圆的方程[上学期]
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(共15张PPT)
的
圆
方
程
知识梳理
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。
2、圆的标准方程：
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r，
因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：
其中圆心为 ，半径为 .
说明：1、 项的系数相同，没有 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。
3、
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往
往设圆的一般方程．
方程表示圆
方程表示一个点
方程不表示任何图形
（D2+E2－4F＞0）
知识梳理
4、圆的参数方程：
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径
与x轴的圆心角的关系。
2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，
把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R）
表示圆方程，则t的取值范围是
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，
则a的取值范围是
.
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0），
下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b点击双基
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，
即 ，答案为C
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R）
表示圆方程，则t的取值范围是
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，
则a的取值范围是
.
.
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部 ，所以（5a+1－1）2+（12a）2<1 即(13a)2<1
点击双基
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0），
下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b解析：已知圆的圆心坐标（a，b），半径为r，当b典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为 ，求此圆的方程。
分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2.
又因为直线y=x截圆得弦长为 ，
则有（ ）2+（ ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为 ，求此圆的方程。
分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2.
又因为直线y=x截圆得弦长为 ，
则有（ ）2+（ ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，
动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），
求P点的轨迹.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，
动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），
求P点的轨迹.
解：设动点P的坐标为（x，y），由
=a（a>0）得
=a，化简，得
（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a=1时，方程化为x=0.
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，方程化为
所以a≠1时，点P的轨迹是以点
为圆心,半径为
的圆
练习反馈
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于
x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0 B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于
x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.
答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，
且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.
答案：B
3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q
关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－ ，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.
答案：2
4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，
则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.
答案：1
5. （2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆
（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.
答案：（－1，2）
能力培养
.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
（1） 的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值.
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）
的值需要确定，因此需要三个独立的条件.
利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，
解之得到待定字母系数的值.
2.求圆的方程的一般步骤：
（1）选用圆的方程两种形式中的一种
（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；
若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；
（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，
并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.
3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
思悟小结
的
圆
方
程
知识梳理
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。
2、圆的标准方程：
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r，
因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：
其中圆心为 ，半径为 .
说明：1、 项的系数相同，没有 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。
3、
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往
往设圆的一般方程．
方程表示圆
方程表示一个点
方程不表示任何图形
（D2+E2－4F＞0）
知识梳理
4、圆的参数方程：
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径
与x轴的圆心角的关系。
2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，
把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R）
表示圆方程，则t的取值范围是
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，
则a的取值范围是
.
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0），
下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，
即 ，答案为C
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R）
表示圆方程，则t的取值范围是
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，
则a的取值范围是
.
.
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部 ，所以（5a+1－1）2+（12a）2<1 即(13a)2<1
点击双基
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0），
下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为 ，求此圆的方程。
分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2.
又因为直线y=x截圆得弦长为 ，
则有（ ）2+（ ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为 ，求此圆的方程。
分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2.
又因为直线y=x截圆得弦长为 ，
则有（ ）2+（ ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，
动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），
求P点的轨迹.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，
动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），
求P点的轨迹.
解：设动点P的坐标为（x，y），由
=a（a>0）得
=a，化简，得
（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a=1时，方程化为x=0.
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，方程化为
所以a≠1时，点P的轨迹是以点
为圆心,半径为
的圆
练习反馈
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于
x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0 B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于
x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.
答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，
且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.
答案：B
3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q
关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－ ，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.
答案：2
4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，
则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.
答案：1
5. （2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆
（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.
答案：（－1，2）
能力培养
.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
（1） 的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值.
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）
的值需要确定，因此需要三个独立的条件.
利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，
解之得到待定字母系数的值.
2.求圆的方程的一般步骤：
（1）选用圆的方程两种形式中的一种
（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；
若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；
（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，
并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.
3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
思悟小结