，
故答案为：21；n2﹣n+1；
（2）当n＝100时，1002﹣100+1＝9901；
故答案为：9901；
（3）由题意得：n2﹣n+1＝381，
解得：n＝20，n＝﹣19（舍去），
故答案为：20．
15．解：（1）由图可得，
图（1）中黑色正方形的个数为：2，
图（2）中黑色正方形的个数为：2+1＝3，
图（3）中黑色正方形的个数为：2×2+1＝5，
图（4）中黑色正方形的个数为：2×2+1×2＝6，
图（5）中黑色正方形的个数为：2×3+1×2＝8，
故第10个图形中黑色正方形的个数为：2×5+1×5＝15，第11个图中黑色正方形的个数为：2×6+1×5＝17；
（2）由（1）可得，
当n为偶数时，黑色正方形的个数为：2×+1×＝，
当n为奇数时，黑色正方形的个数为：2×+1×＝，
由上可得，当n为偶数时，黑色正方形的个数为，当n为奇数时，黑色正方形的个数为；
（3）当n为偶数时，令＝2019，得n＝1346，
当n为奇数时，令＝2019，得n＝1345（舍去），
由上可得，存在黑色正方形的个数为2019的图形，此时正好是第1346个图形．
16．解：（1）由题意可得，
第5个等式是：1+＝，
故答案为：1+＝；
（2）由题意可得，
第n个等式是：1+＝，
证明：∵1+
＝
＝
＝，
∴1+＝成立，
故答案为：1+＝；
（3）
＝××××…×
＝××…×
＝
＝．
17．解：（1）根据已知等式可知：第6个等式为：6﹣＝62×；
故答案为：6﹣＝62×；
（2）第n个等式为：n﹣＝n2×．
证明：∵左边＝＝＝n2×＝右边．
∴等式成立．
故答案为：n﹣＝n2×．
18．解：由题意可得：＝（1﹣），＝（），
∴＝（1﹣）+（）+（﹣）+…+（），
＝×（1﹣﹣+﹣…+﹣）
＝×（1﹣）
＝
＝．
19．解：（1）按方案一购买，需付款：200×20+40（x﹣20）＝（3200+40x）元，
按方案二购买，需付款：200×20×90%+40×90%x＝（3600+36x）元；
（2）当x＝30时，方案一需付款：3200+40×30＝4400（元），
方案二需付款：3600+36×30＝4680（元），
∵4400＜4680，
∴当x＝30时，按方案一购买较为合算；
更省钱的方案是：先按方案一购买20件西服，花200×20＝4000（元），这样送了20条领带，再按方案二购买30﹣20＝10（条）领带，
这样共花4000+40×（30﹣20）×90%＝4360（元），
答：当x＝30时，按方案一购买较为合算，更为省钱的购买方法是先按方案一购买20件西服，再按方案二购买10条领带，所需费用为4360元．
20．解：（1）3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝4，
∴3x2﹣6y＝12，
∴3x2﹣6y﹣21＝12﹣21＝﹣9；
（3）∵a﹣2b＝3①，2b﹣c＝﹣5②，c﹣d＝10③，
∴①+②得，a﹣c＝﹣2，
②+③得，2b﹣d＝5，
∴（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）
＝﹣2+5﹣（﹣5）
＝8．