新人教A版选择性必修1单元素养测评卷（一）[第一章] 空间向量与立体几何（Word版含解析）

新人教A版高二单元素养测评卷（一）[第一章]
1.与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.已知空间中三点，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示，在空间四边形中，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.设是边长为的正方体，与相交于点则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知空间中三点则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量
B.的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
7.如图所示，在长方体中，，点是棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知三点不共线为平面外的任一点，则“点与点共面”的充分条件的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在长方体中，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A.点的坐标为
B.点关于点对称的点为
C.点关于直线对称的点为
D.点关于平面对称的点为
11.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面且、分别为、的中点，则（ ）
A. B.
C.平面 D.与平面所成的角为
12.如图，正三棱柱中，点为中点，点为四边形内(包含边界)的动点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.若平面，则动点的轨迹的长度等于
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分
13.已知则 .
14.若，则以为邻边的平行四边形的面积为 .
15.如图，在直三棱柱中，，点是的中点，则异面直线和所成角的大小为 .
16.在正方体中为棱上一点，且为棱的中点，且平面与交于,与交于点,则 ， .
17.如图所示,在四棱锥中，底面为平行四边形，与交于点为上一点，且，设，试用表示向量.
18.已知正三棱柱的底面边长为，点分别是棱的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求该三棱柱的侧棱长；
(2)若为的中点，试用向量表示向量；
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
19.在直角梯形中，如图①，把沿翻折，使得平面平面连接得到三棱锥(如图②).
(1)求证：.
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离.
(3)在棱上是否存在点使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20.如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形且垂直于底面底面是矩形，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为求二面角的余弦值.
21.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且，点为的中点.
(1)证明:平面平面
(2)求棱与所成角的大小；
(3)求二面角的余弦值.
22.在平面四边形中(如图①)，为的中点，且现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，在平面内取一点使得为正方形，连接得到立体图形(如图②)，设分别为的中点.
(1)求证：平面平面.
(2)在棱上是否存在一点使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.【答案】:B
【解析】:故选B.
2.【答案】:B
【解析】:由题意得，
所以〈〉，
因为
所以与的夹角为.
3.【答案】:C
【解析】:由，且点在直线上，可设，则即，即，
解得.
4.【答案】:B
【解析】:即，所以.故选B.
5.【答案】:A
【解析】:以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
对于A，所以A正确；
对于B，所以B不正确；
对于C，所以C不正确；
对于D，所以D不正确.故选A.
6.【答案】:D
【解析】:对于A，易知不存在实数使得
则与不是共线向量，所以A不正确；
对于B，因为所以的单位向量为或
所以B不正确；
对于C，向量所以
所以C不正确；
对于D，设平面的法向量是因为
所以即
令则平面的一个法向量为所以D正确.故选D.
7.【答案】:C
【解析】:如图，以为坐标原点所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，连接，
则
从而.
设平面的法向量为，
则即
得令，则平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
8.【答案】:C
【解析】:如图，以点为原点所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接
设正方体的棱长为，则
.
易知平面平面
〈〉
结合图形可知平面与平面所成二面角的余弦值为.
9.【答案】:B；D
【解析】:“点与点共面”的充要条件是存在实数对，使得，即右边各向量系数之和为因此，在A中，选项A错误；在B中，选项B正确；在C中，选项C错误；在D中，选项D正确.故选BD.
10.【答案】:A；C；D
【解析】:由图知A正确；，设关于对称的点为，则，解得，对称点为B错误；设在线段上，则.又，由得，设点关于直线的对称点为则，解得，即点关于直线对称的点为故C正确；由图形知点关于平面的对称点为因此D正确，故选ACD.
11.【答案】:C；D
【解析】:设建立空间直角坐标系如图所示，则，
因此，选项A错误；，选项B错误；从而，可以推出平面，选项C正确；
由选项C知是平面的一个法向量，又，
设与平面所成角为
则，因此D正确.故选CD.
12.【答案】:B；C；D
【解析】:对于选项A，，选项A错误；对于选项B，过点作的平行线交于点.以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设棱柱底面边长为，侧棱长为，则，所以，即，解得，因为平面则动点的轨迹的长度等于，选项B正确.对于选项C，在选项A的基础上，，
所以，
， 选项C正确.
对于选项D，点的轨迹为抛物线的一部分，选项D正确.

13.【答案】:
【解析】:
14.【答案】:
【解析】:由题意得 ，
则 ，
故所求面积.
15.【答案】:
【解析】:以为原点所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则

，即异面直线和所成角的大小为.
16.【答案】:；
【解析】:建立坐标系如图所示，设则.
设点在平面内，则，
令得，从而
.
由、、三点共线得，.
解得
.

17.【答案】:，.
又，
.
18
(1)【答案】设该三棱柱的侧棱长为，由题意得，
则，
因为，所以，所以.
(2)【答案】
(3)【答案】由（1）可知，
所以，
所以〈〉，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
19
(1)【答案】由已知条件可得.
因为平面平面平面平面
所以平面又因为平面所以.
(2)【答案】如图，以点为原点所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由已知可得
所以.
设平面的法向量为则
所以
令得平面的一个法向量为
所以点到平面的距离.
(3)【答案】假设在棱上存在点使得与平面所成的角为
设易知
所以，则
所以
又因为平面的一个法向量为且直线与平面所成的角为
所以可得所以或(舍去).
故在棱上存在点使得与平面所成的角为此时.
20
(1)【答案】平面平面平面平面平面，
平面又平面，.
侧面是等边三角形，且是的中点， ，
又，
平面.
(2)【答案】如图，以为原点，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系则，
.
由点在棱上，可设
则.
直线与直线所成角的余弦值为
〈〉，
又， 即为棱的中点， .
设平面的法向量为 则
令则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为 则
令则平面的一个法向量为. 故 〈〉，
结合图形可知，二面角的余弦值为.
21
(1)【答案】证明： 平面，
又平面.
平面平面平面.
(2)【答案】以为原点所在直线分别为轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
〈〉，
故棱与所成的角是.
(3)【答案】为棱的中点.
设平面的法向量为，
则 即
令，则平面的一个法向量为，
而平面的一个法向量为
〈〉.
由图可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值是.
22
(1)【答案】点分别为的中点，
分别为的中位线
在正方形中，
又平面平面 平面.
同理平面
又平面平面平面平面.
(2)【答案】二面角为直二面角，又
如图，以为原点所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则有
则.
设平面的法向量为 则
取则平面的一个法向量为.
设则
设平面的法向量为 则
可取.
由平面与平面所成二面角的余弦值为 得
解得或(舍去)，所以 故在棱上存在一点使得平面与平面所成二面角的余弦值为此时.
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