华东师大版数学八年级上册：13.5逆命题与逆定理（第2课时） 教学详案
文档属性
| 名称 | 华东师大版数学八年级上册：13.5逆命题与逆定理（第2课时） 教学详案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-05 10:34:55 | ||
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文档简介
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
第2课时 线段的垂直平分线
教学目标 1.能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力. 2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性. 教学重难点 重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理. 难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系. 教学过程 导入新课 【问题】如图，表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？如何准确地作出呢？这就是我们本节课要学习的知识. 【思考】（激发学生思考）我们曾经利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.你能证明这一结论吗 探究新知 【互动】试写出整个结论的已知和求证. 【互动】（小组讨论）教师引导学生写出证明过程. 已知：如图，AC＝BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA＝PB. 证明：∵ ⊥AB， ∴ ∠PCA＝∠PCB＝90. ∵ AC＝BC，PC＝PC， ∴ △PCA≌△PCB（S.A.S.）， ∴ PA＝PB（全等三角形的对应边相等）. 【互动】（学生动脑）同学们，证明了这一结论的正确性，那么下面我们试写出该定理的文字语言和符号语言. 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： 如图， ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB. 【总结】（教师归纳）这个结论是用来证明两条线段相等的根据之一. 【探究】（小组合作，老师指导）我们前面学习了命题的逆命题，你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？ 逆命题：如果有一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【思考】（引发学生思考）你能判断它的真假吗？如果是真命题，请给出证明过程. 【探究】（师生互动）已知：线段，点P是平面内一点且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为点C， ∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ Rt△PAC≌Rt△PBC（H.L.）， ∴ AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上. 【思考】（激发学生思考）你还有其他的证明方法吗？ 证明：把线段AB的中点记为C，连结PC. ∵ C为AB的中点， ∴ AC＝BC. 又∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ △APC≌△BPC(S.S.S.)， ∴ ∠PCA＝∠PCB＝90， ∴ PC⊥AB，即点P在AB的垂直平分线上. 【总结】判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言： 如图，∵ PA＝PB(已知)， ∴ 点P在AB的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 【合作探究，解决问题】 例 如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于E，若△ABC的周长为10，BC＝4，求三角形AEC的周长. 解：∵ BC的垂直平分线交AB于点E， ∴ BE＝CE. ∵ △ABC的周长为10，BC＝4， ∴ △ACE的周长＝AE+CE+AC＝AE+BE+AC＝AB+AC＝AB+AC+BC﹣BC＝10﹣4＝6. 拓展提升 为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C（如图所示） 之间建造购物商场，该购物商场建在何处才能使这三个住宅小区的居民到该购物商场的距离相等？ （1）在图中用尺规作图确定购物商场的位置（简述作法，并说明作图依据）； （2）证明你所确定的位置到三个住宅小区的距离相等. （1）解：连结AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即作AB的垂直平分线； 同理连结BC，作出BC的垂直平分线，两条直线交于点P，则点P就是商场的位置. （2）证明：如图，连结PA，PB，PC， ∵ PF，PQ分别是BC，AB的垂直平分线， ∴ PB＝PC，PB＝PA， ∴ PA＝PB＝PC. 例2 证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 已知：△ABC的边AB，BC的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在边AC的垂直平分线上. 证明：连结PA，PB，PC ， ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PB＝PA. ∵ 点P在边BC的垂直平分线上，∴ PB＝PC. ∴ PA＝PC， ∴ 点P在边AC的垂直平分线上. 课堂练习 1.三角形中，到三个顶点距离相等的点是( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D，E两点，若AB边的长为10 cm，则△CDE的周长为( ) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.不能确定 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 4.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 . 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，EG垂直平分BD，交BD于点G，交AB于点E，连结DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上. 第5题图 参考答案 1.D 2.A 3.B 4.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 5.证明：∵ EG是线段BD的垂直平分线， ∴ ED＝EB，∴ ∠DEG＝∠BEG. ∵ ∠ACB＝90°， ∴ AC∥EG， ∴ ∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG， ∴ ∠A＝∠AFE，∴ EA＝EF，∴点E在AF的垂直平分线上. 课堂小结 1.线段垂直平分线的定理及证明. 2.线段垂直平分线的逆定理及证明. 3.两个定理之间的区别与联系. 板书设计 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB. 提示：经常用来证明两条线段相等. 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 提示：经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）.
13.5 逆命题与逆定理
第2课时 线段的垂直平分线
教学目标 1.能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力. 2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性. 教学重难点 重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理. 难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系. 教学过程 导入新课 【问题】如图，表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？如何准确地作出呢？这就是我们本节课要学习的知识. 【思考】（激发学生思考）我们曾经利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.你能证明这一结论吗 探究新知 【互动】试写出整个结论的已知和求证. 【互动】（小组讨论）教师引导学生写出证明过程. 已知：如图，AC＝BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA＝PB. 证明：∵ ⊥AB， ∴ ∠PCA＝∠PCB＝90. ∵ AC＝BC，PC＝PC， ∴ △PCA≌△PCB（S.A.S.）， ∴ PA＝PB（全等三角形的对应边相等）. 【互动】（学生动脑）同学们，证明了这一结论的正确性，那么下面我们试写出该定理的文字语言和符号语言. 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： 如图， ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB. 【总结】（教师归纳）这个结论是用来证明两条线段相等的根据之一. 【探究】（小组合作，老师指导）我们前面学习了命题的逆命题，你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？ 逆命题：如果有一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【思考】（引发学生思考）你能判断它的真假吗？如果是真命题，请给出证明过程. 【探究】（师生互动）已知：线段，点P是平面内一点且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为点C， ∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ Rt△PAC≌Rt△PBC（H.L.）， ∴ AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上. 【思考】（激发学生思考）你还有其他的证明方法吗？ 证明：把线段AB的中点记为C，连结PC. ∵ C为AB的中点， ∴ AC＝BC. 又∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ △APC≌△BPC(S.S.S.)， ∴ ∠PCA＝∠PCB＝90， ∴ PC⊥AB，即点P在AB的垂直平分线上. 【总结】判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言： 如图，∵ PA＝PB(已知)， ∴ 点P在AB的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 【合作探究，解决问题】 例 如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于E，若△ABC的周长为10，BC＝4，求三角形AEC的周长. 解：∵ BC的垂直平分线交AB于点E， ∴ BE＝CE. ∵ △ABC的周长为10，BC＝4， ∴ △ACE的周长＝AE+CE+AC＝AE+BE+AC＝AB+AC＝AB+AC+BC﹣BC＝10﹣4＝6. 拓展提升 为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C（如图所示） 之间建造购物商场，该购物商场建在何处才能使这三个住宅小区的居民到该购物商场的距离相等？ （1）在图中用尺规作图确定购物商场的位置（简述作法，并说明作图依据）； （2）证明你所确定的位置到三个住宅小区的距离相等. （1）解：连结AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即作AB的垂直平分线； 同理连结BC，作出BC的垂直平分线，两条直线交于点P，则点P就是商场的位置. （2）证明：如图，连结PA，PB，PC， ∵ PF，PQ分别是BC，AB的垂直平分线， ∴ PB＝PC，PB＝PA， ∴ PA＝PB＝PC. 例2 证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 已知：△ABC的边AB，BC的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在边AC的垂直平分线上. 证明：连结PA，PB，PC ， ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PB＝PA. ∵ 点P在边BC的垂直平分线上，∴ PB＝PC. ∴ PA＝PC， ∴ 点P在边AC的垂直平分线上. 课堂练习 1.三角形中，到三个顶点距离相等的点是( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D，E两点，若AB边的长为10 cm，则△CDE的周长为( ) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.不能确定 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 4.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 . 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，EG垂直平分BD，交BD于点G，交AB于点E，连结DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上. 第5题图 参考答案 1.D 2.A 3.B 4.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 5.证明：∵ EG是线段BD的垂直平分线， ∴ ED＝EB，∴ ∠DEG＝∠BEG. ∵ ∠ACB＝90°， ∴ AC∥EG， ∴ ∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG， ∴ ∠A＝∠AFE，∴ EA＝EF，∴点E在AF的垂直平分线上. 课堂小结 1.线段垂直平分线的定理及证明. 2.线段垂直平分线的逆定理及证明. 3.两个定理之间的区别与联系. 板书设计 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB. 提示：经常用来证明两条线段相等. 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 提示：经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）.