名校联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考试——数学试题4（Word版含解析）

名校联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么，某电影院推出开盲盒的模式售票，每个盲盒中等可能地放入一张印有“欢”“迎“光”“临”四个字中的一个字的卡片，只有集齐“欢迎光临”四个字才算全票，小明购买了四个盲盒，则他刚好集齐“欢迎光临”的概率是（ ）．
A． B． C． D．
2．甲 乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲 乙两人下和棋的概率是（ ）
A．60% B．30% C．10% D．50%
3．已知复数名在复平面内对应的点为，且为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．12
4．已知在菱形中，，点E为的中点，点F为的中点，将菱形沿翻折，使平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
5．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，，，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个粮食仓储容器为圆锥体形状，它的体积为（容器的厚度不计），且它的侧面展开图是半圆形状，则它的母线长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
9．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）
A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段
10．已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与不是对立事件
C． D．
11．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．截面的面积是
B．点和点到平面的距离不相等
C．若平面，则点的轨迹的长度是
D．若平面，则点的轨迹的长度是
12．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
三、双空题
13．已知半径为的球面上有、、、四点，满足，，，则球心到平面的距离为___________，三棱锥体积的最大值为___________.
四、填空题
14．已知复数，则______.
15．在中，，非零向量与满足，可判断的形状为___________.
16．已知向量，，若，则______.
五、解答题
17．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为
40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
18．已知，为互相垂直的单位向量，，，且为锐角，求实数的取值范围．
19．如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.
(1)求证：平面EBD；
(2)求三棱锥的体积.
20．若复数，当实数m为何值时.
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点在第四象限.
21．某校100名学生期中考试化学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分及中位数；
(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶2 4∶5
22．如图，平面平面，四边形是菱形，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)在上有一点，使得，求与平面所成角的正切值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
古典概型需先算出样本空间，再算出所发生事件的样本数.
【详解】
因为4个盲盒共有种结果，而刚好开出“欢迎光临”的情况有 种，
所以小明刚好集齐“欢迎光临”的概率；
故选：C.
2．D
【解析】
【分析】
利用互斥事件的概率公式求解即可
【详解】
“甲获胜”与“甲 乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲 乙下成和棋”，故P(甲不输)=P(甲胜)+P(甲 乙和棋)，∴P(甲 乙和棋)=P(甲不输)P(甲胜)=90%40%=50%.
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
先利用复数的几何意义求出复数，再利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义求解a即可.
【详解】
因为复在复平面内对应的点分别为，，即，，
故，
因为为纯虚数，
所以且，
解得．
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
根据垂直关系建立空间直角坐标系，利用向量求解.
【详解】
由题意可知，在菱形，和都是等边三角形，连结，交于点O，则，，菱形沿翻折后，平面平面，易得，所以，，两两垂直，所以以点O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以，，设异面直线和所成角为，
则.
故选：B.
5．C
【解析】
根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.
【详解】
设球的半径为，则，所以，
所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为.
故选：C
6．B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值、以及大边对大角进行求解即可.
【详解】
由正弦定理，得，
则，
因为BC > AC，所以A >B，而A = 60°，
所以B =45°．
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
由，，
则，
所以.
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
由侧面展开图是半圆确定半径和母线的长度关系，再由体积公式列方程求母线长.
【详解】
如图，圆锥的体积 ①，
由侧面展开图是一个半圆得 ②，
又 ③，
联立①②③，即可解得.
故选：A
9．AD
【解析】
【分析】
根据直观图和斜二测画法的规则，判断选项.
【详解】
水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；
由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.
故选：AD
10．BCD
【解析】
【分析】
根据题意，分别列举出事件、事件及所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
由题意知，事件中包含的基本事件有：，，，共个基本事件；
事件中包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；
包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件，
当甲罐抽到标号为的小球，乙罐中抽到标号为的小球时，与同时发生，与不是互斥事件，与也不是对立事件，故A错，B正确；
根据事件和事件所包含的基本事件及样本空间包含的基本事件，可知，故C正确；
，故D正确.
故选: BCD
11．ACD
【解析】
【分析】
取中点为，截面为等腰梯形，求其面积即可；平面过线段的中点，即可作出判断；过点分别做与平面，平面平行的平面，从而明确点的轨迹，得到长度.
【详解】
取中点为，易得，即截面为等腰梯形，
又
∴截面的面积是，故A正确；
连接，与交于点，则点为的中点，
而平面过线段的中点，
∴点和点到平面的距离相等，故B错误；
取的中点为，取的中点为，连接，
易得平面平面，即点的轨迹为，且，故C正确；
同样易知平面平面，即点的轨迹为，且，故D正确；
故选：ACD
12．CD
【解析】
【分析】
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出与不垂直；
在B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面相交；
在C中，三棱锥的体积为；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．
【详解】
解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
，与不垂直，故A错误；
在B中，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，
，，，，0，，，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
不共线，平面与平面相交，故B错误；
在C中，三棱锥的体积为：
，故C正确；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：CD．
13．
【解析】
【分析】
利用勾股定理可求得球心到平面的距离，计算出三棱锥的高的最大值，利用锥体的体积公式可求出三棱锥体积的最大值.
【详解】
，所以，为截面圆的直径.
因为，，所以.
由球的性质可知圆面，即为球心到平面的距离.
在中，，，可得，
所以到平面的距离为.
要使三棱锥的体积最大，应为的延长线与球面的交点，
此时点到平面的距离为，
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
14．
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，，再利用模长公式即可得解.
【详解】
，，故.
故答案为：.
15．等边三角形
【解析】
【分析】
由向量的数量积定义求得，再利用两边相等可得三角形形状．
【详解】
解：由题意可得，
又，
可得，
因为，
所以的形状为等边三角形.
故答案为：等边三角形.
16．
【解析】
【分析】
由题知，再根据求解即可.
【详解】
解：因为，，所以，
因为，所以，即，解得.
故答案为：
17．解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率
（2）出现黄灯的概率
（3）不是红灯的概率
【解析】
【详解】
试题分析：解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率 4分
（2）出现黄灯的概率 8分
（3）不是红灯的概率· 12分
考点：几何概型的概率
点评：主要是考查了几何概型的简单运用，属于基础题．
18．且.
【解析】
【分析】
根据，，，且与不共线，可求出结果.
【详解】
因为，为互相垂直的单位向量，所以，，
因为为锐角，所以，且与不共线，
由，得，得，
得，得.
若与共线，则存在，使得，即，
因为、不共线，所以且，
所以，
所以当与不共线时，，
综上所述：且.
19．(1)证明见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1），证明，然后由线面平行的判定定理可得线面平行；
（2）用换底法求三棱锥的的体积．
(1)
因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，
又因为E为的中点，则，
∵平面EBD，平面EBD，
因此，平面EBD；
(2)
在长方体中，平面，
因此，.
20．(1)2或
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用虚部为得到方程计算可得；
（2）利用实部为且虚部不为，得到方程（不等式）组，解得即可；
（3）利用实部大于且虚部小于，得到不等式组，解得即可；
(1)
解：复数的实部为，虚部为；
当是实数时，，解得或，所求的m值为2或；
(2)
解：当是纯虚数时，，解得，∴所以m值为3；
(3)
解：当对应的点在第四象限时，，解得，∴实数的取值范围是.
21．(1)0.005；
(2)73分，71.67；
(3)30人.
【解析】
【分析】
（1）利用给定的频率分布直方图的各小矩形面积和为1，计算作答.
（2）利用频率分布直方图计算平均数、中位数的方法求解作答.
（3）求出化学成绩在各分组区间内的人数，再按给定人数比的关系即可计算作答.
(1)
依题意，，解得，
所以.
(2)
这100名学生化学成绩的平均分为： (分)，
化学成绩在区间内的频率为0.45，在区间内的频率为0.75，则化学成绩的中位数，
则有，解得，
所以这100名学生化学成绩的中位数为71.67 .
(3)
由频率分布直方图知，化学成绩在的人数分别为：5人，40人，30人，20人，
由数表知，数学成绩在的人数分别为：5人，20人，20人，25人，
所以数学成绩在之外的人数为：（人）.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先根据面面垂直的性质得到平面，再利用棱锥体积公式求解即可.
（2）在平面内作，且，连接交于，则点满足，再求线面角的正切值即可.
(1)
四边形是菱形，，
又平面平面平面
平面，
在中，，
设，则，
在梯形中，
梯形的面积，
四棱锥的体积为
(2)
在平面内作，且，连接交于，
则点满足，如图所示：
证明如下：，且，
四边形是平行四边形.，
又菱形中，，
四边形是平行四边形，，即
，所以与平面所成的角即为与平面所成的角，
因为面，，面，
故即为与平面所成的角，.
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