2022-2023学年新高一入学评估考试——数学试题4（Word版含解析）

20222023学年新高一入学评估考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若命题p：，，则命题P的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列说法正确的序号为（ ）
①若，则；
②若，则；
③若a>b，c>d，则；
④若，c<0，则
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
5．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
7．若，，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
8．下列命题中的假命题是（ ）
A．对于命题，，则
B．抛物线的准线方程是
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若两直线与平行，则它们之间的距离为
二、多选题
9．下列集合的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题正确的是.
A．函数与函数的图象关于直线对称
B．已知，集合，，若，则
C．，的否定是，
D．时，
11．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．给出以下说法，其中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“存在，”的否定为假命题
D．命题“，”是假命题的a的取值范围为
三、填空题
13．命题“，”的否定是________．
14．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如下表所示：
1 2 3 4
4.00 5.61 7.00 8.87
若近似符合以下三种函数模型之一：①，②，③.则你认为最适合的函数模型的序号为______.
15．已知则的取值范围为____________.
16．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B为____
四、解答题
17．设集合
(1)当 时，求;
(2)若求实数的取值范围.
18．已知命题命题若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围.
19．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，
（1）求三角形面积取最小值时直线的方程；
（2）求取最小值时直线的方程．
20．已知集合，集合．
(1)若，且，求实数的取值范围．
(2)，若是的必要条件，判断实数是否存在，若存在求的范围．
21．已知函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)函数为方程的两个实根，求的最大值.
22．中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产(百辆)，需另投入成本万元，由于生产能力有限，不超过且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2018年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式：(利润=销售额-成本)
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由集合的交并补运算即可求解.
【详解】
，
.
故选：.
2．D
【解析】
【分析】
由特称命题的否定，将存在改任意并否定原结论，即可确定答案.
【详解】
由特称命题的否定为全称命题，
所以原命题的否定为，.
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合向量相等与其模相等的意义直接判断作答.
【详解】
当时，因向量，的方向不一定相同，则与不一定相等，当时，必有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
①④通过不等式的性质判断，②③可举反例判断.
【详解】
对于①若，即，则，正确；
对于②若，则，错误；
对于③若，则，错误；
对于④若，则，由于，则，正确.
故①④正确.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
先求出集合B,再根据集合的交集运算求得答案.
【详解】
,
所以，
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
若“”是“”的充分不必要条件，则“”的解集是的真子集，从而得解.
【详解】
由，可得，解得.
若“”是“”的充分不必要条件，则.
.
故选D.
【点睛】
本题考查了必要条件问题，是中档题．判断充要条件的方法是：①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
7．B
【解析】
【分析】
由题意将所给的代数式进行恒等变形，然后结合均值不等式的结论即可求得最小值.
【详解】
由题意可得：
.
当且仅当，即时等号成立.
据此可得的最小值是.
故选：B
8．B
【解析】
对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断；对B，可得抛物线准线方程为；对C，解出可判断；对D，求出直线间距离可判断.
【详解】
对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断A是真命题，不符合题意；
对B，抛物线的标准方程为，准线方程为，故B是假命题，符合题意；
对C，由可解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故C是真命题，不符合题意；
对D，直线可化为，两直线距离为，故D是真命题，不符合题意.
故选：B.
9．ACD
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系 集合与集合的关系 空集是任意集合的子集逐项判断.
【详解】
解：A．空集是任意非空集合的真子集，故A正确；
C.空集是任意集合的子集，因为是含有一个元素的集合，所以正确；
D.空集是空集构成的集合中的元素，满足属于关系，故D正确，
B中左边是空集，右边是含有一个元素的集合，不相等，B不正确；
故选：ACD.
10．AB
【解析】
A.根据函数与函数互为反函数判断；B.根据求得x，y判断；C. 根据存在量词命题是全称量词命题判断；D. 分和利用基本不等式判断.
【详解】
A.因为函数与函数互为反函数,故他们的图象关于直线对称,故正确；
B. 因为集合，，由，所以 ，故，故正确；
C. ，的否定是，，故错误；
D. 时，，当且仅当，即时，取等号，
时，，当且仅当，即时，取等号，故错误；
故选：AB
11．ACD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.
【详解】
因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，，所以；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
12．ACD
【解析】
【分析】
根据充分条件与必要条件和命题的相关知识，对每个选项分析即可.
【详解】
对于A选项，不能推出，能推出，所以”是“”的必要不充分条件，故正确；
对于B选项，不能推出，也不能推出，是的既不充分也不必要条件，故错误；
对于C选项，当时，，，所以原命题为真，其否定为假，故正确；
对于D选项，，是假命题，则其否定，是真命题，即， 恒成立，，所以a的取值范围为，故正确.
故选：ACD
13．，
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，”的否定是：“，”.
故答案为：，.
14．①.
【解析】
【分析】
把给出的三个模型分别验证，即可找出一个比较合适的模型即可.
【详解】
符合条件的是①，
若模型为，则由，得，
即，
此时，，，与已知相差太大，不符合，
若模型为，则是减函数，与已知不符合，
故答案为：①
【点睛】
本题考查了常见函数模型的应用，需掌握常见函数的性质，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
令，列方程组求出，再利用不等式的性质即可求出的取值范围．
【详解】
解：令，
则，
，解得，
，
，
，
两不等式相加可得，
即的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式性质的应用，关键是利用待定系数法将用表示出来，是一道基础题．
16．｛0，2，4｝
【解析】
【分析】
根据集合补集与并集的定义求结果.
【详解】
.
【点睛】
本题考查集合补集与并集概念，考查基本求解能力，属基础题.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接写出集合，再计算即可；
（2）分和列出不等式求解即可.
(1)
当 时，，；
(2)
若，，解得，符合题意；
若，由得，解得，
综上：.
18．或.
【解析】
【分析】
求出命题是真命题时的范围，命题是假命题时的范围，然后求交集即可的结果.
【详解】
命题；，是真命题，因为；
命题为假命题则为真命题，
则，解得或，
命题是真命题，命题是假命题，则实数的取值范围为或
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，，，直线的方程为：，则，由基本不等式计算取得最小值时和的值即可求解；
（2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解；
【详解】
（1）设，，，则直线的方程为：，
因为直线过点，所以，
由，所以，，
当且仅当即时，取得最小值，
此时三角形面积最小，直线的方程为：，即，
（2）因为，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以当取最小值时直线的方程为即.
20．(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
根据已知条件，分别求解出集合和集合的范围，得到，再根据，通过对集合是不是空集进行讨论，分别求解即可完成解答；
根据第（1）问求解出来的，通过对集合进行整体求解，结合提议条件，列式即可判断.
(1)
集合，解得：；
集合，解得：；
所以，，而，则有：
①当时，满足，即时，成立；
②当时，满足，即时，成立；
综上所述，实数的取值范围为.
(2)
由第（1）问可知，，而，整理得，解得：，由是的必要条件可得，，如果成立，需满足，解得：，即存在实数满足已知条件，实数的范围为.
21．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）写出二次函数对应的二次方程，计算判别式，判断方程根的情况，从而求出不等式的解集．
（2）化简方程，利用方程的根与系数的关系，结合二次函数的性质，转化求解函数的最大值即可．
(1)
解：对于二次函数，其对应的二次方程为，
所以，所以方程的两根为，．
由，即，即
当，即时，解得，即不等式的解集为；
当，即时，原不等式等价于，所以不等式的解集为；
当，即时，解得，即不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式无解；
当时，不等式的解集为．
(2)
解：函数，函数，
方程，
可得，
即，，为方程的两个实根，
，即，解得，
可得，，
，开口向下，对称轴为，
所以函数在上单调递减，所以
即的最大值为．
22．（1）（2）当时，2018年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元；当时，2018年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）根据利润=销售额-成本可求得结果；
（2）分两段求出各段的最大值，再比较取更大的作为利润的最大值.
【详解】
（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，,
所以当时，取得最大值，最大值为万元，
当时，，
若，则在上单调递减，此时当时，取得最小值，最小值为，取得最大值为万元，
因为，所以在上为减函数，
所以，即，
此时，
所以的最大值为万元，
当时，万元，当且仅当时，等号成立.此时的最大值为万元.
综上所述：当时，2018年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元；
当时，2018年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
答案第1页，共2页
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