人教B版（2019）选择性必修第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量 同步课时训练（Word版含解析）

1.2.2 空间中的平面与空间向量
概念练习
1.四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知平面内有一点，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是( )
A. B. C. D.
3.已知直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是( )
A. B. C.或 D.l与相交但不垂直
4.已知平面内两向量,若为平面的法向量且，则的值分别为( )
A. B. C.1，2 D.
5.若已知两个向量，，则平面ABC的一个法向量为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.已知向量，平面的一个法向量，若，则( )
A.， B.， C. D.
7.若平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A.（1,0,1） B.（1,0，-1） C.（0,1,1） D.（-1,1,0）
（多选）
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C.是平面ABCD的一个法向量 D.
9.下列说法中正确的是( )
A.平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直
D.如果向量与平面共面,且向量满足,那么就是平面的一个法向量
10.如图,在正方体中,以为原点建立空间直角坐标系,为的中点,为的中点,则下列向量中,不能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
11.在中，，，.若向量n与平面ABC垂直，且，则n的坐标为___________.
12.正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④中，不能作为底面ABCD的法向量的是_________.(填序号)
13.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则 .
14.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD,E为PD的中点，，.试建立恰当的空间直角坐标系，并求平面ACE的一个法向量.
15.如图所示,在直三棱柱中,为的中点,证明:平面平面.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设平面ABCD的法向量为，则，
即，，
取，则，
这个四棱锥的高.故选：D.
2.答案：B
解析：对于选项A，，则，故排除A；对于选项B，，则；对于选项C，，则，故排除C；对于选项D，，则，故排除D；故选：B.
3.答案：C
解析：直线的方向向量是，平面的法向量是，，，l与的位置关系为或.
4.答案：A
解析：.由为平面的法向量,得,即,解得.
5.答案：A
解析：设平面ABC的法向量，由，，得所以令，解得
所以，故选A.
6.答案：A
解析：因为，所以，由，得，，，.故选A.
7.答案：D
解析：设平面的法向量为，对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项,由于，，且向量，不共线，故D选项正确.故选D.
8.答案：ABC
解析：，，，A对；
，，，B对；
，，，平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量，C对；
，设，即方程组无解，D错.
故选ABC.
9.答案：ABC
解析：选项A,B,C的命题显然正确.对于D选项,只有当不共线时,才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.
10.答案：ACD
解析：设正方体的棱长为2,则.所以.设向量是平面的法向量,则取,得,则是平面的一个法向量.结合其他选项,检验可知只有B选项是平面的法向量.
11.答案：或
解析：据题意，得，.设，n与平面ABC垂直，即可得，，解得或.当时，，；当时，，.
12.答案：①
解析：连接AC,BD交于点O.由题意可知①，②，③，④.又易知是底面ABCD的一个法向量，所以②③④均为底面ABCD的法向量.不能作为底面ABCD的法向量.
13.答案：（答案不唯一）
解析： 由题意，知.因为a为平面的法向量，所以,即，所以，所以.
14.答案：因为平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB,AD,AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则，
所以.
设为平面ACE的法向量，
则，即，所以，
令，则，
所以平面ACE的一个法向量为.
解析：
15.答案：由题意得两两垂直,以点为坐标原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.可得,则.设平面的法向量为,则即令,得.设平面的法向量为,则即令,得.平面平面.
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