3.7 二次函数与一元二次方程同步练习（含答案）

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第三章 二次函数
7 二次函数与一元二次方程
基础过关
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.抛物线 与x轴的交点坐标是( )
A.(0,-6) B.(0,6) C.(3,0),(-2,0) D.(-3,0),(2,0)
2.已知二次函数 (m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 的两实数根是( )
3.如图，一次函数与二次函数 的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.以上结论都不正确
4.二次函数 ≠0)图象的顶点坐标为(-1，n)，其部分图象如图所示.以下结论错误的是( )
D.关于x的方程 无实数根
5.二次函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n,且,下列结论正确的是( )
6.已知关于x的二次函数 的图象与坐标轴有两个交点,则a的取值范围是____________.
7.已知二次函数 (a,b,c是常数, 的y与x的部分对应值如下表：
x -5 -4 -2 0 2
y 6 0 -6 -4 6
下列结论：① ②当 时，函数最小值为③若点 点 在二次函数图象上，则 ④方程 有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的序号是___________________.(把所有正确结论的序号都填上)
8.已知抛物线
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)求该抛物线与x轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，函数值大于0
9.已知抛物线
(1)求抛物线的对称轴；
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a1个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
(3)设点 在抛物线上，若 求a的取值范围.
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
10.下表给出了二次函数 的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程 的一个根的近似值可能是( )
… …
… …
A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38
11.已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
… …
… …
则下列判断中正确的是( )
A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当 时, D.方程 的正根在3与4之间
12.如图，抛物线 的对称轴为直线 与y轴交于点,点 在抛物线上，则下列结论中错误的是( )
A.
B.一元二次方程 的正实数根在2和3之间
D.点P (t,y ),P (t+1,y )在抛物线上,当实数时,
13.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 与反比例函数的大致图象，则可确定方程组的解的取值范围是( )
14.可以用如下方法求方程 的实数根的范围：利用函数 的图象可知，当时，,当时,,∴方程有一个根在-1和0之间.
(1)参考上面的方法，求方程 的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程 有一个根在0和1之间，求c的取值范围.
能力提升
15.已知二次函数 与x轴有交点，则m的取值范围是( )
且 且
16.已知二次函数的图象交x轴于A，B两点.若其图象上有且只有P ，P ，P 三点满足 则m的值是( )
17.直线l过点(0,4)，且与y轴垂直，若二次函数 (其中x是自变量)的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是( )
18.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论:⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
19.已知抛物线恒在x轴上方，则m的取值范围是_____________.
20.[直观想象]小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究.在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究:
①写出该函数的一条性质:__________________________;
②方程 的解为______________;
③若方程 有四个实数根，则a的取值范围是__________________;
(2)延伸思考:
将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象 写出平移过程，并直接写出当 时，自变量x的取值范围.
参考答案
基础过关
1.D 二次函数 当y=0时, 解得∴该抛物线与x轴的交点坐标为 0),(2,0),故选D.
2.B ∵二次函数的解析式是 (m为常数),∴该抛物线的对称轴是 又∵二次函数 (m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴另一个交点的坐标是(2，0). ∴关于x的一元二次方程 的两实数根分别是 故选B.
3.A ∵一次函数y=-x与二次函数 的图象有两个交点，
有两个不相等的实数根，即 有两个不相等的实数根，故选A.
4.C A项,∵抛物线开口向下,∴.∵对称轴为直线∵抛物线与y轴交于正半轴故A项中结论正确.B项，∵抛物线与x轴有两个交点，∴ 即 故B项中结论正确.C项，∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点在 和 之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间.∴ 时,,即 故C项中结论错误.D项，∵抛物线开口向下，顶点坐标为 ∴函数有最大值n.∴抛物线 与直线无交点. ∴一元二次方程 无实数根，故D项中结论正确.故选C.
5.C 二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交点的横坐标为a，b，将该图象向下平移2个单位长度可得出二次函数的图象,如图所示.观察图象,可知.故选C.
6.答案
解析 ∵x=0时，y=3，∴二次函数的图象与y轴的交点为(0,3).
根据题意知二次函数 的图象与x轴有一个交点，
解得
7.答案 ①③④
解析 ①根据题表数据画出二次函数的大致图象(图略)，可判断开口向上，因此a>0，①正确.②由点(-5，6)，(2，6)可判断二次函数图象的对称轴为x=-1.5,∴当x=-1.5时,函数有最小值,故②错误.③点(8，y )离对称轴的距离更大，∴,③正确.④由点(-2，-6)可判断二次函数的最小值小于-6，∴方程 有两个不相等的实数根，④正确.综上,①③④正确,故填①③④.
8.解析 ∴该抛物线的顶点坐标为(1，-16).
(2) ∵,∴当y=0时,x=5或x=-3.
∴该抛物线与x轴的交点坐标为(5,0),(-3,0).
(3)∵,∴该抛物线开口向上.
∴结合(2)可知,当或时,函数值大于0.
9.解析 (1)抛物线的对称轴为
(2)抛物线沿y轴向下平移个单位，可得抛物线
∵该抛物线的顶点落在x轴上，∴ 解得 或
(3)当x=a时 当x=2时, 若 则 解得.
10.B ∵x=1.1时, 时,y=
∴抛物线 与x轴的一个交点在(1.1,0)和(1.2,0)之间,更靠近点(1.2,0),∴方程 的一个根的近似值可能为1.18.故选B.
11.D 从表格可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为 所以x=4时的y值与时的y值相同,为-3,又因为x=3时,,所以方程 的正根在3与4之间.故选D.
12.D A项,∵抛物线开口向上,∴.∵抛物线的对称轴为直线,∴.∴ ,A选项中的结论正确.B项，∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在(-1,0)与(0,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在(2，0)与(3，0)之间，∴一元二次方程的正实数根在2和3之间，B选项中的结论正确.C项,把B(0,-2),A(-1,m)代入抛物线得而 C选项中的结论正确.D项,∵点 在抛物线上， 若 则 即 即时, D选项中的结论错误.故选D.
13.A 如图，分别画出二次函数 与反比例函数的大致图象，可以判断方程组的解的取值范围是 故选A.
14.解析 (1)利用函数 的图象可知，当时,,当时,,∴方程的另一个根在2和3之间.
(2)函数 的图象的对称轴为直线x=1，由题意，得 解得.
能力提升
15.D 由题意,得 且m-1≠0,解得 且m≠1.故选D.
16.C ∵二次函数 的图象上有且只有P ，P ,P 三点满足 ∴三点中必有一点在二次函数 的图象的顶点处.
∴二次函数 的图象的顶点坐标为(2，-2).
令y=0,则2(x-1)(x-3)=0,解得 或∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0).
∴ 故选C.
17.D ∵直线过点(0,4),且与y轴垂直,∴直线为
把 代入二次函数 得 整理得
根据题意，得
又∵二次函数 的图象的对称轴在y轴右侧， ∴,故选D.
18.A ①∵抛物线开口向下,∴.∵对称轴 ∴.∵抛物线与y轴交于正半轴，∴.∴,①错误.
②∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴, ②错误.
③又当 时, 即 ③正确.
时函数有最大值， 1), ④正确.
⑤∵对称轴为 ∴若方程 有四个根，则这四个根的和为4，⑤错误.
综上,③④正确,故选A.
19.答案
解析 ∵抛物线 开口向上，恒在x轴上方，∴抛物线与x轴无交点，即，解得.
20.解析 (1)①图象关于y轴对称;当或时,y取最大值,最大值为0;当或时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小等.(写出一条即可)
(2)将函数y的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度(或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度)得到函数y 的图象.
当 时，自变量x的取值范围为
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