1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 同步课时训练（Word版含解析）

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-训练
概念练习
1.若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
3.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为( )
A. B. C. D.
4.过，两点的直线的一个方向向量为，则( )
A. B. C.-1 D.1
5.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是( )
A.-6 B.6 C.14 D.-14
二、能力提升
6.已知分别为直线的方向向量，则( )
A. ，但与不垂直
B. ，但与不垂直
C. ，但与不垂直
D. 两两互相垂直
7.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数z等于( )
A.3 B.6 C.-9 D.9
（多选）
8.已知空间中三点,则下列说法不正确的是( )
A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是
C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是
9.已知v为直线l的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则( )
A. B.
C. D.
10.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则不能使的向量是( )
A. B.
C. D.
11.已知的顶点坐标分别为，，，则内角A的角平分线所在直线方程为____________.
12.已知直线的方向向量,且过和两点,则________._________.
13.已知直线的方向向量,且过和,则_____________,__________.
14.在如图所示的几何体中,四边形为正方形,四边形为直角梯形,.
(1)连接,求与平面所成角的正弦值.
(2)线段或其延长线上是否存在点,使平面平面 证明你的结论.
15.如图,在三棱柱中,平面分别是的中点.
(1)证明:;
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设直线l的倾斜角为，因为直线l的一个方向向量为，
所以，
因为，所以，
故选：B.
2.答案：D
解析：直线的斜率为，故其方向向量为.故选：D.
3.答案：D
解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，
则，
因此直线l的单位方向向量为，故选D.
4.答案：C
解析：解法一：由直线上的两点，，得，
又直线AB的一个方向向量为，因此，
，解得，故选C.
解法二：由直线的方向向量为得，
直线的斜率为，
所以，解得.故选C.
5.答案：A
解析：,,故选A.
6.答案：A
解析：因为，，，所以，a与c不垂直，，即，但与不垂直.
7.答案：C
解析：由题意可得，则，解得.故选C.
8.答案：ABC
解析：对于A,,所以不存在实数,使得,则与不是共线向量,所以A错误;对于B,因为,所以与同向的单位向量为,所以B错误;对于C,向量,所以,所以C错误;对于D项,设平面的一个法向量是,所以则令,则平面的一个法向量为,所以D正确.故选ABC.
9.答案：AB
解析：平面不重合，平面的法向量平行等价于平面平行，故A正确；易知B正确；当时，，故C错误；当时，或，故D错误.
10.答案：ABC
解析：直线的方向向量为,平面的法向量为,则使,只需即可.四个选项中,只有D选项满足.
11.答案：
解析：,
三角形ABC的内角A的平分线的方向向量为,直线的斜率为7，所以直线的方程为,即.
12.答案：;
解析：∵,而,
∴,
∴,.
13.答案：;
解析：因为直线的方向向量,且过和,,,解得.
14.答案：(1)以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.
不妨设,则,,设平面的一个法向量为.
有取,得,则.故与平面所成角的正弦值为.
(2)设点的坐标为,则,设平面的一个法向量为,
有取,得,
则.
若平面平面,则,解得,
故点在的延长线上,且.
15.答案：(1)如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则有,.,,即.
(2)假设平面的一个法向量为,
由得
取,得.
又平面的一个法向量为,
.
即平面与平面所成角的余弦值为.
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