第一章 全等三角形单元测试卷（困难）（含答案）

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苏科版初中数学八年级上册第一章《全等三角形》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图所示，≌，≌，，，在一条直线上．下列结论：是的平分线；；；线段是的中线； 其中正确的有个．( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形的周长和面积都一样
C. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
D. 全等三角形的边都相等
如图所示，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是( )
A. B. C. D.
如图，在和中，，，连接，连接并延长交，于点，若恰好平分，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
如图，，，过点作的垂线交的延长线于点若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
如图方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，则图中与全等的格点三角形有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，在中，，，，是线段上的两个动点，且，过点，分别作，的垂线相交于点，垂足分别为，有以下结论：；当点与点重合时，；∽；其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，下列结论：；；是等边三角形；，．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，与中，，，，交于给出下列结论：；；；其中正确的结论个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为( )
A. B. C. D.
如图，已知点、、、在同一条直线上，，，添加一个条件仍无法证明≌是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则______
如图，在、上各取一点、，使连接、，、相交于点，再连接、，若，则图中全等的三角形有 对
如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．
的长为___用含的代数式表示
连接，当线段经过点时，___．
如图所示，，，，结论：其中正确的有________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在中，已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒厘米的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒．
请直接写出、的长度用含有的代数式表示 ， ；
当为多少时，的面积为？
请利用备用图探究，当为多少时，？并简要说明理由．
已知：点到的两边，所在直线的距离相等，且．
如图，若点在边上，求证：；
如图，若点在的内部，求证：；
若点在的外部，成立吗？请画出图表示．
在三角形中，点在线段上，交于点，点在直线上，作直线，过点作直线交直线于点．
在如图所示的情况下，求证：；
若三角形不变，，两点的位置也不变，点在直线上运动．
当点在三角形内部时，说明与的数量关系；
当点在三角形外部时，中结论是否依然成立？若不成立，与又有怎样的数量关系？请在图中画图探究，并说明理由．
已知：如图，直线：分别交，轴于、两点．以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，；直线经过点与点，且与直线在轴下方相交于点．
请求出直线的函数关系式；
求出的面积；
在直线上不同于点，是否存在一点，使得与面积相等，如若存在，请求出点的坐标；如若不存在，请说明理由；
在坐标轴上是否存在点，使的面积与四边形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在中，，，点在线段上运动点不与点、重合，连接，作，交线段于点．
当时，______，______；
线段的长度为何值时，≌？请说明理由；
在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
已知点，在直线的同侧．
如图，在直线上找一点，使得线段最小请通过画图指出点的位置：
如图，在直线上取两点、，恰好能使和均为等边三角形．、分别是线段、上的动点，连接交于点，连接交于点．
当点、分别是、的中点时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
如图，若点、分别从点和开始沿和以相同的速度向点匀速运动，当、与点重合时运动停止，判断在运动过程中线段与直线的位置关系，并说明理由．
如图，长方形中，，，现有一动点从出发以秒的速度，沿矩形的边返回到点停止，设点运动的时间为秒．
当时，______；
当为何值时，连接，，的面积为长方形面积的三分之一；
为边上的点，且，当为何值时，以长方形的两个顶点及点为顶点的三角形与全等．
已知：如图，中，，，是的中线，点在上，且求证：．
如图，已知凸五边形中，，为其对角线，．
如图，若，，且求证：平分；
如图，与互补，，若凸五边形面积为，且求点到的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．
根据全等三角形的对应角相等得出，即可判断；先由全等三角形的对应边相等得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，则，再根据全等三角形的对应角相等得出，即可判断；根据全等三角形的对应角相等得出，，从而可判断，即可判断；根据全等三角形的对应边相等得出，再根据三角形中线的定义即可判断；根据全等三角形的对应边相等得出，但、、可能不在同一直线上，所以可能不等于，据此判断
【解答】
解：≌，
，
是的平分线，故正确；
≌，
，，
，
，
≌，
，
，
、、可能不在同一直线上
可能不垂直于，故不正确；
≌，≌，
，，
若、、不在同一直线上，则，
，故不正确；
≌，
，
线段是的中线，故正确；
≌，
，
若、、不在同一直线上，则，
，故不正确．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质；注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键．认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A、C错误；
两个三角形全等，它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
全等三角形的对应边相等，故选项D错误；
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、，，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．由是、的中点，可得，，再有，可以根据全等三角形的判定方法，判定≌．
【解答】
解：是、的中点，
，，
在和中，
≌，
因此判定≌的理由是．
故选A．

4.【答案】
【解析】解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，故A选项不符合题意；
，故D选项不符合题意；
B.≌，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
内错角相等，两直线平行，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明，故C选项符合题意．
故选：．
利用证明≌可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明≌是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：
连接，延长、交于，
，，
，
，，
，
，
由三角形内角和定理得：，
在和中
≌，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，延长、交于，求出，根据全等三角形的判定得出≌，求出，求出，根据等腰三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，
，，
，，
在中，，
，
点为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
延长，过点作于点，
可得，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：．
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】如图所示，与全等的格点三角形共有个，分别为，，，，，，，，， ，．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，是等腰直角三角形，
则，故正确；
如图，当点与点重合时，点与点重合，
，，
，
，
，四边形是矩形，
，
，，
，
是的中点
是的中位线，
，故正确；
如图所示，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
．
故正确．
，，
．
将顺时针旋转至
，，；；
，
，
．
在和中，
，
，
．
，
，
，即，故错误；
故选：．
由题意知，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
如图，当点与点重合时，点与点重合，可得，四边形是矩形，进一步得到是的中位线，从而作出判断；
根据可证；
如图所示，可证，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断．
本题考查了相似三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
9.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，故正确；错误，
为的中点，
，故正确；
，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
，
，，
≌，
，
，
故正确，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断；由为的中点且可判断；证≌可判断，证明≌，推出，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在与中，
，
≌，
，
；
由，，
可知：∽；
，
，
由∽，可得，
．
综上可知：正确．
故选：．
先根据已知条件证明≌，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积，作交于，作，利用角平分线的性质得到，进而得出一组三角形全等，将的面积转化为的面积来求即可。
【解答】
解：如图，过作于点，在上取一点，连接，使，
，，
是的角平分线，，
，，
在和中，
，
，
，
又，，
，
，
和的面积分别为和，
，
．
故选B．

12.【答案】
【解析】解：若添加：．
，，，
≌；
若添加：，则，
，，，
≌；
若添加：，
，，，
≌；
若添加：，则无法证明≌；
故选：．
已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边，即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的判定，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13.【答案】
【解析】解：、分别是、两边上的高，
，
，，
，
在和中
，
≌，
，
，，
，
，，
，
即，
故答案为：．
首先证明≌可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【解答】
解：在与中，
；
，
，，
．
在与中，
；
，
，，，
．
在与中，
；
在与中，
则；
，
．
在与中，
．
综上所述，图中全等三角形共对．
故答案为：．
15.【答案】；
．
【解析】解：点从点出发，沿方向以的速度运动，设点的运动时间为．
的长为．
故答案为：；
在和中，
，
≌，
，，
当线段经过点时，
在和中，
，
≌，
，
的长为，
，
解得：．
故答案为：．
根据点从点出发，沿方向以的速度运动即可得；
由证明≌，即可得，证≌，得，当时，，解出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：，，，及学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
由，，，利用“”得到与全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到与相等，与相等，与相等，然后在等式两边都减去，得到与相等，然后再由，，，利用“”得到与全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项和正确；然后再，，，利用“”得到与全等，故选项正确；若选项正确，得到与相等，且都为，而不一定为，故错误．
【解答】
解：在和中，
，，，
≌，
，，，
，即，
在和中，
，，，
≌，
，，故选项和正确；
在和中，
，，公共角，
≌，故选项正确；
若，，而不一定为，故错误，
则正确的选项有：．
故答案为．

17.【答案】解：；；
，，
，
．
若在点右侧，则，；
若在点左侧，则，；
综上所述：当为或时，的面积为；
动点从点沿射线方向运动秒或当动点从点沿射线的反向延长线方向运动秒时，≌．
理由如下：如图所示：
当在射线上时，必在上，则需．
，
，
，
在和中，
，
≌．
当在的反向延长线上时，必在延长线上，则需．
，，
，
，
在和中，
，
≌．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，三角形面积等内容，掌握相关知识并能够熟练应用是解题关键．
根据路程速度时间，即可得出结果；
首先求出中边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出的值，分两种情况分别求出的值即可；
假设≌，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含的代数式表示和，得到关于的方程，从而求出的值．
【解答】
解：根据题意得：，；
故答案为；；
见答案；
见答案．
18.【答案】证明：过点分别作于，于，
由题意知，
在和中
，
≌，
，
；
过点分别作于，于，
由题意知，，
在和中
，
≌，
，
又，
，
，
；
不一定成立，当的平分线所在直线与边的垂直平分线重合时，否则如示例图

【解析】求证，就是求证，可通过构建全等三角形来求．过点分别作于，于，那么可以用斜边直角边定理证明≌来实现；
首先得出≌，进而得出；
不一定成立，当的平分线所在直线与边的垂直平分线重合时，有；否则，．
本题的关键是通过辅助线来构建全等三角形．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
19.【答案】解：证明：
，
，
，
，
，
即；
，理由如下：
，
，
，
；
当点在三角形外部时，中结论不成立，．
理由如下：
如图，当点在直线上方时，
，
；
如图，当点在直线下方时，
，
，
综上所述，当点在三角形外部时，．
【解析】本题考查了作图复杂作图和平行线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
利用平行线的性质即可证明；
，由平行线的性质可得，由此得证；
中结论不成立，分两种情况讨论即可．
20.【答案】解：直线分别交轴，轴于，两点，
令，则，
．
令，则，
．
过点作轴于点，
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，且
在与中
，
，
，，
，
，
又，
设直线的解析式为，则有
解得：
直线的解析式为：．
联立方程组
解得：
．
．
存在．
与面积相等，且底相等，
底边上的高相等，
点的纵坐标为，
在中，令，则，
，
点坐标为．
存在．
在中，由勾股定理得：
，
，
．
当点在轴上时，设点坐标为，如图，
的面积与四边形的面积相等，
，
解得：或，
坐标为或；
当点在轴上时，设点坐标为，
若点在点左侧，则，如图，
则，
，
解得：不合题意，舍去

若点在线段上包括两个端点，即，如图，
则，
，
解得：
点坐标为；
若点位于点的右侧，则，如图，
则，
，
解得：不合题意，
此时点不存在；
或，
，
解得：
点坐标为；
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
．
【解析】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
先求得、两点坐标，然后过点作轴于点，利用可证明≌，确定点的坐标，再用待定系数法求函数解析式；
联立方程组求得点的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积；
结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果；
易求得四边形的面积，分点在轴或轴上两种情况，在轴上又分三种情况，设点的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解．
21.【答案】解：，；
当时，≌，
理由：，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
当的度数为或时，的形状是等腰三角形，
当时，，
；
当时，，
，
此时，点与点重合，不合题意；
当时，，
；
综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形．
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据三角形内角和定理和等腰三角形的定义，三角形外角的性质，得到答案；
当时，利用，，得到，根据，，证明≌；
分、、三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形内角和定理和三角形外角性质计算．
【解答】
解：，
，
，，
，
，
故答案为：；；
见答案．
22.【答案】解：如图所示，点就是所求作；
，理由：
点、分别是、的中点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由：如图，连接，
由运动知，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
【解析】此题是三角形综合题，主要考查了中垂线的作法，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，判断出≌是解本题的关键．
先作出点关于直线的对称点连接交直线于点；
先判断出，，进而判断出≌，即可得出结论；
同的方法判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，得出是等边三角形即可得出结论．
23.【答案】解：当时，点走过的路程为：，
，
点运动到线段上，
，
故答案为：；
矩形的面积，
三角形的面积，
，
的高为：，
如图，
当点在上时，，
，
当点在上时，，
，
当或时，的面积为长方形面积的三分之一；
根据题意，如图，连接，则，，，
要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，
当点运动到时，，此时≌，
点的路程为：，
，
当点运动到时，，此时≌，
点的路程为：，
，
当点运动到时，，此时≌，
点的路程为：，
，
当点运动到时，即与重合时，，此时≌，
点的路程为：，
，
综上所述，时间的值可以是：，，或，
故答案为：或或或．
【解析】当时，点运动到线段上，即可得到的长度；
由的面积为长方形面积的三分之一，分为点在上和点在上两种情况讨论，即可得到答案；
根据题意，要使一个三角形与全等，则点的位置可以有四个，根据点运动的位置，即可计算出时间．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
24.【答案】证明：延长到使，连接，
是的中线，
，
在与中，
，
≌，
，，
，是的中线，
，
，
，
，
．
【解析】延长到使，连接，由是的中线，得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】证明：延长到，使得，连接．
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
平分．
解：延长到，使得，过点作于．
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
点到的距离为．
【解析】延长到，使得，连接证明≌，≌，可得结论．
延长到，使得，过点作于证明≌，≌，由题意，推出，再利用三角形面积公式求出即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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