高中数学人教A版（2019）必修一 5.4.2 正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）
一、单选题
1．（2021高一下·安徽开学考）函数 图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足 ，解得对称轴方程为 .
故答案为：D.
【分析】 根据正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足，即可解得函数图象的对称轴方程.
2．（2021高一下·信阳期末）函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由 ， ，得 ， ．取 ，得 ．
故答案为：B．
【分析】 由题意利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.
3．（2019高一下·揭阳期中）函数 图像的一个对称中心是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】由 ，
得 ，
当 时， ，
所以函数图象的一个对称中心为 ，
故答案为：D．
【分析】利用换元法将三角型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象的对称性，最后借助取特殊值的方法，求出函数 图像的一个对称中心。
4．（2019高一上·沈阳月考）函数 的图像（ ）
A．关于 轴对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，A，C不符合题意；
当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；
当 时， ，函数值为0，关于点 中心对称；
故答案为：D.
【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.
5．（2020高一下·泸县月考）已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】函数 的图象关于直线 对称，
则： ，
即： ，
当 时， ．
故选C．
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．
6．（2020高一上·合肥期末）函数 的图象（ ）
A．关于点（－ ，0）对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x= 对称
【答案】A
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】 关于点（－ ，0）对称，
故答案为：A.
【分析】利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，从而利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称性。
7．（2022·武昌模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．图象关于点对称 B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称 D．图象关于直线对称
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题可得，设
，
，解得
，
，所以可知函数的对称中心为
.
设
，解得
，所以可知函数的对称轴为
，通过对比选项可知，图象关于直线
对称成立.
故答案为：C.
【分析】 利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质，逐项进行判断，即可得答案.
8．（2021高二下·成都月考）若曲线 关于直线 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为 关于直线 对称 ，所以，所以又因为，所以的最大值是.
故答案为：B
【分析】先根据正弦函数的性质，写出该函数的对称轴的通式，再由的范围确定最大值。
9．（2020高一上·保山月考）在 上，满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】根据 的图象可知：当 时， 或 ，
数形结合可知：
当 ，得 ．
故答案为：B.
【分析】根据 的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
10．（2022·邯郸模拟）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故答案为：C
【分析】根据正弦函数的定义和值域求出答案.
11．（2020高一上·定远期末）设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D． 在 上的最小值为0
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ， ，所以，A、B选项均错误；
当 时， ，所以，函数 在区间 上单调递减，C选项正确；
当 时， ，则 ，D选项错误.
故答案为：C.
【分析】由特殊点法代入数值，然后结合正弦函数图象的性质即可判断出选项A、B错误；再由整体思想结合正弦函数的单调性即可求出函数f(x)的单调性，由此判断出选项C正确；由正弦函数的图象和性质即可求出函数f(x)的最小值，由此判断出选项D错误，从而得出答案。
12．（2020高三上·贵溪月考）三个数 ， ， 的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】余弦函数的性质；诱导公式
【解析】【解答】因为 ， ， ，
又余弦函数 在 上单调递减，
所以 ，
因此 ，即 .
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式以及余弦函数的单调性，即可判断出结果。
二、填空题
13．（2019高一上·扬州月考）函数 的图像的对称轴方程为 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 的图像的对称轴方程是 ，令 ，得 ，∴所求的对称轴方程为 ．
答案：
【分析】利用 的图像的对称轴方程是 ，直接令 ，进而求解即可
14．（2020高一下·揭阳期末）若 ，则满足 的 的取值范围为 ；
【答案】
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】当 时，令 ，解得 或 ，
如图，绘出正弦函数图象，结合函数图象可知，
当 时， 的解集为
【分析】先令 ，解得 或 ，再根据正弦函数图象得出 的解集。
15．（2020高一上·武汉月考）函数 ， 的值域是 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 时， ，
所以 ，即 时， ，又 时， ，
所以函数值域为 ．
【分析】根据题意由x的取值范围即可得出，然后由正弦函数的性质即可求出函数的最值，从而得出函数的值域。
三、解答题
16．（2021高一下·岑溪期末）已知函数 ，且 .
（1）求 的值.
（2）当 时，函数 的最小值.
【答案】（1）解： 且 ，
（2）解：由（1）知： ，当 时， ，
∴当 ，即 时，
【知识点】正弦函数的性质；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数的定义直接求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
17．（2022高一下·伊犁期末）已知函数，为常数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）设时，若函数的最小值为-2，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴的最小正周期
（2）解：当时，，
故当时，函数取得最小值，
∴的最小值为，
∴
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)利用正弦函数的周期性，求得函数f(x)的最小正周期；
(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值.
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一、单选题
1．（2021高一下·安徽开学考）函数 图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021高一下·信阳期末）函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一下·揭阳期中）函数 图像的一个对称中心是
A． B． C． D．
4．（2019高一上·沈阳月考）函数 的图像（ ）
A．关于 轴对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
5．（2020高一下·泸县月考）已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一上·合肥期末）函数 的图象（ ）
A．关于点（－ ，0）对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x= 对称
7．（2022·武昌模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．图象关于点对称 B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称 D．图象关于直线对称
8．（2021高二下·成都月考）若曲线 关于直线 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·保山月考）在 上，满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·邯郸模拟）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高一上·定远期末）设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D． 在 上的最小值为0
12．（2020高三上·贵溪月考）三个数 ， ， 的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2019高一上·扬州月考）函数 的图像的对称轴方程为 ．
14．（2020高一下·揭阳期末）若 ，则满足 的 的取值范围为 ；
15．（2020高一上·武汉月考）函数 ， 的值域是 ．
三、解答题
16．（2021高一下·岑溪期末）已知函数 ，且 .
（1）求 的值.
（2）当 时，函数 的最小值.
17．（2022高一下·伊犁期末）已知函数，为常数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）设时，若函数的最小值为-2，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足 ，解得对称轴方程为 .
故答案为：D.
【分析】 根据正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足，即可解得函数图象的对称轴方程.
2．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由 ， ，得 ， ．取 ，得 ．
故答案为：B．
【分析】 由题意利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.
3．【答案】D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】由 ，
得 ，
当 时， ，
所以函数图象的一个对称中心为 ，
故答案为：D．
【分析】利用换元法将三角型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象的对称性，最后借助取特殊值的方法，求出函数 图像的一个对称中心。
4．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，A，C不符合题意；
当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；
当 时， ，函数值为0，关于点 中心对称；
故答案为：D.
【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.
5．【答案】C
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】函数 的图象关于直线 对称，
则： ，
即： ，
当 时， ．
故选C．
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．
6．【答案】A
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】 关于点（－ ，0）对称，
故答案为：A.
【分析】利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，从而利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称性。
7．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题可得，设
，
，解得
，
，所以可知函数的对称中心为
.
设
，解得
，所以可知函数的对称轴为
，通过对比选项可知，图象关于直线
对称成立.
故答案为：C.
【分析】 利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质，逐项进行判断，即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为 关于直线 对称 ，所以，所以又因为，所以的最大值是.
故答案为：B
【分析】先根据正弦函数的性质，写出该函数的对称轴的通式，再由的范围确定最大值。
9．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】根据 的图象可知：当 时， 或 ，
数形结合可知：
当 ，得 ．
故答案为：B.
【分析】根据 的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
10．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故答案为：C
【分析】根据正弦函数的定义和值域求出答案.
11．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ， ，所以，A、B选项均错误；
当 时， ，所以，函数 在区间 上单调递减，C选项正确；
当 时， ，则 ，D选项错误.
故答案为：C.
【分析】由特殊点法代入数值，然后结合正弦函数图象的性质即可判断出选项A、B错误；再由整体思想结合正弦函数的单调性即可求出函数f(x)的单调性，由此判断出选项C正确；由正弦函数的图象和性质即可求出函数f(x)的最小值，由此判断出选项D错误，从而得出答案。
12．【答案】B
【知识点】余弦函数的性质；诱导公式
【解析】【解答】因为 ， ， ，
又余弦函数 在 上单调递减，
所以 ，
因此 ，即 .
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式以及余弦函数的单调性，即可判断出结果。
13．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 的图像的对称轴方程是 ，令 ，得 ，∴所求的对称轴方程为 ．
答案：
【分析】利用 的图像的对称轴方程是 ，直接令 ，进而求解即可
14．【答案】
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】当 时，令 ，解得 或 ，
如图，绘出正弦函数图象，结合函数图象可知，
当 时， 的解集为
【分析】先令 ，解得 或 ，再根据正弦函数图象得出 的解集。
15．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 时， ，
所以 ，即 时， ，又 时， ，
所以函数值域为 ．
【分析】根据题意由x的取值范围即可得出，然后由正弦函数的性质即可求出函数的最值，从而得出函数的值域。
16．【答案】（1）解： 且 ，
（2）解：由（1）知： ，当 时， ，
∴当 ，即 时，
【知识点】正弦函数的性质；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数的定义直接求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
17．【答案】（1）解：∵，
∴的最小正周期
（2）解：当时，，
故当时，函数取得最小值，
∴的最小值为，
∴
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)利用正弦函数的周期性，求得函数f(x)的最小正周期；
(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值.
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