名校联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考试——数学试题1（Word版含解析）

名校联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都命中的概率为，两人都没有命中的概率为，则只有一人命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，复平面内复数与所对应的点关于原点对称，与所对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B．26 C． D．25
4．如图，在正方体中，F为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，圆锥的轴为PO，其底面直径和高均为2，过PO的中点作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
7．已知单位向量满足，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
8．若正四面体的表面积为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）
A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段
10．已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与不是对立事件
C． D．
11．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与的夹角为
B．二面角的正切值是
C．经过三点截正方体的截面是等腰梯形
D．点到平面的距离为
12．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
三、双空题
13．已知半径为的球面上有、、、四点，满足，，，则球心到平面的距离为___________，三棱锥体积的最大值为___________.
四、填空题
14．已知是虚数单位，若复数满足，则 ________.
15．已知中的内角为，重心为，若，则__________.
16．已知向量，的夹角为，，，若，则___________.
五、解答题
17．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为
40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
18．已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若AB⊥BC，求实数m的值．
19．如图，在三棱柱中，底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，，D是棱的中点．
(1)证明：平面BCD平面．
(2)求三棱锥的体积．
20．已知复数．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内对应的点在直线上，求．
21．2021年开始，甘肃省推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，由于受疫情影响，多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
(3)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
22．如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，是直角三角形，，．D，E分别是棱PB，PC的中点．
(1)证明：平面PAC⊥平面ADE．
(2)求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】
甲手中的两张纸牌数字用表示，乙手中的两张纸牌数字用表示，
一个回合之后，甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：（1）；
（2）；（3）：（4）共4种情况，
其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况，
所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为，
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据互斥事件概率加法公式，计算即可得答案.
【详解】
设“两人都命中”为事件A．“两人都没有命中”为事件B，“只有一人命中”为事件C，
所以，
所以．
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用复数的几何意义求出复数，再利用复数乘法计算作答.
【详解】
复数对应的点为，关于原点对称的点为，关于实轴对称的点为，
则点对应的复数为，所以.
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据异面直线夹角的定义，连接 ，则 就是所求的角，
解三角形即可.
【详解】
连接，则 ，故为异面直线与所成角或其补角，
连接，则，
因为F为的中点，故，在中，
因为，故，
即异面直线与所成角的大小为；
故选：C．
5．D
【解析】
【分析】
由题意，分别求得圆锥和圆柱的体积即可.
【详解】
解：圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
所以，
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，在中，利用正弦定理求得，在中，解直角三角形即可的解.
【详解】
解：如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，
则，所以，
在中，，
由正弦定理得，
则，
因为，
所以，
所以山顶的海拔高度大约为.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
根据题意可以选用坐标法解决本题，设出，再计算，根据向量夹角的坐标计算公式得出，结合夹角范围计算即可.
【详解】
因为是单位向量，所以.
因为，所以夹角为.
不妨设,则.所以.
则根据向量夹角的坐标公式得.
由于夹角范围是，所以，所以.
故选:A
8．D
【解析】
【分析】
计算出正四面体的棱长，将正四面体补成正方体，计算出正方体的棱长，即可求得正四面体的体积.
【详解】
设正四面体的棱长为，则该正四面体的表面积为，可得.
将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为，
所以，.
故选：D.
9．AD
【解析】
【分析】
根据直观图和斜二测画法的规则，判断选项.
【详解】
水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；
由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.
故选：AD
10．BCD
【解析】
【分析】
根据题意，分别列举出事件、事件及所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
由题意知，事件中包含的基本事件有：，，，共个基本事件；
事件中包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；
包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件，
当甲罐抽到标号为的小球，乙罐中抽到标号为的小球时，与同时发生，与不是互斥事件，与也不是对立事件，故A错，B正确；
根据事件和事件所包含的基本事件及样本空间包含的基本事件，可知，故C正确；
，故D正确.
故选: BCD
11．AB
【解析】
【分析】
对于A通过找平行线将求异面直线夹角问题转化为求相交直线的夹角；对于B找出二面角平面角计算即可；对于C作出满足题意的截面即可；对于D利用等体积法计算即可.
【详解】
对于A，如图1所示，由正方体性质易证得四边形为平行四边形，所以，所以直线与的夹角即直线与的夹角，直线与的夹角为.又因为三边都为正方体的面对角线，所以为等边三角形,故，即直线与的夹角为.故A正确.
对于B，如图2所示，连接，由平面,平面，得，又因为，所以即为二面角的平面角，在中，,所以二面角的正切值是，故B正确.
对于C，如图3所示，在上取，四边形即经过三点截正方体的截面，不是等腰梯形，故C错误.
对于D，如图4所示，设点到平面的距离为，由题意得：,.又因为，所以，故，故D错误.
故选:AB
12．CD
【解析】
【分析】
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出与不垂直；
在B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面相交；
在C中，三棱锥的体积为；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．
【详解】
解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
，与不垂直，故A错误；
在B中，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，
，，，，0，，，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
不共线，平面与平面相交，故B错误；
在C中，三棱锥的体积为：
，故C正确；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：CD．
13．
【解析】
【分析】
利用勾股定理可求得球心到平面的距离，计算出三棱锥的高的最大值，利用锥体的体积公式可求出三棱锥体积的最大值.
【详解】
，所以，为截面圆的直径.
因为，，所以.
由球的性质可知圆面，即为球心到平面的距离.
在中，，，可得，
所以到平面的距离为.
要使三棱锥的体积最大，应为的延长线与球面的交点，
此时点到平面的距离为，
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
14．
【解析】
【分析】
先计算复数，再计算复数的模.
【详解】
故答案为
【点睛】
本题考查了复数的计算，属于简单题.
15．
【解析】
【详解】
试题分析：设为角所对的边，由正弦定理得
，则
即，又因为不共线，则, ,即所以，.
考点：向量及解三角形.
16．
【解析】
【分析】
将向量垂直转化为数量积为，根据平面向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
17．解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率
（2）出现黄灯的概率
（3）不是红灯的概率
【解析】
【详解】
试题分析：解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率 4分
（2）出现黄灯的概率 8分
（3）不是红灯的概率· 12分
考点：几何概型的概率
点评：主要是考查了几何概型的简单运用，属于基础题．
18．(1) m＝1或1－或1＋.(2) m的值为2或－3.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1即可.
试题解析：
(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，
则kBC＝kAB，即,解得m＝1或1－或1＋.
(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.
①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；
②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，
由kAB·kBC＝－1，得＝－1，
解得m＝－3.
综上，可得实数m的值为2或－3.
19．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知，根据线面垂直的性质及判定证平面，再由面面垂直的判定证结论；
（2）根据及锥体体积公式，即可得结果.
(1)
底面ABC，面ABC，
．
，，AC，平面，
平面，
平面BCD，
∴平面平面．
(2)
∵四边形为矩形，
，则，
即△为等腰直角三角形
∴.
∴.
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用复数的概念得出，解方程即可求解.
（2）将在复平面内对应的点代入直线方程即可求解.
【详解】
复数，
实部为，虚部为.
（1）若为纯虚数，则，解得.
（2）由题意可得，
解得.
所以，所以.
21．(1)
(2)224
(3)225.6
【解析】
【分析】
（1）利用所有小长方形的面积和为1可得答案；
（2）设中位数为，由可得答案；
（3）利用每个小长方形的高乘以底边区间中点值乘以组距再求和可得答案.
(1)
由，得.
(2)
因为，，
所以中位数在，设中位数为，所以，解得，
所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为.
(3)
这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为
.
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意易知，，从而可证平面PAC，而由中位线定理可得，于是平面PAC，最后由面面垂直的判定定理可证得平面PAC⊥平面ADE．
（2）由等体积法可知三棱锥与三棱锥的体积相等，求出三棱锥的体积即可求出答案,
(1)
证明，因为是直角三角形，且，所以．
因为平面ABC，且平面ABC，所以．
因为平面PAC，平面PAC，且，所以平面PAC．
因为D，E分别是棱PB，PC的中点，所以．
因为平面PAC，所以平面PAC．
因为平面ADE，所以平面平面ADE．
(2)
解：因为，所以．
因为平面ABC，且，
所以三棱锥的体积．
连接CD，因为D是棱PB的中点，
所以三棱锥的体积．
因为E是棱PC的中点，
所以三棱锥的体积．
因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，
所以的体积为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页