1.3 正方形的性质与判定（第1课时） 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
九上数学同步精品课件
北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定（第1课时）
精品教学课件
1. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
3．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证
和计算 . (难点)
学习目标
平行四边形 菱形 矩形
对称性
边
角
对角线
复习回顾
中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
对边平行
且相等
对边平行
且相等
对边平行，
四边都相等
对角相等，
邻角互补
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
复习回顾
平行四边形、菱形、矩形之间的关系：
平行四边形
菱形
矩形
思考一下：是否有一种四边形既是菱形又是矩形呢？
？
导入新课
活动：观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
讲授新课
矩 形
〃
〃
活动1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么
发现？
问题引入
知识点一 正方形的性质
正方形
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
练习
概念拓展
平行四边形
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
知识点二 正方形的性质探究和证明
A
B
C
D
填一填：
角：
边：
对角线：
对称性：
四个角都是直角.
四条边相等.
对角线相等且互相垂直平分.
a
a
a
a
轴对称图形（4条对称轴）.
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
定理
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形
菱形
正方形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳
归纳结论
正方形
对角线
边
边
对角线
对角线
角
对边平行且相等
相互平分
相等
四个角相等都是90°
相互垂直且
平分对角
四边相等
对称性
轴对称图形（4条对称轴）
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
知识点三 正方形性质定理的应用
典例精析
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
A
B
D
F
E
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
C
M
例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M , N.
求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN.
A
B
C
D
O
M
N
证明：（1）∵MN∥AB.
∴∠1 =∠2 =∠3 =∠4 = 45°.
∴OM = ON.
∵OA= OB,
∴OA- OM = OB - ON,AM=BN.
又∵∠2=∠NBC,AB=BC.
∴△ABM ≌△BCN(SAS) ∴BM=CN.
1
2
3
4
A
B
C
D
O
M
N
(2)延长CN交线段MB于点Q.
∵△ABM≌△BCN.
∴∠6=∠8.
∵∠OCB =∠ABO =45°.
∴∠5=∠7.
又∵∠ONC=∠QNB.
∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB,
∠CON =∠NQB = 90°.
∴BM⊥CN.
Q
5
7
6
8
当堂练习
1、如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O，
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数；
D
A
C
B
F
E
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC =90° .
又∵ AF=BE
∴ △DAF≌△ABE(SAS).
证明：(2)∵ △DAF≌△ABE
∴ ∠ADF=∠BAE
∵ ∠DAB =90° .
∴ ∠ADF+ AFD= 90°
∴ ∠BAE + AFD= 90°
∴DF ⊥AE
∴ ∠AOE= 90°
2、如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°.
在△ADE和△ABF中，
AB=AD，∠ABF=∠ADE，BF=DE，
∴△ADE≌△ABF（SAS）.
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积.
(2)解：∵BC=8，∴AD=8.
在Rt△ADE中，∴AE = =10.
∵ △ADE≌△ABF
∴AE=AF， ∠FAB= ∠EAD，
∠EAF= ∠FAB + ∠BAE = ∠EAD +∠BAE =90°.
∴S△AEF的面积=1/2AE2=1/2×100=50.
3.如图，正方形AEFG的顶点E,G分别在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.
求证：BF=DF.
证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°.
∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG.
在△BEF和△DGF中，
BE=DG，∠BEF=∠DGF，EF=GF,
∴△BEF≌△DGF(SAS).
∴BF=DF.
4.已知：如图，在正方形ABCD中，点F在CD上，
AE平分∠BAF，E为BC的中点.
求证：AF=BE+DF.
证明：将△ABE逆时针旋转90°
则AB=AD，BE=DE′,
∠E′AE=90°,
∠ADE′=∠ABE=90°.
∴E′,D,F三点共线.
∵AE是∠BAF的角平分线，
∴∠1=∠2.
又∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°.
∴∠AEB=∠E′=90°-∠1=90°-∠2=∠E′AF.
∴AF=FE′=FD+DE′=FD+BE.
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，
∴BE＝( －1)cm．
课后作业
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
B
D
3、求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
4、如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
5、四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
6、如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
7、如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
课堂小结
谢谢
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