新人教A版高二1.2空间向量基本定理（含解析）

新人教A版高二1.2 空间向量基本定理
1.若为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A.共线 B.共线
C.共线 D.四点共面
2.正方体中分别是的中点，以为基底，设，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图所示，在空间四边形中和为对角线为的重心，连接并延长，交于点是上一点，以为基底，则（ ）
A. B.
C. D.
4.平行六面体中，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.若是空间的一个基底，向量，则可以与构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
6.在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.在平行六面体中若则的位置为（ ）
A.鰽的对角线交点 B.鰽的对角线的交点
C.鱀的对角线的交点 D.点的位置
8.如图，在正方体中是棱的中点分别为线段上的点，且若则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，记则 .(用表示)
10.如图，在正三棱柱中，若则与所成角的大小为 .
11.平行六面体中，底面是边长为的正方形则对角线的长度为 .
12.下列关于空间向量的说法中，正确的有 .（填序号）
①若向量与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量满足，则有
③若是空间的一个基底，
且，则四点共面;
④若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.
13.在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
14.已知正四面体的棱长为点分别是的中点.
(1)证明：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
15.在空间四边形中，已知则与的位置关系是 .
16.如图，在正方体中为与的交点为的中点，求证：平面平面.

参考答案
1.【答案】:D
【解析】:向量不能构成空间的一个基底，向量共面，因此四点共面，故选D.
2.【答案】:A
【解析】:连接则
，
又，
所以.
3.【答案】:A
【解析】:连接则
.
4.【答案】:D
【解析】:根据题意得，
故选D．
5.【答案】:C
【解析】:是空间的一个基底，则不共面.对于选项A，，故共面，故A错误；对于选项B，，故共面，故B错误；对于选项C，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确；对于选项D，易得，故共面，故D错误.故选C.
6.【答案】:C
【解析】:如图，设
则
.
，
异面直线与所成角的余弦值为.故选C.
7.【答案】:B
【解析】:连接. 因为所以
即，所以
所以为的中点，即为鰽的对角线的交点.故选B.
8.【答案】:D
【解析】:设,这三个向量不共面且两两垂直，故构成空间的一个基底.
.
因为所以
所以
解得.
9.【答案】:
【解析】:连接
.
10.【答案】:
【解析】:设，则为空间的一个基底.设则 ，所以所以即与所成角的大小为.
11.【答案】:
【解析】:由得
，故.
12.【答案】:①③④
【解析】:①若向量与空间任意向量都不能构成基底，则这两个向量为共线向量，即，故①正确；
②若非零向量满足，则与的关系不确定，故②错误；
③若是空间的一个基底，则三点不共线，又，由空间向量基本定理得到四点共面，故③正确；
④若是空间的一个基底，则对于空间任何一个向量，存在唯一的实数组｛｝，使，则也是空间的一个基底，故④正确.
13
(1)【答案】是的中点，
.
(2)【答案】是的中点，
.
(3)【答案】是的中点，
.
又
.
14
(1)【答案】
,
,
即.
(2)【答案】
又
异面直线与所成角的余弦值为.
15.【答案】:垂直
【解析】:
即
,
，故即.
16.【答案】:连接.设这三个向量不共面且两两垂直，则为空间的一个基底，且, .
,
,


,
,即.
又平面.又 平面平面.
第 11 页,共11 页