辽宁省沈阳市五校联考2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版含答案）

沈阳市五校联考2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试卷
考试时间： 120 分钟 考试分数： 150 分
第 I 卷 (选择题 共 80 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, . 有一个选项是符合题目要求的.
1. 设集合 , 则
A. B. C. D.
2．如图是一组实验数据构成的散点图，以下函数中适合作为与的回归方程的类型是（ ）
A． B． C． D．
3．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯 ”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（ ）
A．96 B．144 C．192 D．231
5．设命题p：，(x－1)(x+2)>0，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，或
6．已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
7. 设 为定义在 上的奇函数, 当 时, 为常数), 则不等式 的解集为
A. B. C. D.
8．已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9．若实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近
C．某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的方差
D．在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位
10．已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（　　）
A．在是增函数
B．设，则满足的正整数的最小值是2
C．是奇函数
D．在有2个极值点
第 II 卷 (非选择题 共 70 分)
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13．已知某种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为_____.
14．曲线在点处的切线方程为______．
15. 已知 是等差数列 的前 项和, 公差 , 若 成等比数列, 则 的最小值为______.
16. 已知函数有四个实数根且, 则 的取值范围是 ______． .
四、解答题：本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列的前项和为，且，______
请在① ；②，③ 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. 设数列 的前 项和为 .
(1) 求数列 的通项公式:
(2) 若数列 的前 项和 , 求 的值.
19．甲和乙相约下围棋，已知甲开局时，甲获胜的概率为；乙开局时，乙获胜的概率为，并且每局下完，输者下一局开局.第1局由甲开局.
(1)如果两人连下3局，求甲至少胜2局的概率；
(2)如果每局胜者得1分，输者不得分，先得2分者获胜且比赛结束（无平局）.若两人最后的比分为，求.
20．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．
（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；
（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求；
（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）
附：若，则，．
21．函数.
（1）讨论函数的单调区间与极值；
（2）当时，求函数的零点个数.
22．已知函数
(1)当时，证明函数有两个极值点；
(2)当时，函数在上单调递减，证明
试卷第1页，共3页
参考答案：
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D A C D B D B BCD AC BCD ABC
填空题：
13．0.75
【解析】
记使用寿命超过年为事件，超过年为事件，
，
故答案为：0.75.
14．
【解析】
，
，
则切线方程为：，即.
故答案为：
15．
16．
解答题：
17．选择见解析；（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由，可得，即，
选①：由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
选②：由，可得，即，
所以，解得，
所以．
选③：由，因为，可得，
所以，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
两式相减得
所以．
18．【解析】
（1）
当时，
即
又
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列
数列的通项公式为
（2）令
故前m项和
又前m项和为，故=得
19．(1)；(2).
【解析】
(1)
甲至少胜2局，则第1到3局胜负情况有{乙胜,甲胜,甲胜}，{甲胜,乙胜,甲胜}，{甲胜,甲胜,乙胜}，{甲胜,甲胜,甲胜}
由第1局由甲开局，每局下完输者下一局开局，
所以甲至少胜2局的概率.
(2)
由题意，可能值为0、1，
，，
所以.
20．（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）抽取树木高度为的频率为，
所以样本均值
．
（2）由第一问估计，
，
一棵树的高度位于区间的概率为0.1359，
依题意知，所以．
（3）记移植五棵树中成活了棵．
．
21．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
（1）由题意，函数，可得，
当时，，在上为单调增函数，此时无极值；
当时，令，解得，
所以在上为单调增函数，
令，解得，在上为单调减函数，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
综上所述：
当时，无极值，
当时，，无极大值.
（2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，
又由，若时，；
若时，；
当，即时，无零点；
当，即时，有1个零点；
当，即时，有2个零点.
综上：当时，无零点；
当时，有1个零点；
当时，有2个零点.
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
定义域为
当时
令
∵时，，单调递减，时，，单调递增
所以使
此时时，，单调递增，
时，，单调递减
时，，单调递增
∴是函数的两个极值点．
(2)
∵在上单调递减
∴恒成立
∴恒成立
①时，令
∵，∴
∴在单调递减，∴
又∵∴，∴
②时，，∵，∴
∴，∴
又∵，∴
令
令，∴
∴单调递减，∵
使，即
时，单调递增
时，单调递减
∴∴∴，∴
综上
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