4.4数学归纳法 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 4.4数学归纳法 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 470.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-05 07:10:59 | ||
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文档简介
4.4数学归纳法*--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册同步课时训练
一、概念练习
1.用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则k的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式( )
A. B. C. D.
3.对于不等式 ，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时， ，不等式成立．
（2）假设当时，不等式成立，即 ，则当时，，
∴时，不等式成立，则上述证法（ ）
A.过程全部正确 B.验得不正确
C.归纳假设不正确 D.从到的推理不正确
4.利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时，左边增加了( )
A.1项 B.项 C.项 D.项
5.现有命题“”，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是( )
A.不能用数学归纳法判断此命题的真假
B.此命题一定为真命题
C.此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题
D.存在一个很大的常数m，当时，此命题为假命题
二、能力提升
6.用数学归纳法证明命题：时，则从到左边需增加的项数为( )
A. B.2k C. D.
7.已知()，则( )
A. B. C. D.
（多选）
8.已知数列，均为递增数列，的前n项和为，的前n项和为，且满足，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
9.已知某个命题与自然数n有关，如果当时该命题成立，那么可得时该命题也成立，若已知时命题不成立，则下列说法中正确的是( )
A.时，该命题不成立
B.时，该命题不成立
C.时，该命题可能成立
D.时，该命题可能成立也可能不成立，但若时命题成立，则对任意，该命题都成立
10.用数学归纳法证明对任意都成立，则以下满足条件的k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.设，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.
12.用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时，也能被8整除”的过程中，得到，则A的表达式为_____________.
13.若定义为的各位数字之和，如，则，则_____________.
14.已知数列满足，且.
(1)求，，；
(2)由（1）猜想的通项公式；
(3)用数学归纳法证明（2）的结果.
15.已知数列满足，.
(1)求，，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
(2)记数列的前n项和为，证明：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：当 时，左边 ，右边 ， 当 时，左边 ，右边 ， 当 时，左边 ，右边 ， 即左边 > 右边，不等式成立，则对任意 的自然数都成立，则k 的最小值为 2 。 故选 : B
2.答案：B
解析：因为，，故第一步应验证的情况，即.
3.答案：D
解析：在时，没有应用时的归纳假设
4.答案：D
解析：由题意知：时，左边为，
当时，左边为，
增加项为：共项.
故选：D
5.答案：B
解析：①当时，左边=1，右边=1，左边=右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立.综上，对任意，等式恒成立，故选B.
6.答案：C
解析：当时，等式左端，当时，等式左端，所以增加的项数为：，即增加了项，故选C.
7.答案：D
解析：由题意知，共项.，共项.故得中的最后三项，为.故选D.
8.答案：ABC
解析：因为数列为递增数列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故B正确；由题意，得的前2n项和为.因为，则，所以，则的前2n项和为，当时，，，所以，故D错误；当时，假设当时，，即，则当时，，所以对于任意，都有，即，故C正确.故选ABC.
9.答案：AD
解析：对于A，如果时成立，那么可推导得到成立，矛盾，故时，该命题不成立，故A正确；对于B，不能确定的情况，如果时成立，那么可得到成立，继续推导得到对任意，该命题都成立，故B错误；对于C，若时成立，则可得成立，继续推导得到成立，这与题设予盾，故C错误；D显然正确.故选AD.
10.答案：CD
解析：取，则，，不成立；取，则，，不成立；取，则，，成立；取，则，，成立；下面证：当时，成立.当，则，，成立；假设当时，有成立，则当时，有，令，则，又，所以.因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选CD.
11.答案：
解析：当时，,
当时，,通过对比可以发现，第二步从到应添的项是.
故答案为：
12.答案：
解析：因为，，故.
13.答案：16140
解析：由题意，得，所以；，所以；，所以；，所以；，所以；，所以，所以从第四项开始，以周期为3开始重复，因为，所以一共包含671个周期以及，，，，.又，所以.
14.答案：(1)，， (2) （3）见解析
解析：(1) 略(2) 略(3)证明：（i），命题成立，
（ii）假设时命题成立，即，
则时，由，解得，命题成立，综上，时，命题成立，即．
15.答案：(1)
(2)见解析
解析：证明：(1)因为，所以.
当时，；当时，；
当时，；猜想.
①当时，，猜想显然成立.
②假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
即当时猜想也成立，
由①②可知，猜想成立，即.
(2)由(1)知.
因为，
所以
.
(
1
)
一、概念练习
1.用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则k的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式( )
A. B. C. D.
3.对于不等式 ，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时， ，不等式成立．
（2）假设当时，不等式成立，即 ，则当时，，
∴时，不等式成立，则上述证法（ ）
A.过程全部正确 B.验得不正确
C.归纳假设不正确 D.从到的推理不正确
4.利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时，左边增加了( )
A.1项 B.项 C.项 D.项
5.现有命题“”，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是( )
A.不能用数学归纳法判断此命题的真假
B.此命题一定为真命题
C.此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题
D.存在一个很大的常数m，当时，此命题为假命题
二、能力提升
6.用数学归纳法证明命题：时，则从到左边需增加的项数为( )
A. B.2k C. D.
7.已知()，则( )
A. B. C. D.
（多选）
8.已知数列，均为递增数列，的前n项和为，的前n项和为，且满足，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
9.已知某个命题与自然数n有关，如果当时该命题成立，那么可得时该命题也成立，若已知时命题不成立，则下列说法中正确的是( )
A.时，该命题不成立
B.时，该命题不成立
C.时，该命题可能成立
D.时，该命题可能成立也可能不成立，但若时命题成立，则对任意，该命题都成立
10.用数学归纳法证明对任意都成立，则以下满足条件的k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.设，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.
12.用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时，也能被8整除”的过程中，得到，则A的表达式为_____________.
13.若定义为的各位数字之和，如，则，则_____________.
14.已知数列满足，且.
(1)求，，；
(2)由（1）猜想的通项公式；
(3)用数学归纳法证明（2）的结果.
15.已知数列满足，.
(1)求，，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
(2)记数列的前n项和为，证明：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：当 时，左边 ，右边 ， 当 时，左边 ，右边 ， 当 时，左边 ，右边 ， 即左边 > 右边，不等式成立，则对任意 的自然数都成立，则k 的最小值为 2 。 故选 : B
2.答案：B
解析：因为，，故第一步应验证的情况，即.
3.答案：D
解析：在时，没有应用时的归纳假设
4.答案：D
解析：由题意知：时，左边为，
当时，左边为，
增加项为：共项.
故选：D
5.答案：B
解析：①当时，左边=1，右边=1，左边=右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立.综上，对任意，等式恒成立，故选B.
6.答案：C
解析：当时，等式左端，当时，等式左端，所以增加的项数为：，即增加了项，故选C.
7.答案：D
解析：由题意知，共项.，共项.故得中的最后三项，为.故选D.
8.答案：ABC
解析：因为数列为递增数列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故B正确；由题意，得的前2n项和为.因为，则，所以，则的前2n项和为，当时，，，所以，故D错误；当时，假设当时，，即，则当时，，所以对于任意，都有，即，故C正确.故选ABC.
9.答案：AD
解析：对于A，如果时成立，那么可推导得到成立，矛盾，故时，该命题不成立，故A正确；对于B，不能确定的情况，如果时成立，那么可得到成立，继续推导得到对任意，该命题都成立，故B错误；对于C，若时成立，则可得成立，继续推导得到成立，这与题设予盾，故C错误；D显然正确.故选AD.
10.答案：CD
解析：取，则，，不成立；取，则，，不成立；取，则，，成立；取，则，，成立；下面证：当时，成立.当，则，，成立；假设当时，有成立，则当时，有，令，则，又，所以.因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选CD.
11.答案：
解析：当时，,
当时，,通过对比可以发现，第二步从到应添的项是.
故答案为：
12.答案：
解析：因为，，故.
13.答案：16140
解析：由题意，得，所以；，所以；，所以；，所以；，所以；，所以，所以从第四项开始，以周期为3开始重复，因为，所以一共包含671个周期以及，，，，.又，所以.
14.答案：(1)，， (2) （3）见解析
解析：(1) 略(2) 略(3)证明：（i），命题成立，
（ii）假设时命题成立，即，
则时，由，解得，命题成立，综上，时，命题成立，即．
15.答案：(1)
(2)见解析
解析：证明：(1)因为，所以.
当时，；当时，；
当时，；猜想.
①当时，，猜想显然成立.
②假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
即当时猜想也成立，
由①②可知，猜想成立，即.
(2)由(1)知.
因为，
所以
.
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