数学北师大版（2019）必修第一册3.1不等式的性质+3.2基本不等式 同步练习（Word含答案）

§3 不等式
3.1 不等式的性质
1.若，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若a，b∈R，则”>”是”a< b<0”的（　）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
3.有四个命题：
①若0>a>b，则<；②若ab2；
③若> 1，则1>a；④若1其中真命题有（　）
A.①② B.②④
C.①③ D.①②③④
4.已知P＝a2+2b+3，Q＝-b2+ 4a-2，则P，Q的大小关系是（　）
A.P>Q B.P5.实数a，b，c满足a2＝2a+c-b-1 且a+b2+1＝0，则下列关系成立的是（　）
A.b>a>c B.c>a>b
C.b>c>a D.c>b>a
6.已知-1A.AC.A7.已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.下列四个不等式：
①a<0其中能使<成立的条件有　　　　.（填序号）
9.已知函数y＝ax2+bx+c满足a+b+c＝0，且a>b>c，则 的取值范围为　　　　.
10.已知p∈R，a>b>0，试比较下列各题中两个代数式值的大小.
（1）（2p+1）（p-3）与（p-6）（p+3）+10；
（2）与.
11.（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
参考答案
1.C 2. D 3. D 4. C　 5. D　 6. B
7.A 解析：设，所以，解得，
所以.
因为，，所以.
8. ①②④
9 　 解析：因为 a+b+c＝0，所以 b＝-（a+c）.
又a>b>c，所以 a>-（a+c）>c，且a>0，c<0，所以 1>->，即1>-1->，
所以 解得-2<<-.故的取值范围为.
10. 解：（1）因为（2p+1）（p-3）-［（p-6）（p+3）+10］＝p2-2p+5＝（p-1）2+4>0，
所以（2p+1）（p-3）>（p-6）（p+3）+10.
（2）-＝＝＝.
因为a>b>0，所以2ab>0，a-b>0，a2+b2>0，a+b>0，
所以>0，所以>.
11.证明（1）因为bc－ad≥0，bd>0，所以bc≥ad，>0，
所以≥，所以＋1≥＋1，即≥，即≤.
（2）a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)
＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ca(c－a)
＝(c－a)(b2＋ca－ba－bc)＝(c－a)(c－b)(a－b).
因为a>b>c，所以c－a<0，c－b<0，a－b>0，
所以(c－a)(c－b)(a－b)>0，即a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)>0，
所以a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
§3 不等式
3.2　基本不等式
1.设a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（　）
A.a2+b2>2ab B.a+b≥
C.+> D.+≥2
2.设a，b∈R，已知p：a>0且b>0，q：≤，则p是q成立的（　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.不等式+（x-2）≥6（其中x>2）等号成立的条件是（　）
A.x＝5 B.x＝-3 C.x＝3 D.x＝-5
4.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是（　）
A.x>y B.y>x C.x>y D.y>x
5.若0A. B. C.2 D.
6.若-4A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 D.有最大值-1
7.［多选题］《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（　）
A.≥（a>0，b>0） B.a2+b2≥2ab（a>0，b>0）
C.≥（a>0，b>0） D.≥（a>0，b>0）
8.［多选题］下列结论正确的有（　）
A.当x>0时，+≥2 B.当x>2时，x+的最小值是2
C.当x<时，y＝3x-2+的最小值为0 D.当x>0，y>0时，+≥2
9.［多选题］设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（　）
A.+的最小值为4 B.xy的最大值为
C.+的最小值为 D.x2+4y2的最小值为
10.已知x<，则函数y＝4x-2+的最大值为　　　　.
11.已知x，y∈R+且x+y＝4，则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围为　　　　.
12.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，选用的铁丝长度最合理（够用且浪费最少）为　　　　m.（取整数）
13.已知函数y＝x+（x>2）的最小值为6，则正数m的值为　　　　.
14.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则2x+y的最小值是　　　　.
15.（1）已知x>，求y＝4x-2+的最小值；
（2）当x>0时，求函数y＝的最大值.
16.某单位在国家科研部门的支 持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位月处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝-200x+80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
参考答案
1. D 2. A　　 3. A 4. B 5. D　 6. D　 7. AC 8. AD
9. ABD　 解析：因为x+2y＝3，
所以+＝+＝++2≥+2＝4，当且仅当＝，即x＝y＝1时等号成立，故A正确.
因为x+2y＝3≥，所以xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，故B正确.
因为（+）2＝x+2y+＝3+≤3+＝6，所以+的最大值为，故C错误.
因为x2+4y2＝（x+2y）2-4xy＝9-4xy≥9-4×＝，故D正确.
10.1 11.　 12. 7 13. 4　
14. 12 解析：（方法1）∵ x>0，y>0，∴ xy＝·（2x）·y≤，
∴ 2x+y+6＝（2x+y）+6≤（2x+y）2，∴ （2x+y）2-8（2x+y）-48≥0.
令2x+y＝t，t>0，则t2-8t-48≥0，∴ （t-12）（t+4）≥0，∴ t≥12，即2x+y≥12.
（方法2）由x>0，y>0，2x+y+6＝xy，得xy≥+6（当且仅当2x＝y时，取“＝”），
即（）2--6≥0，∴ （-）（+）≥0.
又∵ >0，∴ ≥，即xy≥18.∴ xy的最小值为18.
∵ 2x+y＝xy-6，∴ 2x+y的最小值为12.
15. 解：（1）∵ x>，∴ 4x-5>0，∴ y＝4x-2+＝4x-5++3≥+3＝5，
当且仅当4x-5＝，即x＝时，等号成立，故当x＝时，ymin＝5.
（2）∵ x>0，∴ ＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
∴ 函数y＝的最大值为1.
16. 解：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝+-200≥-200＝200，
当且仅当＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
（2）不获利.
设该单位月获利为S元，则
S＝100x-y＝100x-＝-+300x-80 000＝-（x-300）2-35 000.
因为x∈［400，600］，所以S∈［-80 000，-40 000］.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.