新人教A版选择性必修1单元素养测评卷（三）B[第三章]圆锥曲线的方程（Word版含解析）

新人教A版高二单元素养测评卷（三）B[第三章]
1.抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，弦经过焦点，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
4.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.当双曲线：的焦距取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
6.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则轴截面所在抛物线的标准方程可能是（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，则以两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形的面积为（）
A. B. C. D.
9.设抛物线的焦点为．点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A.设为两个定点为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B.过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆
C.若曲线为双曲线，则或
D.过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有条
11.已知分别是双曲线的左、右焦点为左顶点为双曲线右支上一点，若且的最小内角为则（ ）
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.
D.直线与双曲线有两个公共点
12.在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于记点的轨迹为曲线则（ ）
A.曲线经过坐标原点
B.曲线关于轴对称
C.曲线关于轴对称
D.若点在曲线上，则
13. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为，则 .
14.已知椭圆的上顶点为左焦点为直线与直线垂直，垂足为且点为线段的中点，则该椭圆的方程为 .
15.已知为抛物线上一点，为该抛物线的焦点，为坐标原点，若则 ，的面积为 .
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为过作一条直线交双曲线的右支于点轴，且则双曲线的离心率为 .
17.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点在下方），为坐标原点，双曲线的离心率为的面积为.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)求的值.
18.已知抛物线的焦点为抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，求.
19.已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线与椭圆交于两点，若，求的面积.
20.已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点
，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点.
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证为线段的中点.
21.已知半椭圆和半圆组成曲线，如图所示，半椭圆内接于矩形与轴交于点，点是半圆上异于的任意一点.当点位于点处时的面积最大.
(1)求曲线的方程；
(2)设分别交于点，求证：为定值.
22.已知椭圆： 的离心率为其短轴长为设椭圆的右焦点为为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线经过点且与椭圆有且仅有一个公共点且直线交椭圆于另一点.
①证明：当直线与直线的斜率均存在时为定值；
②求面积的最小值.
参考答案
1.【答案】:D
【解析】:由可得抛物线的焦点坐标为，根据点到直线的距离公式可得所求距离为 ，故选D.
2.【答案】:D
【解析】:由椭圆的定义可知，的周长为由题意可知的周长为.故选D.
3.【答案】:A
【解析】:圆的圆心为，半径为，双曲线的渐近线方程为，由直线与圆相切，可得 .故选A.
4.【答案】:D
【解析】:由题意可知，在直角三角形中， 又椭圆的离心率故选D.
5.【答案】:C
【解析】:由题意可得 当时，焦距取得最小值， 此时双曲线的方程为 其渐近线方程为.故选C.
6.【答案】:C
【解析】:结合选项知，若设抛物线的标准方程为，
则抛物线过点，从而有，即，
所以所求抛物线的标准方程为，排除A， B.
若设抛物线的标准方程为，
则抛物线过点，从而有，即，
所以所求抛物线的标准方程为排除D.故选C.
7.【答案】:D
【解析】:由得即为双曲线的渐近线方程， 又双曲线的一条渐近线方程是 即 双曲线的焦点坐标为. 又抛物线的准线方程为双曲线的焦点在抛物线的准线上， 双曲线的方程为.故选D.
8.【答案】:B
【解析】:双曲线 的渐近线方程为
双曲线的渐近线方程为
两条双曲线有相同的渐近线，即解得
则双曲线：其上、下焦点分别为
又双曲线：的左、右焦点分别为
则以两条双曲线的四个焦点构成的四边形的面积故选B.
9.【答案】:B；C
【解析】:设，又，如图所示.因此抛物线方程为，且.又在抛物线上，，因此解得，，故选BC.
10.【答案】:A；B；D
【解析】:根据双曲线的定义，必须有动点的轨迹才为双曲线，故A不正确；
为弦的中点，故则动点的轨迹为以线段为直径的圆，故B不正确；显然C正确；
过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有条，分别为直线、、故D不正确.故选ABD.
11.【答案】:A；B；D
【解析】:依题意得，又， ，从而， 是最小边，因此. 即 ，从而. 因此A正确；渐近线为B正确； . C错误； 直线的斜率，因此直线与双曲线有两个交点，D正确.故选ABD.
12.【答案】:B；C；D
【解析】:设，则， . 因此①. 令得，不成立，A错误； 以代替得，方程不变， 因此曲线关于轴对称，B正确； 以代替得，方程不变， 因此曲线关于轴对称，C正确； 由①式得. 从而， D正确. 综上所述，选BCD.
13.【答案】:
【解析】:依题意,设抛物线的焦点为,点的横坐标是,则易知,则.
14.【答案】:
【解析】:由题知因为直线与垂直，所以即又点为线段的中点，所以由中点坐标公式可得将点的坐标代入可得又所以所以椭圆的方程为.
15.【答案】:；
【解析】:由焦点为，即由得，从而.
16.【答案】:
【解析】:由轴，且可得. 在中， 又两边同时除以得， 解得(负值舍去).
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(1)【答案】因为双曲线的离心率为，所以，
所以，又双曲线的两条渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为.
(2)【答案】抛物线的准线方程为，
由得即，
同理可得，
所以.
由题意得的面积为，由于，所以.
18
(1)【答案】因为所以 所以.故抛物线的方程为.
(2)【答案】由得焦点所以直线的方程为设.
由消去得.
所以所以所以.
19
(1)【答案】由题可设椭圆的方程为， 则解得
所以，所以椭圆的方程为.
(2)【答案】易知.
设直线的方程为， 由
消去得， 则
所以，解得，
所以点到直线的距离，
所以 .
20
(1)【答案】由抛物线过点，得，
所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
【解析】:根据抛物线过点.代值求出，即可求出抛物线的方程，焦点坐标和准线方程；
(2)【答案】证明:由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为
.
由消去得，
则.
因为点的坐标为，所以直线的方程为，所以点的坐标为.
易知直线的方程为，则点的坐标为.
因为 ， 即
所以为线段的中点.
【解析】:设过点的直线方程为，根据韦达定理得到，根据中点的定义即可证明．
21
(1)【答案】由点在半圆上，得.
易知当半圆在点处的切线与直线平行时，的面积最大.
连接又， .
曲线的方程为和.
(2)【答案】证明：由题意得
设，
则令得
令得
又
.
22
(1)【答案】由题意得，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
①【答案】由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
因为点在直线上，所以
联立直线与椭圆的方程，得消去得， 因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以即 则 又因为过右焦点所以 而所以.
②【答案】因为，所以 所以即， 所以，易知. 因为所以直线的方程为
与椭圆的方程联立，得消去得，设 则 所以 令则令，
则所以在上为增函数，所以当时. 因此当，即时，的面积取得最小值.
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