第三章 二次函数综合测试题（含答案）
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第三章综合测试题
（满分：100分 时间：60分钟）
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.将函数 的图象向下平移两个单位，以下错误的是 ( )
A.开口方向不变 B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变 D.与y轴的交点不变
2.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式 表示，其中h (m)是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
3.给出下列函数： 2 ，上述函数中符合条件“当时，函数值y随自变量x增大而增大”的是( )
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
4.一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
5.若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(2,4) B.(-2,4) C.(-2,-4) D.(2,-4)
6.二次函数 的图象过 D(4,四个点，下列说法一定正确的是( )
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
7.如图所示，已知二次函数 的图象与x轴交于两点,与
y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
③当 是等腰三角形时，a的值有2个；④当 是直角三角形时， 其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,四边形ABCD中,已知 ∥AB与CD之间的距离为4， 点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒, 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
二、填空题(每小题4分，共20分)
9.函数中，自变量的取值范围是_______________.
10.下列y关于x的函数：其中是二次函数的有__________.(只填序号)
11.把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为______________.
12.已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
… …
… …
由此判断，表中
13.如图，抛物线 与x轴交于点A，B，顶点为C，对称轴为直线 给出下列结论：②若点C的坐标为(1,2),则 的面积可以等于2；③是抛物线上两点 若 则 ④若抛物线经过点 则方程 的两根为-1,3.
其中正确结论的序号为 _____________.
三、解答题(本大题共5小题，共48分)
14. (8分)已知抛物线 随着m的变化而移动.
(1)求证抛物线恒过某一定点，并求出该定点的坐标；
(2)当抛物线的顶点移动到最高处时，求该抛物线的表达式.
15. (8分)已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为 点C的坐标为(0，3).
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若该抛物线的顶点为P，求△的面积.
16. (10分)如图①,游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头.如图②，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱的高度y(m)与水柱距离喷水池中心的水平距离x(m)之间的关系画出部分图象.
水柱距离喷水池中心的水平距离x(m) … 0 2 5 8 10 …
水柱的高度y(m) … 4 6.4 7 4 0 …
(1)位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，请你在所给的平面直角坐标系中画出位于第二象限的抛物线；
(2)该种喷水头喷水的最大高度是多少
(3)为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用(d，0)表示，喷出的水柱形状与抛物线 的形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25m，水柱下落时也过点(0，4).求该种喷水头安装的位置(只在x轴正半轴上).
17. (10分)公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位: 与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.
(1)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少
(2)若乙车以 的速度匀速行驶，两车何时距离最近 最近距离是多少
18. (12分)如图,抛物线 与直线 交于点A(2,0)和点B.
(1)求m和b的值;
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.
参考答案
1.D 由平移性质知将函数 的图象向下平移两个单位，开口方向不变，对称轴不变，y随x的变化情况不变，与y轴的交点向下平移两个单位，发生改变，故选D.
2.C 由题意,得 ∴当t=2时，h取得最大值，此时 故选C.
3.B y=-3x+2,当 时，函数值y随自变量x增大而减小，①不符合；
当 时，函数值y随自变量x增大而减小，②不符合；
当 时，函数值y随自变量x增大而增大，③符合；
当时，函数值y随自变量x增大而增大，④符合.故选B.
4.C A项，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴∴一次函数图象应该过第二、三、四象限. ∴本选项不可能.
B项，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， 一次函数图象应该过第一、三、四象限.∴本选项不可能.
C项，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，一次函数图象应该过第二、三、四象限.∴本选项可能.
D项，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， 一次函数图象应该过第二、三、四象限.∴本选项不可能.故选C.
5.A ∵抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线
抛物线过原点，∴ ∴抛物线的解析式为 ∴顶点P的坐标为 ∴点P关于x轴的对称点的坐标是(2，4)，故选A.
6.C 二次函数 的图象的对称轴为画出二次函数图象的草图，如图所示(抛物线上下位置不确定).
观察图象可知，若 则或0,选项A错误;
若 则 或 0,选项B错误;
若 则 选项C正确；
若,则 或,选项D错误.故选C.
7.B ∵二次函数 的图象与x轴交于A(-1，0),B(3,0)两点,∴对称轴为直线 ①正确;
当时,②错误;
由题意知，当△ABC是等腰三角形时，点A，B都有可能为顶点，C不可能为顶点，∴a的值有2个，③正确；
∵二次函数 ∴顶点D的坐标为(1,-4a). .若 则 即 ((舍去).若 则 即 (舍去)0∴当△是直角三角形时，或 ④错误.
综上,①③正确,故选B.
8.B 如图1,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作 AB于点F,∴DE=CF=4,DE∥CF,∴四边形DEFC是矩形,∴ F当点Q在线段AD上时 ∴该函数图象为经过原点且开口向上的抛物线的一部分；当点Q在线段CD上时， ∴该函数图象是从左到右呈上升趋势的直线的一部分；当点Q在线段BC上时，6≤x≤10，如图2,∴该函数图象是开口向下的抛物线的一部分.故B选项符合题意.
9.答案 且
解析 由题意得且 解得且
10.答案 ②⑥
解析 ①含有根号，不是二次函数；②是二次函数；③化简后不含二次项，不是二次函数；④含有三次项，不是二次函数；⑤含有分式，不是二次函数；⑥是二次函数.
11.答案
解析 把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 即
12.答案 6
解析 由题表可知函数图象经过点(0，3)和点(2，3),∴对称轴为直线
∴x=-1时的函数值等于x=3时的函数值，∵当x=3时,y=6,∴当x=-1时,y=a=6.故填6.
13.答案 ①④
解析 ①∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∵抛物线与y轴交于正半轴， 正确；
②若△的面积等于2,C(1,2),则 ∴点A(0,0),与图象不符,②错误;
③抛物线的对称轴为直线 若 则 ∴点N离对称轴远， ③错误;
④抛物线经过点 ，又对称轴为直线,∴抛物线也经过点 ∴方程 的两根为 ④正确.
14.解析 当 即 时，函数值与m的取值无关，此时∴抛物线恒过某一定点，该定点的坐标为(2，-2).
(2)抛物线 的顶点的纵坐标为 .∴当 时，抛物线的顶点最高.此时抛物线的表达式为
15.解析 (1)∵抛物线 经过A(-1,0),C(0,3)两点,
∴ 解得 ∴该抛物线的函数表达式为
(2)∵抛物线 ∴抛物线的顶点P的坐标为 令y=0,则 解得 ∴B点的坐标为(4,0),OB=4.
如图，连接OP，则 ∴△PBC的面积为
16.解析 (1)如图即为所求作的抛物线.
(2)由题意可知抛物线的对称轴为直线 与x轴的一个交点坐标为(10，0)，则与x轴的另一个交点的坐标为
设抛物线的表达式是 把(0,4)代入，得 解得 ∴∴该种喷水头喷水的最大高度是7.2m.
(3)∵喷出的水柱形状与抛物线 的形状相同，且下落时也过点(0，4)，∴设第一象限抛物线的表达式是 ∵喷出的水柱最大高度为6.25m， 解得 (舍去). 令y=0,得 解得 (舍去).
∴该种喷水头安装的位置是(8，0).
17.解析 (1)由题图可知，二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为 一次函数表达式为
∵一次函数图象经过点(0,16),(8,8), 解得
∴一次函数表达式为
令v=9,则t=7.∵二次函数图象经过点(2,30),(4,56),
∴ 解得 ∴二次函数表达式为
当 时,
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m.
(2)两车之间的距离为
∴当 时，两车距离最近，最近距离为2米.
18.解析 (1)∵抛物线 经过点A(2,0),
∵直线 经过点 ∴
(2)当 时, ∴点B的坐标为
结合图象可知，不等式 的解集为 或 .
或
解法提示：将直线AB向左平移3个单位长度得到直线，易知直线的解析式为,令 整理，得易知该方程没有实数根，故直线与抛物线没有公共点，如图.
易知抛物线的顶点坐标为(1,-1),过点(1,-1)作x轴的平行线，交直线AB于点C.
当点M在线段AB上(不与点A重合)时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时
当点M在线段AC上(不与点C重合)时，线段MN与抛物线有两个公共点.
当点M与点C重合时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时 代入 +2,得
当点M在直线AB上线段BC外的位置时，线段MN与抛物线没有公共点.
综上可知，点M的横坐标xM的取值范围为 或
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第三章综合测试题
（满分：100分 时间：60分钟）
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.将函数 的图象向下平移两个单位，以下错误的是 ( )
A.开口方向不变 B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变 D.与y轴的交点不变
2.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式 表示，其中h (m)是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
3.给出下列函数： 2 ，上述函数中符合条件“当时，函数值y随自变量x增大而增大”的是( )
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
4.一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
5.若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(2,4) B.(-2,4) C.(-2,-4) D.(2,-4)
6.二次函数 的图象过 D(4,四个点，下列说法一定正确的是( )
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
7.如图所示，已知二次函数 的图象与x轴交于两点,与
y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
③当 是等腰三角形时，a的值有2个；④当 是直角三角形时， 其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,四边形ABCD中,已知 ∥AB与CD之间的距离为4， 点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒, 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
二、填空题(每小题4分，共20分)
9.函数中，自变量的取值范围是_______________.
10.下列y关于x的函数：其中是二次函数的有__________.(只填序号)
11.把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为______________.
12.已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
… …
… …
由此判断，表中
13.如图，抛物线 与x轴交于点A，B，顶点为C，对称轴为直线 给出下列结论：②若点C的坐标为(1,2),则 的面积可以等于2；③是抛物线上两点 若 则 ④若抛物线经过点 则方程 的两根为-1,3.
其中正确结论的序号为 _____________.
三、解答题(本大题共5小题，共48分)
14. (8分)已知抛物线 随着m的变化而移动.
(1)求证抛物线恒过某一定点，并求出该定点的坐标；
(2)当抛物线的顶点移动到最高处时，求该抛物线的表达式.
15. (8分)已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为 点C的坐标为(0，3).
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若该抛物线的顶点为P，求△的面积.
16. (10分)如图①,游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头.如图②，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱的高度y(m)与水柱距离喷水池中心的水平距离x(m)之间的关系画出部分图象.
水柱距离喷水池中心的水平距离x(m) … 0 2 5 8 10 …
水柱的高度y(m) … 4 6.4 7 4 0 …
(1)位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，请你在所给的平面直角坐标系中画出位于第二象限的抛物线；
(2)该种喷水头喷水的最大高度是多少
(3)为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用(d，0)表示，喷出的水柱形状与抛物线 的形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25m，水柱下落时也过点(0，4).求该种喷水头安装的位置(只在x轴正半轴上).
17. (10分)公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位: 与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.
(1)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少
(2)若乙车以 的速度匀速行驶，两车何时距离最近 最近距离是多少
18. (12分)如图,抛物线 与直线 交于点A(2,0)和点B.
(1)求m和b的值;
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.
参考答案
1.D 由平移性质知将函数 的图象向下平移两个单位，开口方向不变，对称轴不变，y随x的变化情况不变，与y轴的交点向下平移两个单位，发生改变，故选D.
2.C 由题意,得 ∴当t=2时，h取得最大值，此时 故选C.
3.B y=-3x+2,当 时，函数值y随自变量x增大而减小，①不符合；
当 时，函数值y随自变量x增大而减小，②不符合；
当 时，函数值y随自变量x增大而增大，③符合；
当时，函数值y随自变量x增大而增大，④符合.故选B.
4.C A项，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴∴一次函数图象应该过第二、三、四象限. ∴本选项不可能.
B项，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， 一次函数图象应该过第一、三、四象限.∴本选项不可能.
C项，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，一次函数图象应该过第二、三、四象限.∴本选项可能.
D项，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， 一次函数图象应该过第二、三、四象限.∴本选项不可能.故选C.
5.A ∵抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线
抛物线过原点，∴ ∴抛物线的解析式为 ∴顶点P的坐标为 ∴点P关于x轴的对称点的坐标是(2，4)，故选A.
6.C 二次函数 的图象的对称轴为画出二次函数图象的草图，如图所示(抛物线上下位置不确定).
观察图象可知，若 则或0,选项A错误;
若 则 或 0,选项B错误;
若 则 选项C正确；
若,则 或,选项D错误.故选C.
7.B ∵二次函数 的图象与x轴交于A(-1，0),B(3,0)两点,∴对称轴为直线 ①正确;
当时,②错误;
由题意知，当△ABC是等腰三角形时，点A，B都有可能为顶点，C不可能为顶点，∴a的值有2个，③正确；
∵二次函数 ∴顶点D的坐标为(1,-4a). .若 则 即 ((舍去).若 则 即 (舍去)0∴当△是直角三角形时，或 ④错误.
综上,①③正确,故选B.
8.B 如图1,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作 AB于点F,∴DE=CF=4,DE∥CF,∴四边形DEFC是矩形,∴ F当点Q在线段AD上时 ∴该函数图象为经过原点且开口向上的抛物线的一部分；当点Q在线段CD上时， ∴该函数图象是从左到右呈上升趋势的直线的一部分；当点Q在线段BC上时，6≤x≤10，如图2,∴该函数图象是开口向下的抛物线的一部分.故B选项符合题意.
9.答案 且
解析 由题意得且 解得且
10.答案 ②⑥
解析 ①含有根号，不是二次函数；②是二次函数；③化简后不含二次项，不是二次函数；④含有三次项，不是二次函数；⑤含有分式，不是二次函数；⑥是二次函数.
11.答案
解析 把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 即
12.答案 6
解析 由题表可知函数图象经过点(0，3)和点(2，3),∴对称轴为直线
∴x=-1时的函数值等于x=3时的函数值，∵当x=3时,y=6,∴当x=-1时,y=a=6.故填6.
13.答案 ①④
解析 ①∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∵抛物线与y轴交于正半轴， 正确；
②若△的面积等于2,C(1,2),则 ∴点A(0,0),与图象不符,②错误;
③抛物线的对称轴为直线 若 则 ∴点N离对称轴远， ③错误;
④抛物线经过点 ，又对称轴为直线,∴抛物线也经过点 ∴方程 的两根为 ④正确.
14.解析 当 即 时，函数值与m的取值无关，此时∴抛物线恒过某一定点，该定点的坐标为(2，-2).
(2)抛物线 的顶点的纵坐标为 .∴当 时，抛物线的顶点最高.此时抛物线的表达式为
15.解析 (1)∵抛物线 经过A(-1,0),C(0,3)两点,
∴ 解得 ∴该抛物线的函数表达式为
(2)∵抛物线 ∴抛物线的顶点P的坐标为 令y=0,则 解得 ∴B点的坐标为(4,0),OB=4.
如图，连接OP，则 ∴△PBC的面积为
16.解析 (1)如图即为所求作的抛物线.
(2)由题意可知抛物线的对称轴为直线 与x轴的一个交点坐标为(10，0)，则与x轴的另一个交点的坐标为
设抛物线的表达式是 把(0,4)代入，得 解得 ∴∴该种喷水头喷水的最大高度是7.2m.
(3)∵喷出的水柱形状与抛物线 的形状相同，且下落时也过点(0，4)，∴设第一象限抛物线的表达式是 ∵喷出的水柱最大高度为6.25m， 解得 (舍去). 令y=0,得 解得 (舍去).
∴该种喷水头安装的位置是(8，0).
17.解析 (1)由题图可知，二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为 一次函数表达式为
∵一次函数图象经过点(0,16),(8,8), 解得
∴一次函数表达式为
令v=9,则t=7.∵二次函数图象经过点(2,30),(4,56),
∴ 解得 ∴二次函数表达式为
当 时,
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m.
(2)两车之间的距离为
∴当 时，两车距离最近，最近距离为2米.
18.解析 (1)∵抛物线 经过点A(2,0),
∵直线 经过点 ∴
(2)当 时, ∴点B的坐标为
结合图象可知，不等式 的解集为 或 .
或
解法提示：将直线AB向左平移3个单位长度得到直线，易知直线的解析式为,令 整理，得易知该方程没有实数根，故直线与抛物线没有公共点，如图.
易知抛物线的顶点坐标为(1,-1),过点(1,-1)作x轴的平行线，交直线AB于点C.
当点M在线段AB上(不与点A重合)时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时
当点M在线段AC上(不与点C重合)时，线段MN与抛物线有两个公共点.
当点M与点C重合时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时 代入 +2,得
当点M在直线AB上线段BC外的位置时，线段MN与抛物线没有公共点.
综上可知，点M的横坐标xM的取值范围为 或
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