2022-2023学年苏科版九年级数学上册 第1章一元二次方程 解答专项练习题 （word版含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》解答专项练习题（附答案）
1．解方程：
（1）用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0；
（2）选用适当的方法解方程：（x﹣3）2+（x﹣6）2＝9．
2．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣3x+2＝0； （2）x2﹣x﹣3＝0．
3．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝36求m的值．
4．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
6．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
7．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时；△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
8．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积为52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由．
9．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天的销售数量为 　 　件（用含a的代数式表示）．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
（3）该商店每天的销售利润可能达到1450元吗？请说明理由．
10．已知关于x的方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．
（1）求证：无论k取任何数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好都是这个方程的两个根，求此时的k值和这个等腰三角形的周长．
（3）若方程有两个根分别是x1，x2，是否存在|x1﹣x2|＝2，若存在，请求k的值，若不存在，请说明理由．
11．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4cm？
12．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元．
（1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
13．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
14．某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
15．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．
16．一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？
17．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
18．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动．
（1）是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
（2）几秒后，△PQD是以DP为斜边的直角三角形．
20．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（2）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？
参考答案
1．解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣6x+9+x2﹣12x+36＝9，
整理得：2x2﹣18x+36＝0，即x2﹣9x+18＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝6．
2．解：（1）x2﹣3x+2＝0，
将方程变形，得（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
（2）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝＞0，
∴x＝＝，
解得x1＝，x2＝．
3．（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1+x2＝2m，，
∴+＝＝4m2﹣2m2+18＝36，
化简，得2m2＝18，
解得m＝3或m＝﹣3．
4．（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：依题意有Δ＝（k﹣3）2＝0，则k＝3，
将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．
解得x1＝x2＝3．
故△ABC的周长是2+3+3＝8．
5．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
6．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
7．（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
8．解：（1）∵花圃的宽AB为x米，
∴花圃的长AD为（24﹣3x）米．
依题意得：x（24﹣3x）＝36，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
当x＝2时，24﹣3x＝24﹣3×2＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝24﹣3×6＝6＜10，符合题意．
答：此时宽AB为6米．
（2）不能围成面积为52平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（24﹣3x）＝52，
整理得：3x2﹣24x+52＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×3×52＝﹣48＜0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为52平方米的花圃．
9．解：（1）20+2×a＝（2a+20）（件）．
故答案为：（2a+20）．
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，即40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（3）该商店每天的销售利润不可能达到1450元．
理由：由（2）可得，（40﹣x）（20+2x）＝1450，
∴x2﹣30x+325＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝302﹣4×325＜0，
∴原方程没有实数根，
∴该商店每天的销售利润不可能达到1450元．
10．（1）证明：当k＝0时，方程化为﹣8x+8＝0，
解得：x＝1，方程有解；
当k≠0时，
∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k
＝（k﹣8）2，
∵（k﹣8）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：解方程kx2﹣（k+8）x+8＝0得x1＝，x2＝1，
①当腰长为4，则k＝2，
周长＝4+4+1＝9，
②当底边为14，
∴x1＝x2，
∴k＝8，
1+1＜4，不符合题意．
故k＝2，周长为9；
（3）解：解方程kx2﹣（k+8）x+8＝0得x1＝，x2＝1，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴|﹣1|＝2，
解得k＝或﹣8．
11．解：设经过t秒后，P，Q两点的距离是4cm，
根据题意，得（2t）2+（6﹣t）2＝（4）2，
整理，得（5t﹣2）（t﹣2）＝0，
解得t1＝，t2＝2．
当t＝2时，2t＝4＜8，符合题意，
答：秒或2秒后，P，Q两点间的距离等于4cm．
12．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
64（1﹣a）2＝49，
解得：a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝12.5%，
答：每次下降的百分率为12.5%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（10+x）（500﹣40x）＝4500，
整理，得 2x2﹣5x﹣25＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），
答：该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元．
13．解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
14．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1+x）个，三月份平均日产量为40000（1+x）2个，
依题意得：40000（1+x）2＝48400，
解得：x1＝﹣2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）48400×（1+10%）＝53240（个）．
答：预计四月份平均日产量为53240个．
15．解：（1）设AB的长为x米，
依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；
（2）不能．
理由：假设长方形ABCD的面积是110平方米，
依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x2﹣36x+110＝0，
∵Δ＝（﹣36）2﹣4×3×110＝﹣24＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴假设不成立，
∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．
16．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，
则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量12+4＝16（件），
利润为：18×16＝288．
（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，
由题意得：（20﹣x）（12+2x）＝320，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
∴（x﹣4）（x﹣10）＝0，
∴x1＝4，x2＝10，
∵每件盈利不少于15元，
∴x2＝10应舍去．
答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．
17．解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．
解得：x1＝20，x2＝10，
∵扩大销售量，增加利润，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）依题意，可列方程：
（40﹣x）（20+2x）＝2000，
化简，得x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到2000元．
18．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
19．解：（1）不存在．
设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．
∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ，
∴6×12﹣×12×x﹣×（6﹣x） 2x﹣（12﹣2x）×6＝8，
∴x2﹣6x+28＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×28＝﹣76＜0，
∴原方程无实数根，
即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2．
（2）∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴PD2＝t2+122，PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，QD2＝（12﹣2t）2+62，
∵△PQD是以DP为斜边的直角三角形，
∴PD2＝PQ2+QD2，即t2+122＝（6﹣t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+62，
整理得2t2﹣15t+18＝0，
解之得t1＝6，t2＝，
即当t为秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形．
20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝12﹣x，BQ＝2x，
∴12﹣x＝2×2x，
解得x＝，
当∠QPB＝90°时，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴2x＝2（12﹣x），
解得x＝6．
答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；
（2）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB＝90°，
∴∠DQB＝30°，
∴DB＝BQ＝x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝x，
∴＝10，
解得x1＝10，x2＝2，
∵x＝10时，2x＞12，故舍去，
∴x＝2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．