华东师大版数学八年级上册13.5逆命题与逆定理（第3课时） 教学详案
文档属性
| 名称 | 华东师大版数学八年级上册13.5逆命题与逆定理（第3课时） 教学详案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-06 09:08:42 | ||
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文档简介
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
教学目标 1.掌握角平分线的性质定理和判定定理. 2.能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题. 教学重难点 重点：角平分线的性质定理与判定定理. 难点：利用角平分线的性质定理与判定定理解题. 教学过程 导入新课 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.在半透明纸上描出这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合，于是得到PD＝PE. 探究新知 【问题】角平分线上的点到角两边的距离相等，请给出证明. 【互动】（小组讨论，教师引导）试写出上面整个结论的已知和求证，试写出证明过程. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是，E. 求证：PD＝PE. 【探索】（小组讨论）探索证明思路，试写出证明过程. 分析：要证明PD＝PE，只要证明它们分别所在的△OPD与△OPE全等即可，如何证明两三角形全等呢？ 证明：如图， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90. 又∵ ∠1＝∠2，OP＝OP， ∴ △OPD≌△OPE(A.A.S.)， ∴ PD＝PE. 【归纳】(老师引导总结) 角平分线上的点到角两边的距离相等. 这个性质定理是用来证明两条线段相等的依据之一，一定要注意是两条“垂线段”相等. 【总结】（师生互动）该性质定理的几何语言该如何表述？ 如图，∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， ∴ PD＝PE(角平分线上的点到角两边的距离相等). 【探究】（学生思考讨论）你能写出性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题吗 逆命题：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 【问题】它是真命题吗 如果是，该如何写出已知和求证？ 它是真命题. 已知：如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 【探究】（学生思考，探究证明思路）你会证明吗？ 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ △POD和△POE都是直角三角形. ∵ PD＝PE，OP＝OP， ∴ Rt△POD≌Rt△POE(H.L.)， ∴ ∠POD＝∠POE， ∴ OC是∠AOB的平分线，点P在∠AOB的平分线上. 【总结】（老师引导）通过上面的证明，我们得到角平分线的性质定理的逆命题是真命题，所以该逆命题可以称为角平分线的性质定理的逆定理，也就是角平分线的判定定理. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【互动】（师生互动）用几何语言如何表示该定理内容？ 如图，∵ PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，∴ 点P在∠AOB的平分线上.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 【总结】（老师提示）这个结论是用来证明点在角平分线上(或直线经过某一点)的根据之一. 【补充】（老师提示）学习了角平分线的性质定理和判定定理，在以后的学习中，遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定定理或性质解决问题. 【合作探究，解决问题】 例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE，AC，DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由. 思考：根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE，AC，DE之间的数量关系. 解：AE+DE＝AC＝3 cm.理由如下： ∵ ∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴ DE＝CE， 由图可知，AC＝AE+CE， 所以AC＝AE+DE＝3 cm. 【互动总结】本题考查了“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键. 例2 如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG. 求证：OC是∠AOB的平分线. 思考：要证OC是∠AOB的平分线，需证PD＝PE，而通过证Rt△PFD≌Rt△PGE即可得PD＝PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF＝∠PEG＝90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中，∵ ∴ Rt△PFD≌Rt△PGE(H.L.)，∴ PD＝PE. ∵ P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ OC是∠AOB的平分线. 【总结】根据三角形全等得到PD＝PE，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了. 课堂练习 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) A. PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD 第1题图 第2题图 2.如图，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，则∠1＝_________. 3.如图，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等. 第3题图 第4题图 4.如图，一目标在A区，到公路a、铁路b距离相等，离公路与铁路的交叉处500 m.在图上标出它的位置(比例尺1∶20 000). (
第
5
题
图
)5.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上. 参考答案 1.B 2.30° 3.作图略.提示：作∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求. 4.作图略.提示：作出角平分线，在角平分线上距a，b交点2.5 cm处即为所求. (
第
5
题答
图
)5.证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，P，M，N为垂足， ∵ CF是∠BCE的平分线， ∴ FP＝FM. 同理，FM＝FN. ∴ FP＝FN. ∴ 点F在∠DAE的平分线上. 课堂小结 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E ， ∴ PD＝PE. 2.角平分线的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ∵ PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，∴ 点P在∠AOB的平分线上. 板书设计 角平分线 1.角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
教学目标 1.掌握角平分线的性质定理和判定定理. 2.能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题. 教学重难点 重点：角平分线的性质定理与判定定理. 难点：利用角平分线的性质定理与判定定理解题. 教学过程 导入新课 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.在半透明纸上描出这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合，于是得到PD＝PE. 探究新知 【问题】角平分线上的点到角两边的距离相等，请给出证明. 【互动】（小组讨论，教师引导）试写出上面整个结论的已知和求证，试写出证明过程. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是，E. 求证：PD＝PE. 【探索】（小组讨论）探索证明思路，试写出证明过程. 分析：要证明PD＝PE，只要证明它们分别所在的△OPD与△OPE全等即可，如何证明两三角形全等呢？ 证明：如图， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90. 又∵ ∠1＝∠2，OP＝OP， ∴ △OPD≌△OPE(A.A.S.)， ∴ PD＝PE. 【归纳】(老师引导总结) 角平分线上的点到角两边的距离相等. 这个性质定理是用来证明两条线段相等的依据之一，一定要注意是两条“垂线段”相等. 【总结】（师生互动）该性质定理的几何语言该如何表述？ 如图，∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， ∴ PD＝PE(角平分线上的点到角两边的距离相等). 【探究】（学生思考讨论）你能写出性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题吗 逆命题：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 【问题】它是真命题吗 如果是，该如何写出已知和求证？ 它是真命题. 已知：如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 【探究】（学生思考，探究证明思路）你会证明吗？ 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ △POD和△POE都是直角三角形. ∵ PD＝PE，OP＝OP， ∴ Rt△POD≌Rt△POE(H.L.)， ∴ ∠POD＝∠POE， ∴ OC是∠AOB的平分线，点P在∠AOB的平分线上. 【总结】（老师引导）通过上面的证明，我们得到角平分线的性质定理的逆命题是真命题，所以该逆命题可以称为角平分线的性质定理的逆定理，也就是角平分线的判定定理. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【互动】（师生互动）用几何语言如何表示该定理内容？ 如图，∵ PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，∴ 点P在∠AOB的平分线上.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 【总结】（老师提示）这个结论是用来证明点在角平分线上(或直线经过某一点)的根据之一. 【补充】（老师提示）学习了角平分线的性质定理和判定定理，在以后的学习中，遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定定理或性质解决问题. 【合作探究，解决问题】 例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE，AC，DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由. 思考：根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE，AC，DE之间的数量关系. 解：AE+DE＝AC＝3 cm.理由如下： ∵ ∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴ DE＝CE， 由图可知，AC＝AE+CE， 所以AC＝AE+DE＝3 cm. 【互动总结】本题考查了“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键. 例2 如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG. 求证：OC是∠AOB的平分线. 思考：要证OC是∠AOB的平分线，需证PD＝PE，而通过证Rt△PFD≌Rt△PGE即可得PD＝PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF＝∠PEG＝90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中，∵ ∴ Rt△PFD≌Rt△PGE(H.L.)，∴ PD＝PE. ∵ P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ OC是∠AOB的平分线. 【总结】根据三角形全等得到PD＝PE，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了. 课堂练习 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) A. PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD 第1题图 第2题图 2.如图，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，则∠1＝_________. 3.如图，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等. 第3题图 第4题图 4.如图，一目标在A区，到公路a、铁路b距离相等，离公路与铁路的交叉处500 m.在图上标出它的位置(比例尺1∶20 000). (
第
5
题
图
)5.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上. 参考答案 1.B 2.30° 3.作图略.提示：作∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求. 4.作图略.提示：作出角平分线，在角平分线上距a，b交点2.5 cm处即为所求. (
第
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题答
图
)5.证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，P，M，N为垂足， ∵ CF是∠BCE的平分线， ∴ FP＝FM. 同理，FM＝FN. ∴ FP＝FN. ∴ 点F在∠DAE的平分线上. 课堂小结 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E ， ∴ PD＝PE. 2.角平分线的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ∵ PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，∴ 点P在∠AOB的平分线上. 板书设计 角平分线 1.角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.