一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；
2.理解参数的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4．
四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程．
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）
1．圆的参数方程的推导
设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：
当确定时，点在圆上的位置也随着确定；
当变化时，点在圆上的位置也随着变化．
这说明，点的坐标随着的变化而变化．
设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？
根据三角函数的定义，， ①
显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．
圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？
圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），
由可以得到圆心为，
半径为的圆的参数方程是 （为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即 ③
并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．
将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．
4．练习：，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1） （为参数） （2） （为参数）
解：（1），
由得，这就是所求的普通方程．
（2）由原方程组得，把代入得，
化简得：（），这就是所求的普通方程．
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，
保持等价性．
例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
解：设点，∵圆的参数方程为，
∴设点，由线段中点坐标公式得，
即点轨迹的参数方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？
又解：设，，
∵点是线段的中点，∴，∴，
∵点在圆上，∴，∴，
即点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．
解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），
（1），
∴当，即时，．
（2），
∴当，即时，．
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；
2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，
求的取值范围．
圆的方程（4）一．课题：圆的方程（1）
二．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题.
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程.
四．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题.
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的定义；
2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？
（二）新课讲解：
1．圆的标准方程 （由学生推导）
设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，
得：，
两边平方得：．
此方程即为圆心是，半径是的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。（学生思考后口答或板演）
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每
隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，，
设圆的方程为，∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
六．课堂练习：课本第77页练习1，2．
七．小结：1．圆的标准方程；
2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．
3．求圆的标准方程常用待定系数法。
八．作业：第81页习题第1，2，4题，
补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的圆的标准方程．
PAGE
2
圆的方程（1）一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点的坐标和圆的方程，如何判断点在圆内、圆上、圆外？
比较点到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆是相交、相切、相离？
比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆和圆的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围。
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，∴，即，
当时，；当时，，
所以，的取值范围是．
解法二：设直线的方程为，
由 消去得：，
∵直线与圆相交，∴，
化简得，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程．
解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴，又∵，∴，
∴经过点的切线方程是，
整理得：，
又∵点在圆上，∴，
∴所求的切线方程是．
当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，
故直线也适合题意。
所以，所求的直线的方程是或．
例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，
求此圆的方程．
解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，
∵圆与轴相切，∴， 又圆心到弦的距离为，
∴，∴，，
所以，所求的圆方程为或．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法；
2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：
1． 过点且与圆相切的直线的方程是 ．
2． 已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3． 过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．
4． 已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．
5． 求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．
圆的方程（2）一．课题：圆的方程（3）
二．教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；
3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．
三．教学重、难点：目标2，3．
四．教学过程：
（一）复习：写出圆的标准方程：．
（二）新课讲解：
1．圆的一般方程
将上述标准方程展开，整理，得，
可见，任何一个圆的方程都可以写成 ①
的形式。
反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）
将①配方得：． ②
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：
（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程①表示一个点；
（3）当时，方程①不表示任何图形．
结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于；
（2）没有这样的二次项．
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．
（三）例题分析：
例1．求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求的圆方程为，
∵、、在圆上，
∴解得，
∴所求的圆方程为，
圆心坐标为，半径为．
注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；
⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．
例2．已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：设是曲线上任意一点，由题意：，
∴ ，化简得， ①
这就是所求的曲线方程．
把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）
注意：本题也可以一般化
已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：
要注意讨论对曲线的形状的影响．
例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若
，求实数的值．
解：设、，
由，消去得：， ①
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，
由韦答定理：，
∵，∴，∴，即，
即， ②
∵，∴，
，代入②得：，即，
∴，适合，所以，实数的值为．
五．课堂练习：．
六．小结：1．圆的一般方程及其形式特点；
2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．
七．作业：课本第82页习题
补充：1．若圆与直线的交点为、，且（为原点），求的值．
2．已知圆：，直线：，
（1）证明：不论取何实数，直线与圆恒相交；
（2）求直线被圆截得的线段的最短长度及此时直线的方程．
PAGE
3
圆的方程（3）一．课题：圆的方程（1）
二．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程．
四．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的定义；
2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？
（二）新课讲解：
1．圆的标准方程 （由学生推导）
设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，
得：，
两边平方得：．
此方程即为圆心是，半径是的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。（学生思考后口答或板演）
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每
隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，，
设圆的方程为，∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
六．课堂练习：课本第77页练习1，2．
七．小结：1．圆的标准方程；
2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．
3．求圆的标准方程常用待定系数法．
八．作业：第81页习题第1，2，4题，
补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的圆的标准方程．
PAGE
2
圆的方程（1）一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；
2.理解参数的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4．
四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程．
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）
1．圆的参数方程的推导
设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：
当确定时，点在圆上的位置也随着确定；
当变化时，点在圆上的位置也随着变化．
这说明，点的坐标随着的变化而变化。设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？
根据三角函数的定义，， ①
显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上．
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．
圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？
圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），由可以得到圆心为，
半径为的圆的参数方程是 （为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即 ③
并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．
将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．
4．练习：，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1） （为参数） （2） （为参数）
解：（1），
由得，这就是所求的普通方程。
（2）由原方程组得，把代入得，
化简得：（），这就是所求的普通方程。
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，
保持等价性。
例2．已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的
中点的轨迹是什么？
解：设点，∵圆的参数方程为，
∴设点，由线段中点坐标公式得，
即点轨迹的参数方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？
又解：设，，
∵点是线段的中点，∴，∴，
∵点在圆上，∴，∴，
即点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．
解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），
（1），
∴当，即时，．
（2），
∴当，即时，．
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；
2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，求的取值范围．
PAGE
3
圆的方程（4）一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点的坐标和圆的方程，如何判断点在圆内、圆上、圆外？
比较点到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆是相交、相切、相离？
比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆和圆的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围．
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，∴，即，
当时，；当时，，
所以，的取值范围是．
解法二：设直线的方程为，
由 消去得：，
∵直线与圆相交，∴，
化简得，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程．
解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴，
∵，∴，∴经过点的切线方程是，
整理得：， 又∵点在圆上，∴，
∴所求的切线方程是．
当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意．
所以，所求的直线的方程是或．
例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程．
解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，
∵圆与轴相切，∴，
又圆心到弦的距离为，
∴，∴，，
所以，所求的圆方程为或．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法； 2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：1.过点且与圆相切的直线的方程是 ．
2.已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3.过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。
4.已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．
5.求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．
PAGE
1
圆的方程（2）一．课题：圆的方程（5）
二．教学目标：1.能熟练解决与圆有关的轨迹问题；
2.能解决与圆有关的最值问题．
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）例题分析：
例1．（例1）圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）当的长最短时，求直线的方程．
解：（1）当时，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即．
解法一：（用弦长公式）
由 消去得：，
设，，则，，
∴．
解法二：（几何法）弦心距，半径，弦长，
（2）当的长最短时，，
∵，∴，
∴直线的方程为，即．
例2．（例2）求证：到圆心距离为的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线．
证明：建立直角坐标系，设圆以原点为圆心，为半径；圆以点为圆心，为半径。过点的直线与圆相切于点，直线与圆相切于点，且，
则圆的方程为，圆的方程为，
∵，∴，
由勾股定理得 ，
即，化简得 ，
这就是点的轨迹方程，它表示一条垂直于轴的直线．
例3．圆上的点到直线的最近距离为 ，
最远距离为 ．
解：（作图分析）圆方程化为，圆心到直线的距离为
，∴所求的最近距离为，最远距离为．
例4．（1）已知直线：与曲线：有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ；
（2）若关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ．
解：（1）（数形结合）方程表示斜率为，在轴上截距为的直线；
方程表示单位圆在上及其上方的半圆，
如图，当直线过、两点时，它与半圆交于两点，此时，直线记为；
当直线与半圆相切时，，直线记为．
直线要与半圆有两个不同的公共点，必须满足在与之间（包括但不包括），
∴，即所求的的取值范围是．
（2）不等式恒成立，即半圆在直线上方，
当直线过点时，，∴所求的的取值范围是．
例5．（10）求当点在以原点为圆心，为半径的圆上运动时，点的轨迹方程．
解：设点为所求轨迹上任意一点，与对应的圆上的动点的坐标为
，则所求轨迹的参数方程为
（为参数），
消去参数，得轨迹的普通方程为 ，．
五．课堂练习：画出方程的曲线。（答案：两个半圆）
六．小结：1．与圆有关的最值问题，要重视数形结合求解；
2．与圆的弦长有关的问题，要重视几何方法的运用；
3．将参数方程化为普通方程，要注意等价性（限制变量的范围）．
七．作业：课本第82页第11题；第89页第5，6，8，9
