浙江省温州市瑞安市第六中学2021-2022学年高二下学期入学检测数学试题（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省温州市瑞安市第六中学2021-2022学年高二下学期入学检测数学试题（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 921.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-05 07:59:57 | ||
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文档简介
瑞安六中2023届高二寒假作业检测数学
一 单选题
1.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3.函数在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左 右焦点，P是双曲线上一点，且，则（ ）
A.2 B.6 C.8 D.10
5.已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
7.已知抛物线，为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于 两点，交准线于 两点，若，，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行.北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开 闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）.如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题
9.下列求导正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.下面四个结论正确的是（ ）
A.向量，若，则.
B.若空间四个点，，，，，则，，三点共线.
C.已知向量，，若，则为钝角.
D.任意向量，，满足.
11.已知圆，直线.下列命题正确的有（ ）
A.直线l与圆C可能相切
B.y轴被圆C截得的弦长为
C.直线l被圆C截得的最短弦长为
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为
12.如图，已知，分别为双曲线的左 右焦点，两条渐近线分别为，，过，作的垂线，垂足分别为A，B，若四边形的面积为8，则以下选项正确的有（ ）
A.
B.若，则双曲线方程为
C.若，则离心率e的范围
D.延长交于点C，若，则
三 填空题
13.双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，则______（写出一个即可）.
14.过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______.
15.如果点在运动过程中，总满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为______.
16.如图，按照以下规律排列的数阵中，第i行从左向右第j个数记为，如，，则______；令则______.
四 解答题
17.（本题满分10分）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且.
（1）求圆Q的方程；
（2）过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值.
18.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）已知等比数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和.
20.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点.当轴时，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的范围.
21.（本题满分12分）已知正项数列的首项为，且满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和.
22.（本题满分12分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于.
瑞安六中2023届高二寒假作业检测数学参考答案
一 二选择题
试卷第1页，共3页
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C C B C C C AC AB BD AC
三 填空题
13.（写出一个即可） 14.
15. 16.；
四 解答题
17.（1）解：由Q到直线的距离，所以
所以圆的方程为.
（2）记，
联立，得
所以，.
.
综上，为定值5.
18.（1）以A为原点，以AB AD 所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，，，，所以，，，
因此，，，
设平面的法向量，则，，所以
，取，则，，于是，
所以点到平面的距离.
（2）由，，设平面的法向量，则
，，所以
，取，则，，于是，
由（1）知平面的法向量为，
记二面角的平面角为，则，
由图可知二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为.
19.解（1）设等比数列的公比为q，由己知，可得，
两式相减可得，
即，整理得，可知，
已知，令，得，即，解得，
故等比数列的通项公式为；
（2）由题意知在与之间插入n个数，这个数组成以为首项的等差数列，所以，
两式相减得：
20.（1）当轴时，取代入椭圆方程得：，得，
所以，又，解得，，所以椭圆方程为.
（2）由，记，
当轴时，由（1）知：，
所以，
当AB斜率为k时，直线AB为，
，消去y得，
所以，，
所以，综上.
21.（1）证明：由得，
而且，
则，
即数列为首项，公比为的等比数列.
（2）由上可知，所以，
.
22.（1）由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为.
（2）设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求.
（3）由（2）知，，
点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于.
一 单选题
1.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3.函数在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左 右焦点，P是双曲线上一点，且，则（ ）
A.2 B.6 C.8 D.10
5.已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
7.已知抛物线，为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于 两点，交准线于 两点，若，，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行.北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开 闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）.如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题
9.下列求导正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.下面四个结论正确的是（ ）
A.向量，若，则.
B.若空间四个点，，，，，则，，三点共线.
C.已知向量，，若，则为钝角.
D.任意向量，，满足.
11.已知圆，直线.下列命题正确的有（ ）
A.直线l与圆C可能相切
B.y轴被圆C截得的弦长为
C.直线l被圆C截得的最短弦长为
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为
12.如图，已知，分别为双曲线的左 右焦点，两条渐近线分别为，，过，作的垂线，垂足分别为A，B，若四边形的面积为8，则以下选项正确的有（ ）
A.
B.若，则双曲线方程为
C.若，则离心率e的范围
D.延长交于点C，若，则
三 填空题
13.双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，则______（写出一个即可）.
14.过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______.
15.如果点在运动过程中，总满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为______.
16.如图，按照以下规律排列的数阵中，第i行从左向右第j个数记为，如，，则______；令则______.
四 解答题
17.（本题满分10分）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且.
（1）求圆Q的方程；
（2）过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值.
18.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）已知等比数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和.
20.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点.当轴时，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的范围.
21.（本题满分12分）已知正项数列的首项为，且满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和.
22.（本题满分12分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于.
瑞安六中2023届高二寒假作业检测数学参考答案
一 二选择题
试卷第1页，共3页
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C C B C C C AC AB BD AC
三 填空题
13.（写出一个即可） 14.
15. 16.；
四 解答题
17.（1）解：由Q到直线的距离，所以
所以圆的方程为.
（2）记，
联立，得
所以，.
.
综上，为定值5.
18.（1）以A为原点，以AB AD 所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，，，，所以，，，
因此，，，
设平面的法向量，则，，所以
，取，则，，于是，
所以点到平面的距离.
（2）由，，设平面的法向量，则
，，所以
，取，则，，于是，
由（1）知平面的法向量为，
记二面角的平面角为，则，
由图可知二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为.
19.解（1）设等比数列的公比为q，由己知，可得，
两式相减可得，
即，整理得，可知，
已知，令，得，即，解得，
故等比数列的通项公式为；
（2）由题意知在与之间插入n个数，这个数组成以为首项的等差数列，所以，
两式相减得：
20.（1）当轴时，取代入椭圆方程得：，得，
所以，又，解得，，所以椭圆方程为.
（2）由，记，
当轴时，由（1）知：，
所以，
当AB斜率为k时，直线AB为，
，消去y得，
所以，，
所以，综上.
21.（1）证明：由得，
而且，
则，
即数列为首项，公比为的等比数列.
（2）由上可知，所以，
.
22.（1）由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为.
（2）设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求.
（3）由（2）知，，
点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于.
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