1.3 正方形的性质与判定（第2课时） 课件（共40张ppt）

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九上数学同步精品课件
北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定（第2课时）
精品教学课件
1、学会正方形的判定，掌握判定方法；（重点）
2、运用正方形的判定方法进行几何图形的证明与应用 .(难点)
学习目标
问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
导入新课
问题2：你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
三个角是直角
四条边相等
定义
三个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
知识点一 正方形判定的定理
讲授新课
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
菱形
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
练习
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
定理
正方形判定的两条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
(1)
(2)
一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
知识点二 正方形判定定理的应用
典例精析
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；
45°
45°
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC , DE⊥BC ,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.
∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
C
E
B
A
F
D
G
例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
B
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
原四边形可以是：
知识点三 中点四边形
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
特殊四边形的中点四边形：
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
总结归纳
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系
原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得中点四边形形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
当堂练习
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（　　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，
∴BE＝( －1)cm．
6.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明（1）∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2.
∵AB = BC,BD=BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°,
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
7.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
②∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
课后作业
1．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.平行四边形
C
2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A. 当AB=BC时，它是菱形
B. 当∠ABC=90°时，它是矩形
C. 当AC⊥BD时，它是菱形
D. 当AC=BD时，它是正方形
D
3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
AB∥DC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB=DC
C
4. 如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
A. -4+4
B. 4 +4
C. 8-4
D. +1
A
5.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：由题意，得∠BAE=∠EAG，
∠DAF=∠FAG，
∴∠BAD=2∠EAF=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是正方形.
6.如图，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上，连接CF.
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.
证明：（1）如图，连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE.
∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE.
∴∠HEA=∠CGF.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°.
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，
AH=DG,HE=HG，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）.
∴∠AHE=∠DGH.
又∠DHG+∠DGH=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.
∴菱形EFGH为正方形.
课堂小结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
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